Ondas Estacionárias e Ressonância

(3) y′(x, t) = 4 sen(5x 1 4t)

 

Em que situação as duas ondas que se combinaram estavam se

propagando (a) no sentido positivo do eixo x, (b) no sentido negativo

do eixo x e (c) em sentidos opostos?

 

Ondas Estacionárias e Ressonância Considere uma corda, por exemplo, uma corda de violão, esticada entre duas presilhas. Suponha que produzimos uma onda senoidal contínua de certa frequência que se propaga para a direita. Quando chega à extremidade direita, a onda é refletida e começa a se propagar de volta para a esquerda. A onda que se propaga para a esquerda encontra a onda que ainda se propaga para a direita. Quando a onda que se propaga para a esquerda chega à extremidade esquerda, é refletida mais uma vez, e a nova onda refletida começa a se propagar para a direita, encontrando ondas que se propagam para a esquerda. Dessa forma, logo temos muitas ondas superpostas, que interferem entre si.

Para certas frequências, a interferência produz uma onda estacionária (ou

modo de oscilação) com nós e grandes antinós como os da Fig. 16-20. Dizemos que uma onda estacionária desse tipo é gerada quando existe ressonância e que a corda ressoa nessas frequências, conhecidas como frequências de ressonância. Se a corda é excitada em uma frequência que não é uma das frequências de ressonância, não se forma uma onda estacionária. Nesse caso, a interferência das ondas que se propagam para a esquerda com as que se propagam para a direita resulta em pequenas (e talvez imperceptíveis) oscilações da corda.

 

Richard Megna/Fundamental Photographs Figura 16-20  Fotografias estroboscópicas revelam ondas estacionárias (imperfeitas) em uma corda excitada por um oscilador na extremidade esquerda. As ondas estacionárias se formam apenas para certas frequências de oscilação.

 

Figura 16-21  Uma corda presa a dois suportes oscila com ondas estacionárias. (a) O padrão mais simples possível é o de meio comprimento de onda, mostrado na figura pela posição da corda nos pontos de máximo deslocamento (linha contínua e linha tracejada). (b) O segundo padrão mais simples é o de um comprimento de onda. (c) O terceiro padrão mais simples é o de um e meio comprimentos de onda.

 

Suponha que uma corda esteja presa entre duas presilhas separadas por

uma distância L. Para obter uma expressão para as frequências de ressonância da corda, observamos que deve existir um nó em cada extremidade, pois as extremidades são fixas e não podem oscilar. A

configuração mais simples que satisfaz essa condição é a da Fig. 16-21a, que mostra a corda nas posições extremas (uma representada por uma linha contínua e a outra por uma linha tracejada). Existe apenas um antinó, no centro da corda. Note que o comprimento L da corda é igual a meio comprimento de onda. Assim, para essa configuração, λ/2 = L e, portanto, para que as ondas que se propagam para a esquerda e para a direita produzam essa configuração por interferência, devem ter um comprimento de onda λ = 2L.

Uma segunda configuração simples que satisfaz o requisito de que

existam nós nas extremidades fixas aparece na Fig. 16-21b. Essa configuração tem três nós e dois antinós. Para que as ondas que se propagam para a esquerda e para a direita a excitem, elas precisam ter um comprimento de onda λ = L. Uma terceira configuração é a que aparece na

Fig. 16-21c. Essa configuração tem quatro nós e três antinós e o comprimento de onda é λ = 2L/3. Poderíamos continuar essa progressão desenhando configurações cada vez mais complicadas. Em cada passo da progressão, o padrão teria um nó e um antinó a mais que o passo anterior e um meio comprimento de onda adicional seria acomodado na distância L.

Assim, uma onda estacionária pode ser excitada em uma corda de

comprimento L por qualquer onda cujo comprimento de onda satisfaz a condição

 

As frequências de ressonância que correspondem a esses comprimentos de onda podem ser calculadas usando a Eq. 16-13:

 

Nesta equação, v é a velocidade das ondas progressivas na corda.

De acordo com a Eq. 16-66, as frequências de ressonância são múltiplos

inteiros da menor frequência de ressonância, f = v/2L, que corresponde a n = 1. O modo de oscilação com a menor frequência é chamado de modo fundamental ou primeiro harmônico. O segundo harmônico é o modo de oscilação com n = 2, o terceiro harmônico é o modo com n = 3, e assim por diante. As frequências associadas a esses modos costumam ser chamadas de f , f , f , e assim por diante. O conjunto de todos os modos de oscilação 1 2 3

possíveis é chamado de série harmônica, e n é chamado de número harmônico do enésimo harmônico.

Para uma dada corda submetida a uma dada tração, cada frequência de

ressonância corresponde a um padrão de oscilação diferente. Se a frequência está na faixa de sons audíveis, é possível “ouvir” a forma da corda. A ressonância também pode ocorrer em duas dimensões (como na

superfície do tímpano da Fig. 16-22) e em três dimensões (como nos balanços e torções induzidos pelo vento em um edifício).

