Interferência de Ondas

Suponha que duas ondas se propagam simultaneamente na mesma corda

esticada. Sejam y (x, t) e y (x, t) os deslocamentos que a corda sofreria se cada 1 2

onda se propagasse sozinha. O deslocamento da corda quando as ondas se propagam ao mesmo tempo é a soma algébrica

 

Essa soma de deslocamentos significa que

 

Ondas superpostas se somam algebricamente para produzir uma onda

resultante ou onda total.

 

Esse é outro exemplo do princípio de superposição, segundo o qual, quando vários efeitos ocorrem simultaneamente, o efeito total é a soma dos efeitos individuais. (Devemos ser gratos por isso. Se os dois efeitos se afetassem mutuamente, o mundo seria muito mais complexo e difícil de analisar.)

A Fig. 16-12 mostra uma sequência de instantâneos de dois pulsos que se

propagam em sentidos opostos na mesma corda esticada. Nos pontos em que os pulsos se superpõem, o pulso resultante é a soma dos dois pulsos. Além disso, cada pulso passa pelo outro se ele não existisse:

 

Ondas superpostas não se afetam mutuamente.

 

Interferência de Ondas

Suponha que produzimos duas ondas senoidais de mesmo comprimento de onda e amplitude que se propagam no mesmo sentido em uma corda. O princípio da superposição pode ser usado. Que forma tem a onda resultante?

A forma da onda resultante depende da fase relativa das duas ondas. Se as

ondas estão em fase (ou seja, se os picos e os vales de uma estão alinhados com os da outra), o deslocamento total a cada instante é o dobro do deslocamento que seria produzido por uma das ondas. Se as ondas têm fases opostas (ou seja, se os picos de uma estão alinhados com os vales da outra), elas se cancelam mutuamente e o deslocamento é zero; a corda permanece parada. O fenômeno de combinação de ondas recebe o nome de interferência e dizemos que as ondas interferem entre si. (O termo se refere apenas aos deslocamentos; a propagação das ondas não é afetada.)

Suponha que uma das ondas que se propagam em uma corda é dada por

 

e que outra, deslocada em relação à primeira, é dada por

 

As duas ondas têm a mesma frequência angular ω (e, portanto, a mesma frequência f), o mesmo número de onda k (e, portanto, o mesmo comprimento de onda λ) e a mesma amplitude y . Ambas se propagam no sentido positivo do eixo m

x, com a mesma velocidade, dada pela Eq. 16-26. Elas diferem apenas de um ângulo constante ϕ, a constante de fase. Dizemos que as ondas estão defasadas de ϕ, ou que a diferença de fase entre elas é ϕ.

Segundo o princípio de superposição (Eq. 16-46), a onda resultante é a soma

algébrica das duas ondas e tem um deslocamento

 

De acordo com o Apêndice E, a soma dos senos de dois ângulos α e β obedece à identidade

 

Aplicando essa relação à Eq. 16-49, obtemos

 

Como mostra a Fig. 16-13, a onda resultante também é uma onda senoidal que se propaga no sentido positivo de x. Ela é a única onda que se pode ver na corda (as ondas dadas pelas Eqs. 16-47 e 16-48 não podem ser vistas).

Figura 16-13  A onda resultante da Eq. 16-51, produzida pela interferência de duas ondas transversais senoidais, é também uma onda transversal senoidal, com um fator de amplitude e um fator oscilatório.

 

 

Se duas ondas senoidais de mesma amplitude e comprimento de onda se

propagam no mesmo sentido em uma corda, elas interferem para produzir

uma onda resultante senoidal que se propaga nesse sentido.

 

A onda resultante difere das ondas individuais em dois aspectos: (1) a constante de fase é ϕ/2 e (2) a amplitude y′ é o valor absoluto do fator entre colchetes da m

Eq. 16-51:

 

Se ϕ = 0 rad (ou 0°), as duas ondas estão em fase e a Eq. 16-51 se reduz a

 

As duas ondas aparecem na Fig. 16-14a, e a onda resultante está plotada na Fig.

16-14d. Observe, tanto na figura como na Eq. 16-53, que a amplitude da onda resultante é o dobro da amplitude das ondas individuais. Essa é a maior amplitude que a onda resultante pode ter, já que o valor máximo do termo em cosseno das Eqs. 16-51 e 16-52, que é 1, acontece para ϕ = 0. A interferência que produz a maior amplitude possível é chamada de interferência construtiva.

