14-7 A Equação de Bernoulli

 

 

Objetivos do Aprendizado

Depois de ler este módulo, você será capaz de ...

14.21 Calcular a energia cinética específica a partir da massa específica e da velocidade do fluido.

14.22 Saber que a pressão de um fluido é um tipo de energia específica.

14.23 Calcular a energia potencial gravitacional específica.

14.24 Usar a equação de Bernoulli para relacionar os valores da energia específica total em dois

pontos de uma linha de fluxo.

14.25 Saber que a equação de Bernoulli é uma consequência da lei de conservação da energia

mecânica.

 

Ideia-Chave

• Aplicando a lei de conservação da energia mecânica à vazão de um fluido ideal, obtemos a equação de Bernoulli:

 

que é válida para qualquer tubo de fluxo.

 

A Equação de Bernoulli

A Fig. 14-19 mostra um tubo pelo qual um fluido ideal escoa com vazão constante. Suponha que, em um intervalo de tempo Δt, um volume ΔV do

fluido, de cor violeta na Fig. 14-19, entre pela extremidade esquerda

(entrada) do tubo, e um volume igual, de cor verde na Fig. 14-19, saia pela extremidade direita (saída) do tubo. Como o fluido é incompressível, com massa específica constante ρ, o volume que sai é igual ao volume que entra.

Figura 14-19  Um fluido escoa com vazão constante por um trecho de um tubo de comprimento L, da extremidade de entrada, à esquerda, à extremidade de saída, à direita. Do instante t em (a) ao instante t + Δt em (b), uma quantidade de fluido, representada na cor violeta, entra pela extremidade esquerda e uma quantidade igual, representada na cor verde, sai pela extremidade direita.

 

 

Sejam y , v e p a altura, a velocidade e a pressão do fluido que entra do 1 1 1

lado esquerdo, e y , v e p os valores correspondentes do fluido que sai do 2 2 2

lado direito. Aplicando ao fluido a lei de conservação da energia mecânica, vamos mostrar que esses valores estão relacionados por meio da equação

 

em que o termo é chamado de energia cinética específica (energia cinética por unidade de volume) do fluido. A Eq. 14-28 também pode ser escrita na forma

As Eqs. 14-28 e 14-29 são formas equivalentes da equação de Bernoulli,

 

que tem esse nome por causa de Daniel Bernoulli, que estudou o

escoamento de fluidos no século XVIII.* Como a equação de continuidade (Eq. 14-24), a equação de Bernoulli não é um princípio novo, mas simplesmente uma reformulação de um princípio conhecido para uma forma mais adequada à mecânica dos fluidos. Como um teste, vamos aplicar a equação de Bernoulli a um fluido em repouso, fazendo v = v = 0 1 2 na Eq. 14-28. O resultado é

 

p = p + ρg(y – y ). 2 1 1 2

 

que é a Eq. 14-7.

Uma previsão importante da equação de Bernoulli surge quando supomos

que y é constante (y = 0, digamos), ou seja, que a altura do fluido não varia. Nesse caso, a Eq. 14-28 se torna

 

ou, em palavras,

 

Se a velocidade de um fluido aumenta enquanto o fluido se move

horizontalmente ao longo de uma linha de fluxo, a pressão do fluido

diminui, e vice-versa.

 

Isso significa que, nas regiões em que as linhas de fluxo estão mais concentradas (o que significa que a velocidade é maior), a pressão é menor, e vice-versa.

A relação entre uma mudança de velocidade e uma mudança de pressão

faz sentido quando consideramos um elemento do fluido. Quando o elemento se aproxima de uma região estreita, a pressão mais elevada atrás do elemento o acelera, de modo que ele adquire uma velocidade maior. Quando o elemento se aproxima de uma região mais larga, a pressão maior à frente o desacelera, de modo que ele adquire uma velocidade menor.

A equação de Bernoulli é estritamente válida apenas para fluidos ideais;

quando forças viscosas estão presentes, a energia mecânica não é conservada, já que parte da energia é convertida em energia térmica. Na demonstração que se segue, vamos supor que o fluido é ideal.

 

Demonstração da Equação de Bernoulli

Vamos considerar, como nosso sistema, o volume inteiro do fluido (ideal)

da Fig. 14-19. Vamos aplicar a lei de conservação da energia mecânica a

esse sistema na passagem do estado inicial (Fig. 14-19a) para o estado final (Fig. 1419b). No processo, as propriedades do fluido que está entre os dois

planos verticais separados por uma distância L na Fig. 14-19 permanecem as mesmas; precisamos nos preocupar apenas com as mudanças que ocorrem nas extremidades de entrada e saída.

Para começar, aplicamos a lei de conservação da energia mecânica na

forma do teorema do trabalho e energia cinética,

 

que nos diz que a variação da energia cinética do sistema é igual ao trabalho total realizado sobre o sistema. A variação da energia cinética é uma consequência da variação da velocidade do fluido entre as extremidades do tubo e é dada por

 

em que Δm (= ρΔV) é a massa do fluido que entra por uma extremidade e sai pela outra durante um pequeno intervalo de tempo Δt.

O trabalho realizado sobre o sistema tem duas origens. O trabalho Wg

realizado pela força gravitacional (Δm ) sobre uma massa Δm do fluido durante a subida da massa do nível da entrada até o nível da saída é dado por

Esse trabalho é negativo porque o deslocamento para cima e a força gravitacional para baixo têm sentidos opostos.

