14-2 Fluidos em Repouso

 

Objetivos do Aprendizado

Depois de ler este módulo, você será capaz de ...

14.04 Conhecer a relação entre pressão hidrostática, massa específica e altura acima ou abaixo de um

nível de referência.

14.05 Saber a diferença entre pressão total (pressão absoluta) e pressão manométrica.

 

Ideias-Chave

• A pressão de um fluido em repouso varia com a coordenada vertical y de acordo com a equação

 

p = p + ρg(y – y ), 2 1 1 2

 

em que p e p são as pressões do fluido em pontos de coordenadas y e y , respectivamente, ρ é a 2 1 1 2 massa específica do fluido e g é a aceleração de queda livre. Se um ponto de um fluido está a uma distância h abaixo de um nível de referência no qual a pressão é p , a equação precedente se torna 0

 

p = p + ρgh, 0

 

em que p é a pressão no ponto considerado.

• A pressão de um fluido é a mesma em todos os pontos situados à mesma altura. • Pressão manométrica é a diferença entre a pressão total (ou pressão absoluta) e a pressão atmosférica no mesmo ponto.

 

Fluidos em Repouso

A Fig. 14-2a mostra um tanque de água (ou outro líquido qualquer) aberto para a atmosfera. Como todo mergulhador sabe, a pressão aumenta com a profundidade abaixo da interface ar-água. O medidor de profundidade usado pelos mergulhadores é, na verdade, um sensor de pressão semelhante

ao da Fig. 14-1b. Como todo alpinista sabe, a pressão diminui com a altitude acima do nível do mar. As pressões encontradas pelos mergulhadores e alpinistas são chamadas de pressões hidrostáticas porque se devem a fluidos estáticos (em repouso). Vamos agora obter uma expressão para a pressão hidrostática em função da profundidade ou da altitude.

Para começar, vamos examinar o aumento da pressão com a

profundidade em um tanque com água. Definimos um eixo y vertical com a origem na interface ar-água e o sentido positivo para cima e consideramos a água contida em um cilindro imaginário circular reto de bases A horizontais. Nesse caso, y e y (ambos números negativos) são as 1 2 profundidades abaixo da superfície das bases superior e inferior do cilindro, respectivamente.

 

Figura 14-2  (a) Um tanque com água no qual uma parte da água está contida em um cilindro imaginário com uma base horizontal de área A. (b)-(d) Uma força age sobre a superfície superior 1

do cilindro; uma força age sobre a superfície inferior do cilindro; a força gravitacional que age 2

sobre a água do cilindro está representada por m . (e) Diagrama de corpo livre do volume de água.

 

A Fig. 14-2e mostra o diagrama de corpo livre da água do cilindro. A

água contida no cilindro está em equilíbrio estático, ou seja, está em repouso, e a resultante das forças que agem sobre a água do cilindro é nula. A água do cilindro está sujeita a três forças verticais: a força age sobre a 1

superfície superior do cilindro e se deve à água que está acima do cilindro

(Fig. 14-2b). A força age sobre a superfície inferior do cilindro e se deve 2

à água que está abaixo do cilindro (Fig. 14-2c). A força gravitacional que age sobre a água do cilindro está representada por m , em que m é a massa

da água contida no cilindro (Fig. 14-2d). O equilíbrio dessas forças pode ser escrito na forma

 

Para transformar a Eq. 14-5 em uma equação envolvendo pressões,

usamos a Eq. 14-4, que nos dá

 

A massa m da água contida no cilindro é, segundo a Eq. 14-2, m = ρV, em que o volume V do cilindro é o produto da área da base A pela a altura y – 1 y . Assim, m é igual a ρA(y – y ). Substituindo esse resultado e a Eq. 14-6 2 1 2 na Eq. 14-5, obtemos

 

p A = p A + ρAg(y – y ) 2 1 1 2

 

ou

 

Essa equação pode ser usada para determinar a pressão tanto em um

líquido (em função da profundidade) como na atmosfera (em função da altitude ou altura). No primeiro caso, suponha que estejamos interessados em conhecer a pressão p a uma profundidade h abaixo da superfície do líquido. Nesse caso, escolhemos o nível 1 como a superfície, o nível 2 como

uma distância h abaixo do nível 1 (como na Fig. 14-3) e p como a pressão 0 atmosférica na superfície. Fazendo

 

y = 0, p = p e y = –h, p = p 1 1 0 2 2

 

na Eq. 14-7, obtemos

Note que, de acordo com a Eq. (14-8), a pressão a uma dada profundidade não depende de nenhuma dimensão horizontal.

 

A pressão em um ponto de um fluido em equilíbrio estático depende

da profundidade do ponto, mas não da dimensão horizontal do fluido

ou do recipiente

 

Assim, a Eq. 14-8 é válida, qualquer que seja a forma do recipiente. Se a superfície inferior do recipiente está a uma profundidade h, a Eq. 14-8 fornece a pressão p no fundo do recipiente.

