Planetas e Satélites: As Leis de Kepler

13.17 Conhecer as três leis de Kepler.

13.18 Saber qual das leis de Kepler é equivalente à lei de conservação do momento angular.

13.19 Localizar, no desenho de uma órbita elíptica, o semieixo maior, o periélio, o afélio e os pontos

focais.

13.20 Conhecer a relação entre o semieixo maior, a excentricidade, o periélio e o afélio de uma órbita

elíptica.

13.21 Conhecer a relação entre o período e o raio da órbita de um satélite natural ou artificial em

torno de um corpo celeste e a massa do corpo celeste.

 

Ideias-Chave

• O movimento de planetas e satélites, tanto naturais como artificiais, obedece às três leis de Kepler, que, no caso particular dos planetas do sistema solar, podem ser enunciadas da seguinte forma:

1. Lei das órbitas. Todos os planetas descrevem órbitas elípticas, com o Sol em um dos focos.

2. Lei das áreas. A reta que liga qualquer planeta ao Sol varre a mesma área no mesmo intervalo de tempo. (Essa lei é equivalente à lei de conservação do momento angular.) 3. Lei dos períodos. O quadrado do período T de qualquer planeta é proporcional ao cubo do semieixo maior a da órbita:

 

em que M é a massa do Sol.

 

Planetas e Satélites: As Leis de Kepler Desde tempos imemoriais, os movimentos aparentemente aleatórios dos planetas em relação às estrelas intrigaram os observadores do céu. O

movimento retrógrado de Marte, mostrado na Fig. 13-11, era particularmente enigmático. Johannes Kepler (1571–1630), após uma vida de estudos, descobriu as leis empíricas que governam esses movimentos. Tycho Brahe (1546–1601), o último dos grandes astrônomos a fazer observações sem o auxílio de um telescópio, compilou uma grande quantidade de dados a partir dos quais Kepler foi capaz de deduzir as três leis do movimento planetário que hoje levam o seu nome. Mais tarde, Newton (1642-1727) mostrou que as leis de Kepler são uma consequência da sua lei da gravitação.

Nesta seção, vamos discutir as três leis de Kepler. Embora tenham sido

aplicadas originalmente ao movimento dos planetas em torno do Sol, as mesmas leis podem ser usadas para estudar o movimento de satélites, naturais ou artificiais, em volta da Terra ou de qualquer outro corpo cuja massa seja muito maior que a do satélite.

 

Figura 13-11  Trajetória de Marte em relação às estrelas da constelação de Capricórnio durante o ano de 1971. A posição do planeta está assinalada em quatro dias específicos. Como tanto Marte como a Terra estão se movendo em torno do Sol, o que vemos é a posição de Marte em relação a nós; esse movimento relativo faz com que Marte às vezes pareça se mover no sentido oposto ao de sua trajetória normal.

 

1. LEI DAS ÓRBITAS: Todos os planetas se movem em órbitas

elípticas, com o Sol em um dos focos.

 

A Fig. 13-12 mostra um planeta, de massa m, que se move em órbita em torno do Sol, cuja massa é M. Sabemos que M ≫ m, de modo que o centro de massa do sistema planeta-Sol está aproximadamente no centro do Sol.

A órbita da Fig. 13-12 é especificada pelo semieixo maior a e pela

excentricidade e, a última definida de tal forma que ea é a distância do centro da elipse a um dos focos, F ou F9. Uma excentricidade nula corresponde a uma circunferência, na qual os dois focos se reduzem a um único ponto central. As excentricidades das órbitas dos planetas são tão pequenas que as órbitas parecem circulares se forem desenhadas em escala.

A excentricidade da elipse da Fig. 13-12, por exemplo, é 0,74, enquanto a excentricidade da órbita da Terra é apenas 0,0167.

 

2. LEI DAS ÁREAS: A reta que liga um planeta ao Sol varre áreas

iguais no plano da órbita do planeta em intervalos de tempo iguais, ou

seja, a taxa de variação dA/dt da área A com o tempo é constante.

 

Figura 13-12  Um planeta, de massa m, em órbita elíptica em torno do Sol. O Sol, de massa M, ocupa um foco, F, da elipse. O outro foco, F′, está localizado no espaço vazio. Os dois focos ficam a uma distância ea do centro, em que e é a excentricidade e a é o semieixo maior da elipse. A distância do periélio R (ponto mais próximo do Sol) e a distância do afélio R (ponto mais afastado do Sol) p a também são mostradas na figura.

 

Qualitativamente, a segunda lei nos diz que o planeta se move mais devagar quando está mais distante do Sol e mais depressa quando está mais próximo do Sol. Na realidade, a segunda lei de Kepler é uma consequência direta da lei de conservação do momento angular. Vamos provar esse fato.