 

Cortesia de Thomas D. Rossing, Northern Illinois University

Figura 16-22  Uma das muitas ondas estacionárias possíveis da membrana de um tímpano, visualizada com o auxílio de um pó escuro espalhado na membrana. Quando a membrana é posta para vibrar em uma única frequência por um oscilador mecânico situado no canto superior esquerdo da figura, o pó se acumula nos nós, que são circunferências e linhas retas neste exemplo bidimensional.

 

Teste 6

Na série de frequências de ressonância a seguir, uma frequência

(menor que 400 Hz) está faltando: 150, 225, 300, 375 Hz. (a) Qual é a

frequência que falta? (b) Qual é a frequência do sétimo harmônico?

 

Exemplo 16.06 Ressonância de ondas

transversais: harmônicos e ondas estacionárias

A Fig. 16-23 mostra a oscilação ressonante de uma corda de massa m

= 2,500 g e comprimento L = 0,800 m sob uma tração τ = 325,0 N.

Qual é o comprimento de onda λ das ondas transversais responsáveis

pela onda estacionária mostrada na figura e qual é o número

harmônico n? Qual é a frequência f das ondas transversais e das

oscilações dos elementos da corda? Qual é o módulo máximo da

velocidade transversal u do elemento da corda que oscila no ponto de m

coordenada x = 0,180 m? Para qual valor da coordenada y do elemento

a velocidade transversal u é máxima? m

 

IDEIAS-CHAVE

(1) Para produzir uma onda estacionária, as ondas devem ter um

comprimento de onda tal que o comprimento L da corda seja igual a

um número inteiro n de meios comprimentos de onda. (2) As

frequências possíveis das ondas e das oscilações dos elementos da

corda são dadas pela Eq. 16-66 (f = nv/2L). (3) O deslocamento de um

elemento da corda em função da posição x e do tempo t é dado pela

Eq. 16-60:

 

Comprimento de onda e número harmônico: Na

Fig. 16-23, a linha cheia, que representa um instantâneo das

oscilações, mostra que o comprimento L = 0,800 m acomoda 2

comprimentos de onda das oscilações. Assim, temos:

 

2λ = L,

 

ou

 

Contando o número de meios comprimentos de onda na Fig. 16-23,

vemos que o número harmônico é

Chegaríamos à mesma conclusão comparando as Eqs. 16-68 e 16-65 (λ

= 2L/n). Assim, a corda está oscilando no quarto harmônico.

 

Frequência: Podemos determinar a frequência f das ondas

transversais a partir da Eq. 16-13 (v = λf) se conhecermos a velocidade

v das ondas. A velocidade é dada pela Eq. 16-26, mas devemos

substituir a massa específica linear desconhecida μ por m/L. O

resultado é o seguinte:

 

Explicitando f na Eq. 16-13, obtemos

 

Figura 16-23  Oscilações ressonantes em uma corda sob tração.

 

Note que podemos chegar ao mesmo resultado usando a Eq. 16-66:

 

Observe que 806 Hz não só é a frequência das ondas responsáveis pela

produção do quarto harmônico, mas também podemos dizer que é o

quarto harmônico, como na seguinte afirmação: “O quarto harmônico

desta corda é 806 Hz”. Também é a frequência da oscilação vertical

dos elementos da corda da Fig. 16-22, que oscilam verticalmente em

um movimento harmônico simples, do mesmo modo como um bloco

pendurado em uma mola vertical oscila verticalmente em um

movimento harmônico simples. Finalmente, é também a frequência do

som produzido pela corda, já que os elementos da corda produzem

alternadamente compressões e rarefações do ar que os cerca,

produzindo ondas sonoras.

 

Velocidade transversal: O deslocamento y′ do elemento da

corda situado na coordenada x em função do tempo t é dado pela Eq.

16-67. O fator cos ωt é responsável pela variação com o tempo e,

portanto, pelo “movimento” da onda estacionária. O fator 2y sen kx m

estabelece a extensão do movimento. A maior extensão acontece nos

antinós, em que sen kx é +1 ou –1 e a amplitude é 2y . De acordo com m

a Fig. 16-23, 2y = 4,00 mm e, portanto, y = 2,00 mm. m m

Queremos calcular a velocidade transversal, ou seja, a velocidade de

um elemento da corda na direção do eixo y. Para isso, derivamos a Eq.

16-67 em relação ao tempo:

 

Na Eq. 16-69, o fator sen ωt é responsável pela variação da velocidade

com o tempo e o fator –2y ω sen kx estabelece a extensão dessa m

variação. A velocidade máxima é o valor absoluto da extensão:

 

u = | –2y ω sen kx|. m m

 

Para calcular esse valor para o elemento situado em x = 0,180 m,

observamos que y = 2,00 mm, k = 2π/λ = 2π/(0,400 m), e ω = 2πf = m

2π(806,2 Hz). Assim, a velocidade máxima do elemento situado em x

= 0,180 m é