A Lei da Força para o Movimento Harmônico Simples

No MHS, a aceleração a é proporcional ao deslocamento x, tem o

sentido contrário e as duas grandezas estão relacionadas pelo quadrado

da frequência angular ω.

 

Teste 2

Qual das seguintes relações entre a aceleração a de uma partícula e sua

posição x indica um movimento harmônico simples: (a) a = 3x2, (b) a =

5x, (c) a = –4x, (d) a = –2/x2? Qual é a frequência angular

correspondente? (Suponha que o valor obtido esteja em rad/s.)

 

Figura 15-7  Um oscilador harmônico linear simples. Não há atrito com a superfície. Como a

partícula da Fig. 15-2, o bloco executa um movimento harmônico simples quando é puxado ou empurrado a partir da posição x = 0 e depois liberado. O deslocamento é dado pela Eq. 15-3.

 

A Lei da Força para o Movimento Harmônico

Simples

Uma vez conhecida a relação entre a aceleração e o deslocamento no MHS (Eq. 15-8), podemos usar a segunda lei de Newton para determinar qual é a força que deve agir sobre a partícula para que ela adquira essa aceleração:

 

O sinal negativo indica que a força deve ter o sentido oposto ao do deslocamento da partícula. Isso significa que, no MHS, a força é uma força restauradora, no sentido de que se opõe ao deslocamento, tentando fazer com que a partícula volte à posição central x = 0. Já vimos a força geral da Eq. 15-9 no Capítulo 8, quando discutimos um sistema bloco-mola como o

da Fig. 15-7 e usamos a lei de Hooke,

 

para descrever a força que age sobre o bloco. Comparando as Eqs. 15-9 e 15-10, podemos relacionar a constante elástica k (uma medida da rigidez da mola) à massa do bloco e à frequência do MHS resultante:

 

A Eq. 15-10 é outra forma de escrever a equação característica do MHS.

 

Movimento harmônico simples é o movimento executado por uma

partícula sujeita a uma força de módulo proporcional ao deslocamento

da partícula e orientada no sentido oposto.

 

O sistema bloco-mola da Fig. 15-7 constitui um oscilador harmônico linear simples (ou, simplesmente, oscilador linear); o termo linear indica que F é proporcional a x e não a outra potência de x.

Se você deparar com uma situação em que um objeto está oscilando sob a

ação de uma força que é proporcional ao deslocamento e tem o sentido oposto, pode ter certeza de que se trata de um movimento harmônico simples e que a constante de proporcionalidade entre a força e o deslocamento é análoga à constante elástica k da lei de Hooke. Se a massa do objeto é conhecida, é possível calcular a frequência angular do movimento explicitando ω na Eq. 15-11:

 

(Em geral, o valor de ω é mais importante que o valor de k.) Além disso, é possível determinar o período do movimento combinando as Eqs. 15-5 e 15-12:

 

Vamos interpretar fisicamente as Eqs. 15-12 e 15-13. Não é fácil observar

que uma mola “dura” (com um valor elevado de k) tende a produzir oscilações com um valor elevado de ω (oscilações rápidas) e um valor pequeno do período T (ciclos curtos)? Também não é fácil observar que um objeto “pesado” (com um valor elevado de m) tende a produzir um valor pequeno de ω (oscilações lentas) e um valor elevado do período T (ciclos longos)?

Todo sistema oscilatório, seja ele um trampolim ou uma corda de violino,

possui uma “elasticidade” e uma “inércia” e, portanto, se parece com um

oscilador linear. No oscilador linear da Fig. 15-7, esses elementos estão concentrados em partes diferentes do sistema: A elasticidade está inteiramente na mola, cuja massa desprezamos, e a inércia está inteiramente no bloco, cuja elasticidade é ignorada. Em uma corda de um instrumento musical, por outro lado, os dois elementos estão presentes na corda, como

vamos ver no Capítulo 16.

 

Teste 3

Qual das seguintes relações entre a força F, que age sobre uma

partícula, e a posição x da partícula resulta em um movimento

harmônico simples: (a) F = –5x, (b) F = –400x2, (c) F = 10x ou (d) F =

3x2?

 

Exemplo 15.01 MHS de um sistema bloco-

mola: amplitude, aceleração, constante de fase

Um bloco cuja massa m é 680 g está preso a uma mola cuja constante

elástica k é 65 N/m. O bloco é puxado em uma superfície sem atrito

por uma distância x = 11 cm a partir da posição de equilíbrio em x = 0

e liberado sem velocidade inicial no instante t = 0.

