O Princípio de Arquimedes

F = m g, E f

 

em que m é a massa do fluido deslocado pelo corpo. f

• Quando um corpo está flutuando em um fluido, o módulo F da força de empuxo (que aponta para e cima) é igual ao módulo da força gravitacional F (que aponta para baixo). g • O peso aparente de um corpo submetido a uma força de empuxo está relacionado ao peso real por meio da equação

 

P = P – F apE

 

O Princípio de Arquimedes

A Fig. 14-9 mostra uma estudante em uma piscina, manuseando um saco plástico muito fino (de massa desprezível) cheio d’água. A jovem observa que o saco e a água nele contida estão em equilíbrio estático, ou seja, não tendem a subir nem a descer. A força gravitacional para baixo a que a g

água contida no saco está submetida é equilibrada por uma força para cima exercida pela água que está do lado de fora do saco.

A força para cima, que recebe o nome de força de empuxo e é

representada pelo símbolo , se deve ao fato de que a pressão da água que e

envolve o saco aumenta com a profundidade. Assim, a pressão na parte inferior do saco é maior que na parte superior, o que faz com que as forças a que o saco está submetido devido à pressão sejam maiores em módulo na parte de baixo do saco do que na parte de cima. Algumas dessas forças

estão representadas na Fig. 14-10a, em que o espaço ocupado pelo saco foi deixado vazio. Note que os vetores que representam as forças na parte de baixo do saco (com componentes para cima) são mais compridos que os vetores que representam as forças na parte de cima do saco (com componentes para baixo). Quando somamos vetorialmente todas as forças exercidas pela água sobre o saco, as componentes horizontais se cancelam e a soma das componentes verticais é o empuxo que age sobre o saco. (A e

força está representada à direita da piscina na Fig. 14-10a.) e

 

Figura 14-9  Um saco plástico, de massa des? prezível, cheio d’água, em equilíbrio estático em uma piscina. A força gravitacional expe? rimentada pelo saco é equilibrada por uma força para cima exercida pela água que o cerca.

 

Como o saco de água está em equilíbrio estático, o módulo de é igual e

ao módulo m g da força gravitacional que age sobre o saco com água: F f gE

= m g. (O índice f significa fluido, no caso a água.) Em palavras, o módulo f

do empuxo é igual ao peso da água contida no saco.

Na Fig. 14-10b, substituímos o saco plástico com água por uma pedra

que ocupa um volume igual ao do espaço vazio da Fig. 14-10a. Dizemos que a pedra desloca a água, ou seja, ocupa o espaço que, de outra forma, seria ocupado pela água. Como a forma da cavidade não foi alterada, as forças na superfície da cavidade são as mesmas que quando o saco plástico com água estava nesse lugar. Assim, o mesmo empuxo para cima que agia sobre o saco plástico agora age sobre a pedra, ou seja, o módulo F do E empuxo é igual a m g, o peso da água deslocada pela pedra. f

Ao contrário do saco com água, a pedra não está em equilíbrio estático. A

força gravitacional para baixo que age sobre a pedra tem um módulo g

maior que o empuxo para cima, como mostra o diagrama de corpo livre da

Fig. 14-10b. Assim, a pedra sofre uma aceleração para baixo e desce até o fundo da piscina.

Vamos agora preencher a cavidade da Fig. 14-10a com um pedaço de

madeira, como na Fig. 14-10c. Mais uma vez, nada mudou com relação às forças que agem sobre a superfície da cavidade, de modo que o módulo F E do empuxo é igual a m g, o peso da água deslocada. O pedaço de madeira, f

como a pedra, não está em equilíbrio estático, mas, nesse caso, o módulo F g da força gravitacional é menor que o módulo F do empuxo (veja o E diagrama à direita da piscina), de modo que a madeira sofre uma aceleração para cima e sobe até a superfície.

 

Figura 14-10  (a) A água que está em volta da cavidade produz um empuxo para cima sobre qualquer material que ocupe a cavidade. (b) No caso de uma pedra de mesmo volume que a cavidade, a força gravitacional é maior que o empuxo. (c) No caso de um pedaço de madeira de mesmo volume, a força gravitacional é menor que o empuxo.

 

Os resultados que obtivemos para o saco plástico, a pedra e o pedaço de

madeira se aplicam a qualquer fluido e podem ser resumidos no princípio de Arquimedes:

Quando um corpo está total ou parcialmente submerso em um fluido,

uma força de empuxo exercida pelo fluido age sobre o corpo. A E

força é dirigida para cima e tem um módulo igual ao peso m g do f

fluido deslocado pelo corpo.

