Ondas Estacionárias

16.28 No caso de um elemento da corda situado no antinó de uma onda estacionária, escrever

equações para o deslocamento, a velocidade transversal e a aceleração transversal em função do

tempo.

16.29 Saber a diferença entre uma reflexão “dura” e uma reflexão “macia” de uma onda que se

propaga em uma corda em uma interface.

16.30 Descrever o fenômeno da ressonância em uma corda esticada entre dois suportes e desenhar

algumas ondas estacionárias, indicando a posição dos nós e antinós.

16.31 Determinar o comprimento de onda dos harmônicos de uma corda esticada entre dois suportes

em função do comprimento da corda.

16.32 Conhecer a relação entre a frequência, a velocidade da onda e o comprimento da corda para

qualquer harmônico.

 

Ideias-Chave

• A interferência de duas ondas senoidais iguais que se propagam em sentidos opostos produz ondas estacionárias. No caso de uma corda com as extremidades fixas, a onda estacionária é descrita pela equação

 

y′(x, t) = [2y sen kx] cos ωt. m

 

No caso das ondas estacionárias, existem posições em que o deslocamento é zero, chamadas nós, e posições em que o deslocamento é máximo, chamadas antinós. • Ondas estacionárias podem ser criadas em uma corda por reflexão de ondas progressivas nas extremidades da corda. Se uma extremidade é fixa, deve existir um nó nessa extremidade, o que limita as frequências das ondas estacionárias que podem existir em uma dada corda. Cada frequência possível é uma frequência de ressonância e a onda estacionária correspondente é um modo de oscilação possível. No caso de uma corda esticada, de comprimento L, fixa nas duas extremidades, as frequências de ressonância são dadas por

 

O modo de oscilação correspondente a n = 1 é chamado de modo fundamental ou primeiro harmônico; o modo correspondente a n = 2 é chamado de segundo harmônico, e assim por diante.

 

Ondas Estacionárias No Módulo 16-5, discutimos o caso de duas ondas senoidais de mesmo comprimento de onda e mesma amplitude que se propagam no mesmo sentido em uma corda. O que acontece se as ondas se propagam em sentidos opostos? Também nesse caso podemos obter a onda resultante aplicando o princípio da superposição.

A situação está ilustrada na Fig. 16-17. A figura mostra uma onda se

propagando para a esquerda na Fig. 16-17a e outra onda se propagando para

a direita na Fig. 16-17b. A Fig. 16-17c mostra a soma das duas ondas, obtida aplicando graficamente o princípio de superposição. O que chama a atenção na onda resultante é o fato de que existem pontos da corda, chamados nós, que permanecem imóveis. Quatro desses nós estão

assinalados por pontos na Fig. 16-17c. No ponto médio entre nós vizinhos estão antinós, pontos em que a amplitude da onda resultante é máxima.

Ondas como a da Fig. 16-17c são chamadas de ondas estacionárias porque a forma de onda não se move para a esquerda nem para a direita; as posições dos máximos e dos mínimos não variam com o tempo.

 

Figura 16-17  (a) Cinco instantâneos de uma onda se propagando para a esquerda, em instantes t indicados abaixo da parte (c) (T é o período das oscilações). (b) Cinco instantâneos de uma onda igual à de (a), mas se propagando para a direita, nos mesmos instantes t. (c) Instantâneos correspondentes para a superposição das duas ondas na mesma corda. Nos instantes t = 0, T/2, e T, a interferência é construtiva, ou seja, os picos se alinham com picos e os vales se alinham com vales. Em t = T/4 e 3T/4, a interferência é destrutiva, pois os picos se alinham com vales. Alguns pontos (os nós, indicados por pontos) permanecem imóveis; outros (os antinós) oscilam com amplitude máxima.

Se duas ondas senoidais de mesma amplitude e mesmo comprimento

de onda se propagam em sentidos opostos em uma corda, a

interferência mútua produz uma onda estacionária.

 

Para analisar uma onda estacionária, representamos as duas ondas pelas

equações

 

De acordo com o princípio de superposição, a onda resultante é dada por

 

y′(x, t) = y (x, t) + y (x, t) = y sen(kx – ωt) + y sen(kx + ωt). 1 2 m m

 

Aplicando a identidade trigonométrica da Eq. 16-50, obtemos

 

que também aparece na Fig. 16-18. Como se pode ver, a Eq. 16-60, que descreve uma onda estacionária, não tem a mesma forma que a Eq. 16-17, que descreve uma onda progressiva.