(a) Determine a frequência angular, a frequência e o período do

movimento.

 

IDEIA-CHAVE

O sistema bloco-mola é um oscilador harmônico linear simples em que

o bloco executa um MHS.

 

Cálculos: A frequência angular é dada pela Eq. 15-12:

 

De acordo com a Eq. 15-5, a frequência é

 

De acordo com a Eq. 15-2, o período é

 

(b) Determine a amplitude das oscilações.

 

IDEIA-CHAVE

Na ausência de atrito, a energia mecânica do sistema bloco-mola é

conservada.

 

Raciocínio: O bloco é liberado a 11 cm de distância da posição de

equilíbrio, com energia cinética nula e o máximo de energia potencial

elástica. Isso significa que o bloco terá energia cinética nula sempre

que estiver novamente a 11 cm de distância da posição de equilíbrio,

ou seja, jamais se afastará mais que 11 cm da posição de equilíbrio.

Assim, a amplitude das oscilações é 11 cm:

 

(c) Determine a velocidade máxima v do bloco e o local em que se m

encontra o bloco quando tem essa velocidade.

 

IDEIA-CHAVE

A velocidade máxima v é a amplitude da velocidade ωx na Eq. 15-6. m m

 

Cálculo: Temos

 

A velocidade é máxima quando o bloco está passando pela origem;

observe as Figs. 15-6a e 15-6b, onde se pode constatar que a

velocidade é máxima em x = 0.

(d) Determine o módulo a da aceleração máxima do bloco. m

 

IDEIA-CHAVE

O módulo a da aceleração máxima é a amplitude da aceleração ω2x mm

na Eq. 15-7.

 

Cálculo: Temos

 

A aceleração é máxima quando o bloco está nos pontos extremos do

percurso. Nesses pontos, a força que age sobre o bloco possui o

módulo máximo; observe as Figs. 15-6a e 15-6c, onde se pode

constatar que o módulo do deslocamento e o módulo da aceleração

passam pelo máximo nos mesmos instantes, nos quais a velocidade é

zero, como se pode ver na Fig. 15-6b.

(e) Determine a constante de fase ϕ do movimento.

Cálculo: A Eq. 15-3 fornece o deslocamento do bloco em função

do tempo. Sabemos que o bloco está em x = x no instante t = 0. m

Substituindo essas condições iniciais, como são chamadas, na Eq. 15-3

e cancelando x , obtemos m

 

Tomando o inverso da função cosseno, obtemos

 

(Qualquer ângulo que seja múltiplo inteiro de 2π rad também satisfaz a

Eq. 15-14; escolhemos o menor ângulo.)

(f) Determine a função deslocamento x(t) do sistema bloco-mola.

 

Cálculo: A forma geral da função x(t) é dada pela Eq. 15-3.

Substituindo as grandezas conhecidas, obtemos

 

em que x está em metros e t em segundos.

 

Exemplo 15.02 Cálculo da constante de fase

do MHS a partir do deslocamento e da

velocidade

Em t = 0, o deslocamento x(0) do bloco de um oscilador linear como o

da Fig. 15-7 é –8,50 cm. [Leia x(0) como “x no instante zero”.] A

velocidade v(0) do bloco nesse instante é –0,920 m/s e a aceleração

a(0) é +47,0 m/s2.

(a) Determine a frequência angular ω do sistema.

 

IDEIA-CHAVE

Se o bloco está executando um MHS, as Eqs. 15-3, 15-6 e 15-7

fornecem o deslocamento, a velocidade e a aceleração,

respectivamente, e todas contêm a frequência angular ω.

 

Cálculos: Vamos fazer t = 0 nas três equações para ver se uma

delas nos fornece o valor de ω. Temos:

 

e

 

A Eq. 15-15 não contém ω. Nas Eqs. 15-16 e 15-17, conhecemos o

valor do lado esquerdo, mas não conhecemos x e ω. Entretanto, m

dividindo a Eq. 15-17 pela Eq. 15-15, eliminamos x e ϕ e podemos m

calcular o valor de ω:

 

(b) Determine a constante de fase ϕ e a amplitude x das oscilações. m

 

Cálculos: Conhecemos ω e queremos determinar ϕ e x . Dividindo m

a Eq. 15-16 pela Eq. 15-15, eliminamos uma das incógnitas e obtemos

uma equação para a outra que envolve uma única função

trigonométrica:

 

Explicitando tan ϕ, obtemos

 

Essa equação possui duas soluções:

 

ϕ = –25° e ϕ = 180° + (–25°) = 155°.