A área da cunha sombreada na Fig. 13-13a é praticamente igual à área

varrida no intervalo de tempo Δt pelo segmento de reta entre o Sol e o planeta, cujo comprimento é r. A área ΔA da cunha é aproximadamente igual à área de um triângulo de base rΔθ e altura r. Como a área de um triângulo é igual à metade da base vezes a altura, . Essa

expressão para ΔA se torna mais exata quando Δt (e, portanto, Δθ) tende a zero. A taxa de variação instantânea é

 

em que ω é a velocidade angular do segmento de reta que liga o Sol ao planeta.

A Fig. 13-13b mostra o momento linear do planeta, juntamente com as

componentes radial e perpendicular. De acordo com a Eq. 11-20 (L = rp ), ⊥ o módulo do momento angular do planeta em relação ao Sol é dado pelo produto de r e p , a componente de perpendicular a r. Para um planeta de ⊥

massa m,

 

Figura 13-13  (a) No instante Δt, o segmento de reta r que liga o planeta ao Sol se desloca de um ângulo Δθ, varrendo uma área ΔA (sombreada). (b) O momento linear do planeta e suas componentes.

em que substituímos v por ωr (Eq. 10-18). Combinando as Eqs. 13-30 e ⊥

13-31, obtemos

 

De acordo com a Eq. 13-32, a afirmação de Kepler de que dA/dt é constante equivale a dizer que L é constante, ou seja, que o momento angular é conservado. A segunda lei de Kepler é, portanto, equivalente à lei de conservação do momento angular.

 

Figura 13-14  Um planeta de massa m girando em torno do Sol em uma órbita circular de raio r.

 

3. LEI DOS PERÍODOS: O quadrado do período de qualquer planeta

é proporcional ao cubo do semieixo maior da órbita.

 

Para compreender por que isso é verdade, considere a órbita circular da Fig.

13-14, de raio r (o raio de uma circunferência é equivalente ao semieixo maior de uma elipse). Aplicando a segunda lei de Newton (F = ma) ao

planeta em órbita da Fig. 13-14, obtemos:

 

Nesta equação, substituímos o módulo da força F pelo seu valor, dado pela Eq. 13-1, e usamos a Eq. 10-23 para substituir a aceleração centrípeta por ω2r. Usando a Eq. 10-20 para substituir ω por 2π/T, em que T é o período do movimento, obtemos a terceira lei de Kepler para órbitas circulares:

em que a grandeza entre parênteses é uma constante que depende apenas da massa M do corpo central em torno do qual o planeta gira.

 

Essa equação também é válida para órbitas elípticas, desde que r seja

substituído por a, o semieixo maior da elipse, o que nos dá

 

Essa lei prevê que a razão T2/a3 tem praticamente o mesmo valor para todas

as órbitas em torno de um mesmo corpo de grande massa. A Tabela 13-3 mostra que ela é válida para as órbitas de todos os planetas do sistema solar.

 

Tabela 13-3  Aplicação da Terceira Lei de Kepler aos Planetas do Sistema Solar

 

Planeta Semieixo Período T2/a3 (10–34

Maior T anos2/m3)

a (anos) (10 10 m)

 

Mercúrio 5,79 0,241 2,99

 

Vênus 10,8 0,615 3,00

 

Terra 15,0 1,00 2,96

 

Marte 22,8 1,88 2,98

 

Júpiter 77,8 11,9 3,01

 

Saturno 143 29,5 2,98

 

Urano 287 84,0 2,98

 

Netuno 450 165 2,99

 

Plutão 590 248 2,99

Teste 4

O satélite 1 está em uma órbita circular em torno de um planeta,

enquanto o satélite 2 está em uma órbita circular de raio maior. Qual

dos satélites possui (a) o maior período e (b) a maior velocidade?

 

Exemplo 13.04 O cometa de Halley e a lei

dos períodos de Kepler

O cometa de Halley gira em órbita em torno do Sol com um período de

76 anos; em 1986, chegou à menor distância do Sol, a distância do

periélio R , que é 8,9 × 1010 m. A Tabela 13-3 mostra que essa p

distância está entre as órbitas de Mercúrio e Vênus.

(a) Qual é a maior distância do cometa ao Sol, que é chamada de

distância do afélio R ? a

 

IDEIAS-CHAVE

De acordo com a Fig. 13-12, R + R = 2a, em que a é o semieixo a p

maior da órbita. Assim, podemos calcular R se conhecermos a. a

Podemos relacionar a ao período por meio da lei dos períodos (Eq. 13-

34).

 

Cálculos: Explicitando a na Eq. 13-34, obtemos

 

Substituindo na Eq. 13-35 a massa M do Sol, 1,99 × 1030 kg, e o

período T do cometa, 76 anos ou 2,4 × 109 s, obtemos a = 2,7 × 1012 m.

Isso nos dá