Fundamentos de Física, Volume 2: Gravitação, Ondas e Termodinâmica
16-4 A Equação de Onda
Objetivo do Aprendizado
Depois de ler este módulo, você será capaz de ...
16.17 No caso da função que descreve o deslocamento de um elemento de uma corda em função da posição
x e do tempo t, conhecer a relação entre a derivada segunda da função em relação a x e a derivada
segunda em relação a t.
Ideia-Chave
• A equação diferencial que governa a propagação de todos os tipos de ondas é
em que y é a direção de oscilação dos elementos que propagam a onda, x é a direção de propagação da onda e v é a velocidade da onda.
A Equação de Onda
Quando uma onda passa por um elemento de uma corda esticada, o elemento se move perpendicularmente à direção de propagação da onda (estamos falando de uma onda transversal). Aplicando a segunda lei de Newton ao movimento do elemento, podemos obter uma equação diferencial geral, chamada equação de onda, que governa a propagação de ondas de qualquer tipo.
A Fig. 16-11a mostra um instantâneo de um elemento de corda de massa dm e
comprimento ℓ quando uma onda se propaga em uma corda de massa específica μ que está esticada ao longo de um eixo x horizontal. Vamos supor que a amplitude da onda é tão pequena que o elemento sofre apenas uma leve inclinação em relação ao eixo x quando a onda passa. A força que age sobre a 2
extremidade direita do elemento possui um módulo igual à tração τ da corda e aponta ligeiramente para cima. A força que age sobre a extremidade esquerda 1
do elemento também possui um módulo igual à tração τ, mas aponta ligeiramente para baixo. Devido à curvatura do elemento, a resultante das forças é diferente de zero e produz no elemento uma aceleração a para cima. A aplicação da segunda y lei de Newton às componentes y (F = ma ) nos dá res,y y Vamos analisar por partes a Eq. (16-34), primeiro a massa dm, depois a componente a da aceleração, depois as componentes da força, F e F e, y 2y 1y finalmente, a força resultante que aparece do lado esquerdo da Eq. 16-34.
Massa. A massa dm do elemento pode ser escrita em termos da massa
específica μ da corda e do comprimento ℓ do elemento: dm = μ ℓ . Como a
inclinação do elemento é pequena, ℓ ≈ dx (Fig. 16-11a) e temos, aproximadamente,
Figura 16-11 (a) Um elemento da corda quando uma onda senoidal transversal se propaga em uma corda esticada. As forças e agem nas extremidades do elemento, produzindo uma aceleração com uma 1 2
componente vertical a . (b) A força na extremidade direita do elemento aponta na direção da reta tangente y
ao elemento nesse ponto.
Aceleração. A aceleração a da Eq. 16-34 é a derivada segunda do y
deslocamento y em relação ao tempo:
Forças. A Fig. 16-11b mostra que é tangente à corda na extremidade direita 2
do elemento; assim, podemos relacionar as componentes da força à inclinação S2 da extremidade direita da corda:
Podemos também relacionar as componentes ao módulo F (= τ): 2
ou Entretanto, como estamos supondo que a inclinação do elemento é pequena, F2y ≪ F e a Eq. 16-38 se torna 2x
Substituindo na Eq. 16-37 e explicitando F , obtemos 2y
Uma análise semelhante para a extremidade esquerda do elemento da corda nos dá
Força Resultante. Podemos agora substituir as Eqs. 16-35, 16-36, 16-40 e 16-
41 na Eq. 16-34 para obter
ou
Como o elemento de corda é curto, as inclinações S e S diferem apenas de um 2 1 valor infinitesimal dS, em que S é a inclinação em qualquer ponto:
Substituindo S – S na Eq. 16-42 por dS e usando a Eq. 16-43 para substituir S 2 1
por dy/dx, obtemos
e Na última passagem, mudamos a notação para derivadas parciais porque, no lado esquerdo da equação, derivamos apenas em relação a x, enquanto, no lado direito, derivamos apenas em relação a t. Finalmente, usando a Eq. 16-26