Entropia no Mundo Real: Máquinas Térmicas

em que T e T são as temperaturas da fonte quente e da fonte fria, respectivamente. A eficiência das Q F

 

máquinas térmicas reais é menor que a de uma máquina de Carnot. A eficiência das máquinas térmicas ideais que não são máquinas de Carnot também é menor que a de uma máquina de Carnot. • Uma máquina térmica perfeita é uma máquina imaginária na qual a energia extraída de uma fonte quente na forma de calor é totalmente convertida em trabalho. Uma máquina desse tipo violaria a segunda lei da termodinâmica, que também pode ser enunciada da seguinte forma: Não existe uma série de processos cujo único resultado seja a conversão total em trabalho da energia contida em uma fonte de calor.

 

Entropia no Mundo Real: Máquinas Térmicas Uma máquina térmica é um dispositivo que extrai energia do ambiente na forma de calor e realiza um trabalho útil. Toda máquina térmica utiliza uma substância de trabalho. Nas máquinas a vapor, a substância de trabalho é a água, tanto na forma líquida quanto na forma de vapor. Nos motores de automóvel, a substância de trabalho é uma mistura de gasolina e ar. Para que uma máquina térmica realize trabalho de forma contínua, a substância de trabalho deve operar em um ciclo, ou seja, deve passar por uma série fechada de processos termodinâmicos, chamados tempos, voltando repetidamente a cada estado do ciclo. Vamos ver o que as leis da termodinâmica podem nos dizer a respeito do funcionamento das máquinas térmicas.

 

A Máquina de Carnot

Como vimos, é possível aprender muita coisa a respeito dos gases reais analisando um gás ideal, que obedece à equação pV = nRT. Embora não existam gases ideais na natureza, o comportamento de qualquer gás real se aproxima do comportamento de um gás ideal para pequenas concentrações de moléculas. Analogamente, podemos compreender melhor o funcionamento das máquinas térmicas estudando o comportamento de uma máquina térmica ideal.

Figura 20-8  Os elementos de uma máquina de Carnot. As duas setas pretas horizontais no centro representam uma substância de trabalho operando ciclicamente, como em um diagrama p-V. Uma energia |Q | é transferida na forma de calor da fonte quente, que está a uma temperatura T , para a Q Q substância de trabalho; uma energia |Q | é transferida na forma de calor da substância de trabalho F

para a fonte fria, que está à temperatura T . Um trabalho W é realizado pela máquina térmica (na F realidade, pela substância de trabalho) sobre o ambiente.

 

Em uma máquina térmica ideal, todos os processos são reversíveis e as

transferências de energia são realizadas sem as perdas causadas por

efeitos como o atrito e a turbulência.

 

Vamos examinar um tipo particular de máquina térmica ideal, chamada

máquina de Carnot em homenagem ao cientista e engenheiro francês N. L. Sadi Carnot, que a imaginou em 1824. De todas as máquinas térmicas, a máquina de Carnot é a que utiliza o calor com maior eficiência para realizar trabalho útil. Surpreendentemente, Carnot foi capaz de analisar o desempenho desse tipo de máquina antes que a primeira lei da termodinâmica e o conceito de entropia fossem descobertos.

A Fig. 20-8 mostra, de forma esquemática, o funcionamento de uma

máquina de Carnot. Em cada ciclo da máquina, a substância de trabalho absorve uma quantidade |Q | de calor de uma fonte de calor a uma Q

temperatura constante T e fornece uma quantidade |Q | de calor a uma Q F segunda fonte de calor a uma temperatura constante mais baixa T . F

A Fig. 20-9 mostra um diagrama p-V do ciclo de Carnot, ou seja, do ciclo

a que é submetida a substância de trabalho na máquina de Carnot. Como indicam as setas, o ciclo é percorrido no sentido horário. Imagine que a substância de trabalho é um gás, confinado em um cilindro feito de material isolante e com um êmbolo submetido a um peso. O cilindro pode ser

colocado sobre duas fontes de calor, como na Fig. 20-6, ou sobre uma placa

isolante. A Fig. 20-9a mostra que, quando colocamos o cilindro em contato com a fonte quente à temperatura T , uma quantidade de calor |Q | é Q Q transferida da fonte quente para a substância de trabalho enquanto o gás sofre uma expansão isotérmica do volume V para o volume V . Quando a b colocamos o cilindro em contato com a fonte fria à temperatura T , uma F quantidade de calor |Q | é transferida da substância de trabalho para a fonte F

fria enquanto o gás sofre uma compressão isotérmica do volume V para o c

volume V (Fig. 20-9b). d

 

Figura 20-9  Diagrama pressão-volume do ciclo seguido pela substância de trabalho da máquina de

Carnot da Fig. 20-8. O ciclo é formado por duas isotermas (ab e cd) e duas adiabáticas (bc e da). A área sombreada limitada pelo ciclo é igual ao trabalho W por ciclo realizado pela máquina de Carnot.