Figura 16-14  Duas ondas senoidais iguais, y (x,t) e y (x,t), se propagam em uma corda no sentido positivo 1 2 de um eixo x. Elas interferem para produzir uma onda resultante y’(x,t), que é a onda observada na corda. A diferença de fase ϕ entre as duas ondas é (a) 0 rad ou 0º, (b) π rad ou 180º e (c) 2π/3 rad ou 120º. As ondas resultantes correspondentes são mostradas em (d), (e) e (f).

 

Se ϕ = π rad (ou 180°), as ondas que interferem estão totalmente defasadas,

como na Fig. 16-14b. Nesse caso, cos(ϕ/2) = cos(π/2) = 0 e a amplitude da onda resultante, dada pela Eq. 16-52, é nula. Assim, para todos os valores de x e t,

 

A onda resultante está plotada na Fig. 16-14e. Embora duas ondas estejam se propagando na corda, não vemos a corda se mover. Esse tipo de interferência é chamado de interferência destrutiva.

Como a forma de uma onda senoidal se repete a cada 2π rad, uma diferença de

fase ϕ = 2π rad (ou 360°) corresponde a uma defasagem de uma onda em relação à outra equivalente a um comprimento de onda. Assim, as diferenças de fase podem ser descritas tanto em termos de ângulos como em termos de

comprimentos de onda. Por exemplo, na Fig. 16-14b, podemos dizer que as

ondas estão defasadas de 0,50 comprimento de onda. A Tabela 16-1 mostra outros exemplos de diferenças de fase e as interferências que elas produzem. Quando uma interferência não é nem construtiva nem destrutiva, ela é chamada de interferência intermediária. Nesse caso, a amplitude da onda resultante está

entre 0 e 2y . De acordo com a Tabela 16-1, se as ondas que interferem têm uma m

diferença de fase de 120° (ϕ = 2π/3 rad = 0,33 comprimento de onda), a onda resultante tem uma amplitude y , igual à amplitude de uma das ondas que m

interferem (veja as Figs. 16-14c e 16-14f).

Duas ondas com o mesmo comprimento de onda estão em fase se a diferença

de fase é nula ou igual a um número inteiro de comprimentos de onda; a parte inteira de qualquer diferença de fase expressa em comprimentos de onda pode ser descartada. Assim, por exemplo, uma diferença de 0,40 comprimento de onda (uma diferença intermediária, mais próxima de uma interferência destrutiva) é equivalente a uma diferença de 2,40 comprimentos de onda, e o menor dos dois números pode ser usado nos cálculos. Assim, observando apenas a parte decimal do número de comprimentos de onda e comparando-a com 0, 0,5 e 1,0, podemos saber qual é o tipo de interferência entre as duas ondas.

 

Tabela 16-1  a Diferenças de Fase e Tipos de Interferência Correspondentes

 

Diferença de Fase em

 

Graus Radianos Comprimentos Amplitude Tipo de

de onda da Onda Interferência

Resultante

 

0 0 0 2y Construtiva m

 

120 π 0,33 y Intermediária m

 

180 π 0,50 0 Destrutiva

 

240 0,67 y Intermediária π m

 

360 2π 1,00 2y Construtiva m

 

865 15,1 2,40 0,60y Intermediária m

 

aA diferença de fase é entre duas ondas de mesma frequência e mesma amplitude y , que se propagam no m mesmo sentido.

Teste 4

São dadas quatro diferenças de fase possíveis entre duas ondas iguais,

expressas em comprimentos de onda: 0,20; 0,45; 0,60 e 0,80. Ordene as

ondas de acordo com a amplitude da onda resultante, começando pela

maior.

 

Exemplo 16.04 Interferência de duas ondas no

mesmo sentido e com a mesma amplitude

Duas ondas senoidais iguais, propagando-se no mesmo sentido em uma

corda, interferem entre si. A amplitude y das ondas é 9,8 mm e a diferença m

de fase ϕ entre elas é 100°.

(a) Qual é a amplitude y′ da onda resultante e qual é o tipo de m

interferência?

 

IDEIA-CHAVE

Como se trata de ondas senoidais iguais que se propagam no mesmo

sentido, elas interferem para produzir uma onda progressiva senoidal.

 

Cálculos: Como as duas ondas são iguais, elas têm a mesma amplitude.

Assim, a amplitude y′ da onda resultante é dada pela Eq. 16-52: m

 

Podemos dizer que a interferência é intermediária sob dois aspectos: a

diferença de fase está entre 0 e 180º e a amplitude y′ está entre 0 e 2y (5 m m

19,6 mm).

(b) Que diferença de fase, em radianos e em comprimentos de onda, faz

com que a amplitude da onda resultante seja 4,9 mm?

 

Cálculos: Neste caso, conhecemos y′ e precisamos determinar o valor m

de ϕ. De acordo com a Eq. 16-52,