 

Algum trabalho também precisa ser realizado sobre o sistema (no lado da

entrada) para empurrar o fluido para dentro do tubo e pelo sistema (no lado da saída) para empurrar o fluido que está mais adiante no tubo. O trabalho realizado por uma força de módulo F agindo sobre o fluido contido em um tubo de área A para fazer com que o fluido percorra uma distância Δx é

 

F Δx = (pA)(Δx) = p(A Δx) = p ΔV.

 

O trabalho realizado sobre o sistema é, portanto, p ΔV, e o trabalho 1 realizado pelo sistema é –p ΔV. A soma dos dois trabalhos, W , é 2 p

 

Assim, a Eq. 14-31 se torna

 

W = W + W = ΔK. g p

 

Combinando as Eqs. 14-32, 14-33 e 14-34, obtemos

 

Cancelando ΔV e reagrupando os termos, obtemos a Eq. 14-28, que queríamos demonstrar.

 

Teste 4

A água escoa suavemente pela tubulação da figura, descendo no

processo. Ordene as quatro seções numeradas da tubulação de acordo

(a) com a vazão R , (b) com a velocidade v e (c) com a pressão p do V

fluido, em ordem decrescente.

Exemplo 14.06 Aplicação do princípio de

Bernoulli a um cano de calibre variável

Um cano horizontal de calibre variável (como o da Fig. 14-15), cuja

seção reta muda de A = 1,20 × 10–3 m2 para A = A /2, conduz um 1 2 1

fluxo laminar de etanol, de massa específica ρ = 791 kg/m3. A

diferença de pressão entre a parte larga e a parte estreita do cano é

4120 Pa. Qual é a vazão R de etanol? V

 

IDEIAS-CHAVE

(1) Como todo o fluido que passa pela parte mais larga do cano

também passa pela parte mais estreita, a vazão R deve ser a mesma V

nas duas partes. Assim, de acordo com a Eq. 14-24,

 

Entretanto, uma vez que não conhecemos as duas velocidades, não

podemos calcular R a partir dessa equação. (2) Como o escoamento é V

laminar, podemos aplicar a equação de Bernoulli. De acordo com a Eq.

14-28, temos

 

em que os índices 1 e 2 se referem às partes larga e estreita do cano,

respectivamente, e y é a altura comum às duas partes. A Eq. (14-36)

não parece muito útil para a solução do problema, pois não contém a

vazão procurada R e contém as velocidades desconhecidas v e v . V 1 2

Cálculos: Existe uma forma engenhosa de fazer a Eq. 14-36

trabalhar para nós. Primeiro, podemos usar a Eq. 14-35 e o fato de que

A = A /2 para escrever 2 1

 

Em seguida, podemos substituir essas expressões na Eq. 14-36 para

eliminar as velocidades desconhecidas e introduzir a vazão procurada.

Fazendo isso e explicitando R , obtemos V

 

Ainda temos uma decisão a tomar. Sabemos que a diferença de

pressão entre as duas partes do cano é 4120 Pa, mas isso significa que

p – p = 4120 Pa ou –4120 Pa? Poderíamos supor que a primeira 1 2

hipótese é a verdadeira, pois de outra forma a raiz quadrada na Eq. 14-

38 não seria um número real. Em vez disso, vamos raciocinar um

pouco. De acordo com a Eq. 14-35, para que os produtos v A e v A 1 1 2

sejam iguais, a velocidade v na parte estreita deve ser maior que a 2

velocidade v na parte larga. Sabemos também que, se a velocidade de 1

um fluido aumenta enquanto o fluido escoa em um cano horizontal

(como neste caso), a pressão diminui. Assim, p é maior que p , e p – 1 2 1

p = 4120 Pa. Substituindo esse resultado e os valores conhecidos na 2

Eq. 14-38, obtemos

 

Exemplo 14.07 Aplicação do princípio de

Bernoulli a uma caixa d’água

No Velho Oeste, um bandido atira em uma caixa d’água sem tampa

(Fig. 14-20), abrindo um furo a uma distância h abaixo da superfície

da água. Qual é a velocidade v da água ao sair da caixa d’água?

IDEIAS-CHAVE

(1) A situação descrita é equivalente à da água descendo com

velocidade v por um cano largo de seção reta A (o tanque) e depois se 0

movendo (horizontalmente) com velocidade v em um cano estreito de

seção reta a (o furo). (2) Como toda a água que passa pelo cano largo

passa também pelo cano estreito, a vazão R é a mesma nos dois V

“canos”. (3) Podemos também relacionar v a v (e a h) por meio da 0

equação de Bernoulli (Eq. 14-28).

 

Cálculos: De acordo com a Eq. 14-24,

 

R = av = Av v0

 

e, portanto,

 

Pelo fato de a ≪ A, sabemos que v ! v. Para aplicar a equação de 0

Bernoulli, tomamos o nível do furo como nível de referência para

medir a altura (e a energia potencial gravitacional). Como a pressão no

alto da caixa d’água e no furo da bala é a pressão atmosférica p (pois 0

os dois locais estão expostos à atmosfera), a Eq. 14-28 se torna