 

De acordo com o princípio de Arquimedes, o módulo da força de empuxo é dado por

 

em que m é a massa do fluido deslocado pelo corpo. f

 

Flutuação

Quando pousamos um pedaço de madeira na superfície de uma piscina, a madeira começa a afundar na água porque é puxada para baixo pela força gravitacional. À medida que o bloco desloca mais e mais água, o módulo F E da força de empuxo, que aponta para cima, aumenta. Finalmente, F se E torna igual ao módulo F da força gravitacional, e a madeira para de g

afundar. A partir desse momento, o pedaço de madeira permanece em equilíbrio estático e dizemos que está flutuando na água. Em todos os casos,

 

Quando um corpo flutua em um fluido, o módulo F da força de E

empuxo que age sobre o corpo é igual ao módulo F da força g

gravitacional a que o corpo está submetido.

 

Isso significa que

 

De acordo com a Eq. 14-16, F = m g. Assim, E f

Quando um corpo flutua em um fluido, o módulo F da força g

gravitacional a que o corpo está submetido é igual ao peso m g do f

fluido deslocado pelo corpo.

 

Isso significa que

 

Em palavras, um corpo que flutua desloca um peso de fluido igual ao seu peso.

 

Peso Aparente de um Corpo Imerso em um Fluido

Quando colocamos uma pedra em uma balança calibrada para medir pesos, a leitura da balança é o peso da pedra. Quando, porém, repetimos a experiência dentro d’água, a força de empuxo a que a pedra é submetida diminui a leitura da balança. A leitura passa a ser, portanto, um peso aparente. O peso aparente de um corpo está relacionado ao peso real e à força de empuxo por meio da equação

 

que pode ser escrita na forma

 

É mais fácil, por exemplo, levantar uma pedra pesada dentro de uma

piscina, porque, nesse caso, a força aplicada tem que ser maior apenas que o peso aparente da pedra. Em outras palavras, a força de empuxo torna a pedra mais “leve”.

O módulo da força de empuxo a que está sujeito um corpo que flutua é

igual ao peso do corpo. A Eq. 14-19 nos diz, portanto, que um corpo que flutua tem um peso aparente nulo; o corpo produziria uma leitura zero ao ser pesado em uma balança. Quando os astronautas se preparam para realizar uma tarefa complexa no espaço, eles utilizam uma piscina para praticar, pois a pressão dos trajes especiais pode ser ajustada para tornar seu peso aparente nulo, como no espaço, embora por motivos diferentes.

 

Teste 2

Um pinguim flutua, primeiro em um fluido de massa específica ρ , 0

depois em um fluido de massa específica 0,95ρ e, finalmente, em um 0

fluido de massa específica 1,1ρ . (a) Ordene as massas específicas de 0

acordo com o módulo da força de empuxo exercida sobre o pinguim,

começando pela maior. (b) Ordene as massas específicas de acordo

com o volume de fluido deslocado pelo pinguim, começando pelo

maior.

 

Exemplo 14.04 Flutuação, empuxo e massa

específica

Na Fig. 14-11, um bloco de massa específica ρ = 800 kg/m3 flutua em

um fluido de massa específica ρ = 1200 kg/m3. O bloco tem uma f

altura H = 6,0 cm.

(a) Qual é a altura h da parte submersa do bloco?

 

IDEIAS-CHAVE

(1) Para que o bloco flutue, a força de empuxo a que está submetido

deve ser igual à força gravitacional. (2) A força de empuxo é igual ao

peso m g do fluido deslocado pela parte submersa do bloco. f

 

Cálculos: De acordo com a Eq. 14-16, o módulo da força de

empuxo é F = m g, em que m é a massa do fluido deslocado pelo E f f

volume submerso do bloco, V . De acordo com a Eq. 14-2 (ρ = m/V), a f

massa do fluido deslocado é m = r V . Não conhecemos V , mas, se f f f f

chamarmos de C o comprimento do bloco e de L a largura, o volume

submerso do bloco será, de acordo com a Fig. 14-11, V = CLh. f

Combinando as três expressões, descobrimos que o módulo da força de

empuxo é dado por

 

Da mesma forma, podemos escrever o módulo F da força g

gravitacional a que o bloco está submetido, primeiro em termos da

massa m do bloco e depois em termos da massa específica ρ e do

volume (total) V do bloco, que, por sua vez, pode ser expresso em

termos das dimensões do bloco, C, L e H (altura total):

 

Como o bloco está em repouso, a aplicação da segunda lei de

Newton às componentes das forças em relação a um eixo vertical y

(F = ma ) nos dá res,y y

 

F – F = m(0), E g

 

ou, de acordo com as Eqs. 14-20 e 14-21,

 

ρ CLhg – ρCLHg = 0, f

 

Figura 14-11  Um bloco de altura H flutuando em um fluido com uma

parte h submersa.

 

e, portanto,