O fator 2y sen kx entre colchetes na Eq. 16-60 pode ser visto como a m

amplitude da oscilação do elemento da corda situado na posição x. Entretanto, como uma amplitude é sempre positiva e sen kx pode ser negativo, tomamos o valor absoluto de 2y sen kx como a amplitude da m onda no ponto x.

Em uma onda senoidal progressiva, a amplitude da onda é a mesma para

todos os elementos da corda. Isso não é verdade para uma onda estacionária, na qual a amplitude varia com a posição. Na onda estacionária da Eq. 16-60, por exemplo, a amplitude é zero para valores de kx tais que sen kx = 0. Esses valores são dados pela relação

 

Fazendo k = 2π/λ na Eq. (16-61) e reagrupando os termos, obtemos

para as posições de amplitude zero (nós) da onda estacionária da Eq. 16-60. Note que a distância entre nós vizinhos é λ/2, metade do comprimento de onda.

 

A amplitude da onda estacionária da Eq. 16-60 tem um valor máximo de

2y , que ocorre para valores de kx tais que |sen kx| = 1. Esses valores são m

dados pela relação

 

Fazendo k = 2π/λ na Eq. 16-63 e reagrupando os termos, obtemos

 

para as posições de máxima amplitude (antinós) da onda estacionária da Eq. 16-60. Os antinós estão separados de λ/2 e estão situados no ponto médio dos nós mais próximos.

 

Figura 16-18  A onda resultante da Eq. 16-60 é uma onda estacionária, produzida pela interferência de duas ondas senoidais de mesma amplitude e mesmo comprimento de onda que se propagam em sentidos opostos.

 

Reflexões em uma Interface

Podemos excitar uma onda estacionária em uma corda esticada fazendo com que uma onda progressiva seja refletida em uma das extremidades da corda e interfira consigo mesma. A onda (original) incidente e a onda refletida podem ser descritas pelas Eqs. 16-58 e 16-59, respectivamente, e se combinam para formar uma onda estacionária.

Na Fig. 16-19, usamos um pulso isolado para mostrar como acontecem

essas reflexões. Na Fig. 16-19a, a corda está fixa na extremidade esquerda. Quando um pulso chega a essa extremidade, ele exerce uma força para cima sobre o suporte (a parede). De acordo com a terceira lei de Newton, o suporte exerce uma força oposta, de mesmo módulo, sobre a corda. Essa força produz um pulso que se propaga no sentido oposto ao do pulso incidente. Em uma reflexão “dura” como essa, existe um nó no suporte, pois a corda está fixa. Isso significa que o pulso refletido e o pulso incidente devem ter sinais opostos para se cancelarem nesse ponto.

Na Fig. 16-19b, a extremidade esquerda da corda está presa a um anel

que pode deslizar sem atrito em uma barra. Quando o pulso incide nesse ponto, o anel se desloca para cima. Ao se mover, o anel puxa a corda, esticando-a e produzindo um pulso refletido com o mesmo sinal e mesma amplitude que o pulso incidente. Em uma reflexão “macia” como essa, os pulsos incidente e refletido se reforçam, criando um antinó na extremidade da corda; o deslocamento máximo do anel é duas vezes maior que a amplitude de um dos pulsos.

Figura 16-19  (a) Um pulso proveniente da direita é refletido na extremidade esquerda da corda, que está amarrada em uma parede. Note que o pulso refletido sofre uma inversão em relação ao pulso incidente. (b) Neste caso, a extremidade esquerda da corda está amarrada em um anel que pode deslizar sem atrito para cima e para baixo em uma barra e o pulso não é invertido pela reflexão.

 

Teste 5

Duas ondas com a mesma amplitude e o mesmo comprimento de onda

interferem em três situações diferentes para produzir ondas resultantes

descritas pelas seguintes equações:

(1) y′(x, t) = 4 sen(5x – 4t)

(2) y′(x, t) = 4 sen(5x) cos(4t)