A Velocidade do Som

A velocidade de uma onda mecânica, seja ela transversal ou longitudinal, depende tanto das propriedades inerciais do meio (para armazenar energia cinética) como das propriedades elásticas do meio (para armazenar energia potencial). Assim, podemos generalizar a Eq. 16-26, usada para calcular a velocidade de uma onda transversal em uma corda, escrevendo

em que (para ondas transversais) τ é a tração da corda e μ é a massa específica linear da corda. Se o meio de propagação é o ar e a onda é longitudinal, podemos deduzir facilmente que a propriedade inercial que corresponde a μ é a massa específica ρ do ar. O que corresponde, porém, à propriedade elástica?

Em uma corda esticada, a energia potencial está associada à deformação

periódica dos elementos da corda quando a onda passa por esses elementos. Quando uma onda sonora se propaga no ar, a energia potencial está associada à compressão e à expansão de pequenos elementos de volume do ar. A propriedade que determina o quanto um elemento de um meio muda de volume quando é submetido a uma pressão (força por unidade de área) é o módulo de elasticidade volumétrico B, definido (pela Eq. 12-25) como

Nesta equação, ΔV/V é a variação relativa de volume produzida por uma variação de pressão Δp. Como vimos no Módulo 14-1, a unidade de pressão do SI é o newton por metro quadrado, que recebe o nome de pascal (Pa). De acordo com a Eq. 17-2, a unidade de B também é o pascal. Os sinais de Δp e ΔV são opostos: quando aumentamos a pressão sobre um elemento (ou seja, quando Δp é positivo), o volume diminui (ΔV é negativo). Incluímos um sinal negativo na Eq. 17-2 para que B seja um número positivo. Substituindo t por B e μ por ρ na Eq. 17-1, obtemos a equação

Figura 17-2  Uma onda sonora se propaga a partir de uma fonte pontual S em um meio tridimensional. As frentes de onda formam esferas com centro em S; os raios são perpendiculares às frentes de onda. As setas de duas cabeças mostram que os elementos do meio no qual a onda está se propagando oscilam na direção dos raios.

que nos dá a velocidade do som em um meio de módulo de elasticidade

volumétrico B e massa específica ρ. A Tabela 17-1 mostra a velocidade do som em vários meios.

A massa específica da água é quase 1000 vezes maior que a do ar. Se

esse fosse o único fator importante, esperaríamos, de acordo com a Eq. 17-3, que a velocidade do som na água fosse muito menor que a velocidade do

som no ar. Entretanto, a Tabela 17-1 mostra o contrário. Concluímos (novamente a partir da Eq. 17-3) que o módulo de elasticidade volumétrico da água é mais de 1000 vezes maior que o do ar. Esse é, realmente, o caso. A água é muito mais incompressível do que o ar, o que (veja a Eq. 17-2) é outra forma de dizer que o módulo de elasticidade volumétrico da água é muito maior que o do ar.

Tabela 17-1  a A Velocidade do Som em Vários Meios

Meio Velocidade (m/s)

Gases

Ar (0o 331 C)

Ar (20oC) 343

Hélio 965

Hidrogênio 1284

Líquidos

Água (0oC) 1402

Água (20oC) 1482

Água salgadab 1522

Sólidos

Alumínio 6420

Aço 5941

Granito 6000

a o A 0C e 1 atm de pressão, a menos que haja uma indicação em contrário. b o A 20C e com 3,5% de salinidade.

Demonstração Formal da Eq. 17-3

Vamos agora demonstrar a Eq. 17-3 aplicando diretamente as leis de Newton. Considere um pulso isolado de compressão do ar que se propaga

da direita para a esquerda, com velocidade v, em um tubo como o da Fig.

16-2. Vamos escolher um referencial que se move com a mesma velocidade

que o pulso. A Fig. 17-3a mostra a situação do ponto de vista desse referencial. O pulso permanece estacionário e o ar passa por ele com velocidade v, movendo-se da esquerda para a direita.

Sejam p a pressão do ar não perturbado e p + Δp a pressão na região do

pulso, em que Δp é positivo devido à compressão. Considere um elemento de ar de espessura Δx e seção reta A, movendo-se em direção ao pulso com velocidade v. Quando o elemento de ar penetra no pulso, a borda dianteira encontra uma região de maior pressão, que reduz a velocidade do elemento para v + Δv, em que Δv é um número negativo. A redução de velocidade termina quando a borda traseira do elemento penetra no pulso, o que acontece após um intervalo de tempo dado por

Vamos aplicar a segunda lei de Newton ao elemento. Durante o intervalo

de tempo Δt, a força média exercida sobre a borda traseira do elemento é pA, dirigida para a direita, e a força média exercida sobre a face dianteira é

(p + Δp)A, dirigida para a esquerda (Fig. 17-3b). Assim, a força resultante média exercida sobre o elemento durante o intervalo Δt é

O sinal negativo indica que a força resultante que age sobre o elemento de

ar aponta para a esquerda na Fig. 17-3b. O volume do elemento é AΔx; assim, com a ajuda da Eq. 17-4, podemos escrever a massa como

A aceleração média do elemento durante o intervalo Δt é

Figura 17-3  Um pulso de compressão se propaga da direita para a esquerda em um tubo longo, cheio de ar. O referencial da figura foi escolhido de tal forma que o pulso permanece em repouso e o ar se move da esquerda para a direita. (a) Um elemento de ar de largura Δx se move em direção ao pulso com velocidade v. (b) A borda dianteira do elemento penetra no pulso. São mostradas as forças (associadas à pressão do ar) que agem sobre as bordas dianteira e traseira.

De acordo com a segunda lei de Newton (F = ma) e as Eqs. 17-5, 17-6 e

17-7, temos