Na máquina térmica da Fig. 20-8, supomos que as transferências de calor

para a substância de trabalho ou para a fonte de calor ocorrem apenas

durante os processos isotérmicos ab e cd da Fig. 20-9. Assim, os processos bc e da nessa figura, que ligam as isotermas correspondentes às temperaturas T e T , devem ser processos adiabáticos (reversíveis), ou seja, Q F

processos nos quais nenhuma energia é transferida na forma de calor. Para isso, durante os processos bc e da, o cilindro é colocado sobre uma placa isolante enquanto o volume da substância de trabalho varia.

Durante os processos ab e bc da Fig. 20-9a, a substância de trabalho está

se expandindo, realizando trabalho positivo enquanto eleva o êmbolo e o

peso sustentado pelo êmbolo. Esse trabalho é representado na Fig. 20-9a

pela área sob a curva abc. Durante os processos cd e da (Fig. 20-9b), a substância de trabalho está sendo comprimida, o que significa que está realizando trabalho negativo sobre o ambiente, ou (o que significa o mesmo) que o ambiente está realizando trabalho sobre a substância de trabalho enquanto o êmbolo desce. Esse trabalho é representado pela área sob a curva cda. O trabalho líquido por ciclo, que é representado por W nas

Figs. 20-8 e 20-9, é a diferença entre as duas áreas e é uma grandeza

positiva igual à área limitada pelo ciclo abcda da Fig. 20-9. Esse trabalho W é realizado sobre um objeto externo, como uma carga a ser levantada.

A Eq. 20-1 (ΔS = ∫dQ/T) nos diz que qualquer transferência de energia na

forma de calor envolve uma variação de entropia. Para ilustrar as variações de entropia de uma máquina de Carnot, podemos plotar o ciclo de Carnot

em um diagrama temperatura-entropia (T-S), como mostra a Fig. 20-10. Os

pontos indicados pelas letras a, b, c e d na Fig. 20-10 correspondem aos

pontos indicados pelas mesmas letras no diagrama p-V da Fig. 20-9. As

duas retas horizontais na Fig. 20-10 correspondem aos dois processos isotérmicos do ciclo de Carnot (pois a temperatura é constante). O processo ab é a expansão isotérmica do ciclo. Enquanto a substância de trabalho absorve (reversivelmente) um calor |Q | à temperatura constante T durante Q Q a expansão, a entropia aumenta. Da mesma forma, durante a compressão isotérmica cd, a substância de trabalho perde (reversivelmente) um calor |Q | à temperatura constante T e a entropia diminui. F F

As duas retas verticais da Fig. 20-10 correspondem aos dois processos

adiabáticos do ciclo de Carnot. Como nenhum calor é transferido durante os dois processos, a entropia da substância de trabalho permanece constante.

O Trabalho Para calcular o trabalho realizado por uma máquina de

Carnot durante um ciclo, vamos aplicar a Eq. 18-26, a primeira lei da termodinâmica (ΔE = Q – W), à substância de trabalho. A substância deve int

retornar repetidamente a um estado do ciclo escolhido arbitrariamente. Assim, se X representa uma propriedade de estado da substância de trabalho, como pressão, temperatura, volume, energia interna ou entropia, devemos ter ΔX = 0 para o ciclo completo. Segue-se que ΔE = 0 para um int ciclo completo da substância de trabalho. Lembrando que Q na Eq. 18-26 é o calor líquido transferido por ciclo e W é o trabalho líquido resultante, podemos escrever a primeira lei da termodinâmica para o ciclo de Carnot na forma

 

Variações de Entropia Em uma máquina de Carnot existem

duas (e apenas duas) transferências de energia reversíveis na forma de calor e, portanto, duas variações da entropia da substância de trabalho, uma à temperatura T e outra à temperatura T . A variação líquida de entropia por Q F ciclo é dada por

 

Nesta equação, ΔS é positiva, já que uma energia |Q | é adicionada à Q Q substância de trabalho na forma de calor (o que representa um aumento de entropia), e ΔS é negativa, pois uma energia |Q | é removida da substância F F de trabalho na forma de calor (o que representa uma diminuição de entropia). Como a entropia é uma função de estado, devemos ter ΔS = 0 para o ciclo completo. Fazendo ΔS = 0 na Eq. 20-9, obtemos

Figura 20-10  O ciclo de Carnot da Fig. 20-9 mostrado em um diagrama temperaturaentropia. Durante os processos ab e cd, a temperatura permanece constante. Durante os processos bc e da, a entropia permanece constante.

