A Gravitação Perto da Superfície da Terra

13.07 Calcular a aceleração da gravidade nas proximidades de um corpo celeste esférico e

homogêneo.

13.08 Saber a diferença entre peso e força gravitacional e entre aceleração de queda livre e

aceleração da gravidade.

 

Ideias-Chave

• A aceleração da gravidade a de uma partícula de massa m se deve exclusivamente à força g

gravitacional a que a partícula é submetida. Quando a partícula está a uma distância r do centro de um corpo celeste esférico e homogêneo de massa M, a força gravitacional F que age sobre a partícula é dada pela Eq. 13.1. De acordo com a segunda lei de Newton,

 

F = ma , g

 

o que nos dá

 

• Como a massa da Terra não está distribuída de modo uniforme, a aceleração da gravidade a varia g ligeiramente de um ponto a outro da superfície terrestre.

• Como a Terra possui um movimento de rotação, o peso de uma partícula, mg, em que g é aceleração de queda livre, é ligeiramente menor que o módulo da força gravitacional.

 

A Gravitação Perto da Superfície da Terra Vamos supor que a Terra é uma esfera homogênea de massa M. O módulo da força gravitacional que a Terra exerce sobre uma partícula de massa m, localizada fora da Terra a uma distância r do centro da Terra, é dado pela Eq. 13-1:

 

Se a partícula é liberada, ela cai em direção ao centro da Terra, em consequência da força gravitacional , com uma aceleração que é g

chamada de aceleração da gravidade. De acordo com a segunda lei de Newton, os módulos de e estão relacionados pela equação g Substituindo F na Eq. 13-10 pelo seu valor, dado pela Eq. 13-9, e explicitando a , obtemos g

 

A Tabela 13-1 mostra os valores de a calculados para várias altitudes g acima da superfície da Terra. Note que a tem um valor significativo, g mesmo a 400 km de altura.

 

Tabela 13-1  Variação de a com a Altitude g

 

Altitude a Exemplo de Altitude g

(km) (m/s2)

 

0 9,83 Superfície média da Terra

 

8,8 9,80 Monte Everest

 

36,6 9,71 Recorde para um balão tripulado

 

400 8,70 Órbita do ônibus espacial

 

35.700 0,225 Satélite de comunicações

 

A partir do Módulo 5-1, supusemos que a Terra era um referencial

inercial, desprezando o movimento de rotação do planeta. Essa simplificação permitiu supor que a aceleração de queda livre g de uma partícula era igual à aceleração da gravidade (que agora chamamos de a ). g Além disso, supusemos que g possuía o valor de 9,8 m/s2 em qualquer ponto da superfície da Terra. Na verdade, o valor de g medido em um ponto específico da superfície terrestre é diferente do valor de a calculado usando g a Eq. 13-11 para o mesmo ponto, por três razões: (1) A massa da Terra não está distribuída uniformemente, (2) a Terra não é uma esfera perfeita, (3) a Terra está girando. Pelas mesmas razões, o peso mg de uma partícula é diferente da força calculada usando a Eq. 13-9. Vamos agora discutir essas três razões.

Figura 13-5  Massa específica da Terra em função da distância do centro. Os limites do núcleo sólido interno, do núcleo externo semilíquido e do manto sólido são claramente visíveis, mas a crosta da Terra é fina demais para ser mostrada no gráfico.

 

1. A massa da Terra não está uniformemente distribuída. A massa específica (massa por unidade de volume) da Terra varia

com a distância do centro, como mostra a Fig. 13-5, e a massa específica da crosta (parte mais próxima da superfície) varia de ponto a ponto da superfície da Terra. Assim, g não é igual em todos os pontos da superfície.

2. A Terra não é uma esfera. A Terra tem a forma aproximada de um elipsoide; é achatada nos polos e saliente no equador. A diferença entre o raio equatorial (distância entre o centro da Terra e o equador) e o raio polar (distância entre o centro da Terra e os polos) é da ordem de 21 km. Assim, um ponto em um dos polos está mais próximo do centro da Terra do que um ponto no equador. Essa é uma das razões pelas quais a aceleração de queda livre g ao nível do mar aumenta à medida que nos afastamos do equador em direção a um dos polos.

3. A Terra está girando. O eixo de rotação passa pelos polos norte e sul da Terra. Um objeto localizado em qualquer lugar da superfície da Terra, exceto nos polos, descreve uma circunferência em torno do eixo de rotação e, portanto, possui uma aceleração centrípeta dirigida para o centro da circunferência. Essa aceleração centrípeta é produzida por uma força centrípeta que também está dirigida para o centro.

Para compreendermos de que forma a rotação da Terra faz com que g

seja diferente de a , vamos analisar uma situação simples na qual um g

caixote de massa m está em uma balança no equador. A Fig. 13-6a mostra a situação observada de um ponto do espaço acima do polo norte.