Na Eq. 14-8, p é chamada de pressão total, ou pressão absoluta, no nível

2. Para compreender por que, observe na Fig. 14-3 que a pressão p no nível 2 é a soma de duas parcelas: (1) p , a pressão da atmosfera, que é aplicada à 0 superfície do líquido, e (2) rgh, a pressão do líquido que está acima do nível 2, que é aplicada ao nível 2. A diferença entre a pressão absoluta e a pressão atmosférica é chamada de pressão manométrica. (O nome se deve ao uso de um instrumento chamado manômetro para medir a diferença de pressão.)

Para a situação da Fig. 14-3, a pressão manométrica é rgh.

A Eq. 14-7 também pode ser usada acima da superfície do líquido. Nesse

caso, ela fornece a pressão atmosférica a uma dada distância acima do nível 1 em termos da pressão atmosférica p no nível 1 (supondo que a massa 1 específica da atmosfera é uniforme ao longo dessa distância). Assim, por exemplo, para calcular a pressão atmosférica a uma distância d acima do

nível 1 da Fig. 14-3, fazemos

 

y = 0, p = p e y = d, p = p. 1 1 0 2 2

 

Nesse caso, com ρ = ρ , obtemos ar

 

p = p – ρ gd. 0 ar

Figura 14-3  A pressão p aumenta com a profundidade h abaixo da superfície do líquido de acordo com a Eq. 14-8.

 

 

Teste 1

A figura mostra quatro recipientes de azeite. Ordene-os de acordo com

a pressão na profundidade h, começando pela maior.

 

Exemplo 14.02 Pressão barométrica sobre

um mergulhador

Um mergulhador novato, praticando em uma piscina, inspira ar

suficiente do tanque de mergulho para expandir totalmente os pulmões

antes de abandonar o tanque a uma profundidade L e nadar para a

superfície. Ele ignora as instruções e não exala durante a subida. Ao

chegar à superfície, a diferença entre a pressão externa a que está

submetido e a pressão do ar nos pulmões é 9,3 kPa. De que

profundidade o mergulhador partiu? Que risco possivelmente fatal ele

está correndo?

 

IDEIA-CHAVE

A pressão a uma profundidade h de um líquido de massa específica ρ é

dada pela Eq. 14-8 (p = p + ρgh), na qual a pressão manométrica ρgh 0

é somada à pressão atmosférica p . 0

 

Cálculos: Quando o mergulhador enche os pulmões na

profundidade L, a pressão externa sobre ele (e, portanto, a pressão do

ar nos pulmões) está acima do normal e é dada pela Eq. 14-8, como

 

p = p + ρgL, 0

 

em que p é a pressão atmosférica e ρ é a massa específica da água 0

(998 kg/m3, de acordo com a Tabela 14-1). Quando o mergulhador

sobe, a pressão externa diminui até se tornar igual à pressão

atmosférica p quando o mergulhador atinge a superfície. A pressão 0

sanguínea também diminui até voltar ao normal. Entretanto, como o

mergulhador não exalou o ar, a pressão do ar nos pulmões permanece

no valor correspondente à profundidade L. Na superfície, a diferença

entre a pressão nos pulmões e a pressão no sangue é

 

Δp = p – p = ρgL, 0

 

e, portanto,

 

Trata-se de uma profundidade muito pequena! Mesmo assim, a

diferença de pressão de 9,3 kPa (aproximadamente 9% da pressão

atmosférica) é suficiente para romper os pulmões do mergulhador e

introduzir bolhas de ar na corrente sanguínea, que as transporta para o

coração, matando o mergulhador. Se ele seguir as recomendações do

instrutor e exalar o ar gradualmente durante a subida, permitirá que a Medidores de Pressão

pressão do ar nos pulmões se torne igual à pressão externa, eliminando

o perigo.

 

Exemplo 14.03 Equilíbrio de pressões em

um tubo em forma de U

O tubo em forma de U da Fig. 14-4 contém dois líquidos em equilíbrio

estático: no lado direito existe água, de massa específica ρ (= 998 a

kg/m3), e no lado esquerdo existe óleo, de massa específica

desconhecida ρ . Os valores das distâncias indicadas na figura são l = x

135 mm e d = 12,3 mm. Qual é a massa específica do óleo?

 

IDEIAS-CHAVE

(1) A pressão p no nível correspondente à interface óleo-água do lado int

esquerdo depende da massa específica ρ e da altura do óleo acima da x

interface. (2) A água do lado direito à mesma altura está submetida à

mesma pressão p . Isso acontece porque, como a água está em int

equilíbrio estático, as pressões em pontos na água no mesmo nível são

necessariamente iguais, mesmo que os pontos estejam separados

horizontalmente.

 

Cálculos: No lado direito, a interface está a uma distância l abaixo

da superfície da água, e a Eq. 14-8 nos dá

 

p = p + ρ gl (lado direito). int 0 a

 

No lado esquerdo, a interface está a uma distância l + d abaixo da

superfície do óleo, e a Eq. 14-8 nos dá

 

p = p + ρ g(l + d) (lado esquerdo). int 0 x