 

Note que, como T > T , temos |Q | > |Q |, ou seja, mais energia é extraída Q F Q F na forma de calor da fonte quente do que é fornecida à fonte fria.

Vamos agora usar as Eqs. 20-8 e 20-10 para deduzir uma expressão para

a eficiência de uma máquina de Carnot.

 

Figura 20-11  Os elementos de uma máquina térmica perfeita, ou seja, uma máquina que converte calor Q de uma fonte quente em trabalho W com 100% de eficiência. Q

 

Eficiência de uma Máquina de Carnot

No uso prático de qualquer máquina térmica, existe interesse em transformar em trabalho a maior parte possível da energia disponível Q . O Q êxito nessa empreitada é medido pela chamada eficiência térmica (e), definida como o trabalho que a máquina realiza por ciclo (“energia utilizada”) dividido pela energia que a máquina recebe em forma de calor por ciclo (“energia consumida”):

 

No caso de uma máquina de Carnot, podemos substituir W pelo seu valor, dado pela Eq. 20-8, e escrever a Eq. 20-11 na forma

 

Combinando as Eqs. 20-12 e 20-10, obtemos

 

em que as temperaturas T e T estão em kelvins. Como T < T , a máquina F Q F Q de Carnot tem necessariamente uma eficiência térmica positiva e menor que

a unidade, ou seja, menor que 100%. Este fato está ilustrado na Fig. 20-8, em que podemos ver que apenas parte da energia extraída como calor da fonte quente é usada para realizar trabalho; o calor que resta é transferido para a fonte fria. Mostraremos, no Módulo 20-3, que nenhuma máquina real pode ter uma eficiência térmica maior que a prevista pela Eq. 20-13.

Os inventores estão sempre procurando aumentar a eficiência das

máquinas térmicas reduzindo a quantidade de energia |Q | que é F “desperdiçada” em cada ciclo. O sonho dos inventores é produzir a

máquina térmica perfeita, mostrada esquematicamente na Fig. 20-11, na qual |Q | é zero e |Q | é convertido totalmente em trabalho. Se fosse F Q

instalada em um navio, por exemplo, uma máquina desse tipo poderia extrair o calor da água e usá-lo para acionar as hélices, sem nenhum consumo de combustível. Um automóvel equipado com um motor desse tipo poderia extrair calor do ar e usá-lo para movimentar o carro, novamente sem nenhum consumo de combustível. Infelizmente, a máquina perfeita é apenas um sonho: Examinando a Eq. 20-13, vemos que só seria possível trabalhar com 100% de eficiência (ou seja, com e = 1) se T = 0 ou F T = ∞, condições impossíveis de conseguir na prática. Na verdade, a Q

experiência levou à seguinte versão alternativa da segunda lei da termodinâmica, que, em última análise, equivale a dizer que nenhuma máquina térmica é perfeita:

 

© Richard Ustinich

Figura 20-12  A usina nuclear de North Anna, perto de Charlottesville, Virginia, que gera energia elétrica a uma taxa de 900 MW. Ao mesmo tempo, por projeto, ela descarrega energia, em um rio próximo, a uma taxa de 2100 MW. Essa usina e todas as usinas semelhantes descartam mais energia

do que fornecem em forma útil. São versões realistas da máquina térmica ideal da Fig. 20-8.

 

Não existe uma série de processos cujo único resultado seja a

conversão total em trabalho da energia contida em uma fonte de calor.

 

Resumindo: A eficiência térmica dada pela Eq. 20-13 se aplica apenas às

máquinas de Carnot. As máquinas reais, nas quais os processos que formam o ciclo da máquina não são reversíveis, têm uma eficiência menor. Conforme a Eq. 20-13, se o seu carro fosse movido por uma máquina de Carnot, a eficiência seria de 55%, aproximadamente; na prática, a eficiência

é provavelmente da ordem de 25%. Uma usina nuclear (Fig. 20-12), considerada como um todo, é uma máquina térmica que extrai energia em forma de calor do núcleo de um reator, realiza trabalho por meio de uma turbina e descarrega energia em forma de calor em um rio ou no mar. Se uma usina nuclear operasse como uma máquina de Carnot, teria uma eficiência de cerca de 40%; na prática, a eficiência é da ordem de 30%. No projeto de máquinas térmicas de qualquer tipo, é simplesmente impossível superar o limite de eficiência imposto pela Eq. 20-13.

 

Figura 20-13  Diagrama p-V da substância de trabalho de uma máquina de Stirling ideal, supondo, por conveniência, que a substância de trabalho é um gás ideal.