A Fig. 13-6b, um diagrama de corpo livre, mostra as duas forças que

agem sobre o caixote, ambas orientadas ao longo da reta que liga o centro da Terra ao caixote. A força normal exercida pela balança sobre o N

caixote é dirigida para fora da Terra, no sentido positivo do eixo r. A força gravitacional, representada pela força equivalente m , é dirigida para g

dentro da Terra. Como se move em uma circunferência por causa da rotação da Terra, o caixote possui uma aceleração centrípeta dirigida para o centro

da Terra. De acordo com a Eq. 10-23 (a = ω2r), a aceleração centrípeta do r caixote é igual a ω2R, em que ω é a velocidade angular da Terra e R é o raio da circunferência (aproximadamente o raio da Terra). Assim, podemos escrever a segunda lei de Newton para as forças ao longo do eixo r (F = res,r

ma ) na forma r

 

Figura 13-6  (a) Um caixote em uma balança no equador da Terra, visto por um observador posicionado no eixo de rotação da Terra, em um ponto acima do polo norte. (b) Diagrama de corpo livre do caixote, com um eixo r na direção da reta que liga o caixote ao centro da Terra. A força gravitacional que age sobre o caixote está representada pelo vetor m . A força normal exercida pela g

balança sobre o caixote é . Devido à rotação da Terra, o caixote possui uma aceleração centrípeta N

dirigida para o centro da Terra.

 

O módulo F da força normal é igual ao peso mg indicado pela balança. N

Substituindo F por mg, a Eq. 13-12 se torna N

 

ou, em palavras,

 

Assim, a rotação da Terra faz com que o peso medido seja menor que a força gravitacional que age sobre o caixote.

Diferença das Acelerações. Para obter uma expressão correspondente

para g e a , cancelamos m na Eq. 13-13, o que nos dá g

 

ou, em palavras,

 

Assim, a rotação da Terra faz com que aceleração de queda livre seja menor que a aceleração da gravidade.

Equador. A diferença entre as acelerações g e a é igual a ω2R e é g

máxima no equador, já que o raio R da circunferência descrita pelo caixote é máximo no equador. Para estimar a diferença, podemos usar a Eq. 10-5 (ω = Δθ/Δt) e o raio médio da Terra, R = 6,37 × 106 m. Para uma rotação da Terra, θ = 2π rad e o período Δt é aproximadamente 24 h. Usando esses valores (e convertendo horas para segundos), descobrimos que a diferença

entre a e g é apenas cerca de 0,034 m/s2 (um valor muito pequeno em g

comparação com 9,8 m/s2). Assim, desprezar a diferença entre as acelerações g e a constitui, na maioria dos casos, uma aproximação g

razoável. Da mesma forma, desprezar a diferença entre o peso e o módulo da força gravitacional constitui, na maioria das vezes, uma aproximação razoável.

 

Exemplo 13.02 Diferença entre a aceleração

da cabeça e a aceleração dos pés

(a) Uma astronauta cuja altura h é 1,70 m flutua “com os pés para

baixo” em um ônibus espacial em órbita a uma distância r = 6,77 × 106

m do centro da Terra. Qual é a diferença entre a aceleração

gravitacional dos pés e a aceleração da cabeça da astronauta?

 

IDEIAS-CHAVE

Podemos aproximar a Terra por uma esfera homogênea de massa M . T

De acordo com a Eq. 13-11, a aceleração gravitacional a qualquer

distância r do centro da Terra é

 

Poderíamos simplesmente aplicar essa equação duas vezes, primeiro

com r = 6,77 × 106 m para os pés e depois com r = 6,77 × 106 m + 1,70

m para a cabeça. Entretanto, como h é muito menor que r, uma

calculadora forneceria o mesmo valor para a nos dois casos e, g

portanto, obteríamos uma diferença nula. Outra abordagem é mais

produtiva: Como é muito pequena a diferença dr entre a distância dos

pés e a distância da cabeça da astronauta e o centro da Terra, vamos

diferenciar a Eq. 13-15 em relação a r.

 

Cálculos: Diferenciando a Eq. 13-15, obtemos

 

em que da é o acréscimo da aceleração gravitacional em consequência g

de um acréscimo dr da distância ao centro da Terra. No caso da 13-4 A GRAVITAÇÃO NO INTERIOR DA

astronauta, dr = h e r = 6,77 × 106 m. Substituindo os valores

conhecidos na Eq. 13-16, obtemos:

 

em que o valor de M foi obtido no Apêndice C. O resultado significa T

que a aceleração gravitacional dos pés da astronauta em direção à

Terra é ligeiramente maior que a aceleração da cabeça. A diferença

entre as acelerações (conhecida como efeito maré) tende a esticar o

corpo da astronauta, mas é tão pequena que não pode ser percebida.

 

(b) Se a mesma astronauta está “de pés para baixo” em uma nave

espacial em órbita com o mesmo raio r = 6,77 × 106 m em torno de um

buraco negro de massa M = 1,99 × 1031 kg (10 vezes a massa do Sol), b

qual é a diferença entre a aceleração gravitacional dos pés e da cabeça?

O buraco negro possui uma superfície (chamada horizonte de eventos)

de raio R = 2GM /c2 ≈ 1,48 × 10–27M = 2,95 × 104 m, em que c é a b b b

velocidade da luz. Nada, nem mesmo a luz, pode escapar dessa

superfície ou de qualquer ponto do interior. Note que a astronauta está

bem longe do horizonte de eventos (r = 229R ). b

 

Cálculos: Mais uma vez, temos uma variação dr entre os pés e a

cabeça da astronauta e podemos empregar a Eq. 13-16. Agora, porém,

em vez de M , temos de usar M = 1,99 × 1031 kg. O resultado é T b

 

Isso significa que a aceleração gravitacional dos pés da astronauta em

direção ao buraco negro é bem maior que a da cabeça. A força

resultante seria suportável, mas dolorosa. Se a astronauta se

aproximasse do buraco negro, a força de estiramento aumentaria

drasticamente.