 

A Máquina de Stirling

A Eq. 20-13 não se aplica a todas as máquinas ideais, mas somente às que

funcionam segundo um ciclo como o da Fig. 20-9, ou seja, às máquinas de

Carnot. A Fig. 20-13 mostra, por exemplo, o ciclo de operação de uma

máquina de Stirling ideal. Uma comparação com o ciclo de Carnot da Fig.

20-9 revela que, embora as duas máquinas possuam transferências de calor isotérmicas nas temperaturas T e T , as duas isotermas do ciclo da máquina Q F de Stirling não são ligadas por processos adiabáticos, como na máquina de Carnot, mas por processos a volume constante. Para aumentar reversivelmente a temperatura de um gás a volume constante de T para T FQ

(processo da da Fig. 20-13) é preciso transferir energia na forma de calor para a substância de trabalho a partir de uma fonte cuja temperatura possa variar suavemente entre esses limites. Além disso, uma transferência no sentido inverso é necessária para executar o processo bc. Assim, transferências reversíveis de calor (e variações correspondentes da entropia) ocorrem nos quatro processos que formam o ciclo de uma máquina de Stirling e não em apenas dois processos, como em uma máquina de Carnot. Assim, a dedução que leva à Eq. 20-13 não se aplica a uma máquina de Stirling ideal; a eficiência de uma máquina de Stirling ideal é menor do que a de uma máquina de Carnot operando entre as mesmas temperaturas. As máquinas de Stirling reais possuem uma eficiência ainda menor.

A máquina de Stirling foi inventada em 1816 por Robert Stirling. A

máquina, que foi ignorada durante muito tempo, hoje está sendo aperfeiçoada para uso em automóveis e naves espaciais. Uma máquina de Stirling com uma potência de 5000 hp (3,7 MW) já foi construída. Como são muito silenciosas, as máquinas de Stirling são usadas em alguns submarinos militares.

 

Teste 3

Três máquinas de Carnot operam entre fontes de calor a temperaturas

de (a) 400 e 500 K, (b) 600 e 800 K e (c) 400 e 600 K. Ordene as

máquinas de acordo com a eficiência, em ordem decrescente.

 

Exemplo 20.03 Eficiência, potência e

variações de entropia de uma máquina de

Carnot

Uma máquina de Carnot opera entre as temperaturas T = 850 K e T = Q F

300 K. A máquina realiza 1200 J de trabalho em cada ciclo, que leva

0,25 s.

(a) Qual é a eficiência da máquina?

 

IDEIA-CHAVE

A eficiência e de uma máquina de Carnot depende apenas da razão

T /T das temperaturas (em kelvins) das fontes de calor às quais está F Q

ligada.

 

Cálculo: De acordo com a Eq. 20-13,

 

(b) Qual é a potência média da máquina?

 

IDEIA-CHAVE

A potência média P de uma máquina é a razão entre o trabalho W

realizado por ciclo e o tempo de duração t de cada ciclo.

 

Cálculo: Para essa máquina de Carnot, temos

 

(c) Qual é a energia |Q | extraída em forma de calor da fonte quente a Q

cada ciclo?

 

IDEIA-CHAVE

Para qualquer máquina térmica, incluindo as máquinas de Carnot, a

eficiência ε é a razão entre o trabalho W realizado por ciclo e a energia

|Q | extraída em forma de calor da fonte quente por ciclo (e = W/|Q |). Q Q

 

Cálculo: Explicitando |Q |, obtemos Q

 

(d) Qual é a energia |Q | liberada em forma de calor para a fonte fria a F

cada ciclo?

 

IDEIA-CHAVE

Em uma máquina de Carnot, o trabalho W realizado por ciclo é igual à

diferença entre as energias transferidas em forma de calor, ou seja, |Q | Q

– |Q |, como na Eq. 20-8. F

 

Cálculo: Explicitando |Q |, obtemos F

 

(e) De quanto varia a entropia da substância de trabalho devido à

energia recebida da fonte quente? De quanto varia a entropia da

substância de trabalho devido à energia cedida à fonte fria?

 

IDEIA-CHAVE

A variação de entropia ΔS durante a transferência de energia em forma

de calor Q a uma temperatura constante T é dada pela Eq. 20-2 (ΔS =

Q/T).

 

Cálculos: Para a transferência positiva de uma energia Q da fonte Q

quente a uma temperatura T , a variação de entropia da substância de Q

trabalho é

 

Para a transferência negativa de uma energia Q para a fonte fria a uma F

temperatura T , temos F

 

Note que a variação líquida de entropia da substância de trabalho para

um ciclo completo é zero, como já foi discutido na dedução da Eq. 20-

10.

 

Exemplo 20.04 Eficiência de um motor