Problemas

 

. - ... O número de pontos indica o grau de dificuldade do problema.

Informações adicionais disponíveis em O Circo Voador da Física

de Jearl Walker, LTC, Rio de Janeiro, 2008.

 

Módulo 15-1 Movimento Harmônico Simples

·1 Um objeto que executa um movimento harmônico simples leva 0,25 s para se deslocar de um ponto de velocidade nula para o ponto seguinte do mesmo tipo. A distância entre os pontos é 36 cm. Calcule (a) o período, (b) a frequência e (c) a amplitude do movimento.

·2 Um corpo de 0,12 kg executa um movimento harmônico simples de amplitude 8,5 cm e período 0,20 s. (a) Qual é o módulo da força máxima que age sobre o corpo? (b) Se as oscilações são produzidas por uma mola, qual é a constante elástica da mola?

·3 Qual é a aceleração máxima de uma plataforma que oscila com uma amplitude de 2,20 cm e uma frequência de 6,60 Hz?

·4 Do ponto de vista das oscilações verticais, um automóvel pode ser considerado como estando apoiado em quatro molas iguais. Suponha que as molas de um carro sejam ajustadas de tal forma que as oscilações tenham uma frequência de 3,00 Hz. (a) Qual é a constante elástica de cada mola se a massa do carro é 1450 kg e está igualmente distribuída pelas molas? (b) Qual é a frequência de oscilação se cinco passageiros, pesando, em média, 73,0 kg, entram no carro e a distribuição de massa é uniforme?

·5 Em um barbeador elétrico, a lâmina se move para a frente e para trás, percorrendo uma distância de 2,0 mm, em um movimento harmônico simples com uma frequência de 120 Hz. Determine (a) a amplitude, (b) a velocidade máxima da lâmina e (c) o módulo da aceleração máxima da lâmina.

 

·6 Uma partícula com massa de 1,00 × 10–20 kg executa um movimento harmônico simples com um período de 1,00 × 10–5 s e uma velocidade máxima de 1,00 × 103 m/s. Calcule (a) a frequência angular e (b) o deslocamento máximo da partícula.

·7 Um alto-falante produz um som musical por meio das oscilações de um diafragma cuja amplitude é limitada a 1,00 μm. (a) Para que frequência o módulo a da aceleração do diafragma é igual a g? (b) Para frequências maiores, a é maior ou menor que g?

·8 Qual é a constante de fase do oscilador harmônico cuja função posição

x(t) aparece na Fig. 15-30 se a função posição é da forma x = x cos(ωt + m ϕ)? A escala do eixo vertical é definida por x = 6,0 cm. s

 

Figura 15-30  Problema 8.

 

·9 A função x = (6,0 m) cos[(3π rad/s)t + π/3 rad] descreve o movimento harmônico simples de um corpo. No instante t = 2,0 s, determine (a) o deslocamento, (b) a velocidade, (c) a aceleração e (d) a fase do movimento. (e) Qual é a frequência e (f) qual o período do movimento?

·10 Um sistema oscilatório bloco-mola leva 0,75 s para repetir o movimento. Determine (a) o período, (b) a frequência em hertz e (c) a frequência angular em radianos por segundo do movimento.

·11 Na Fig. 15-31, duas molas iguais, de constante elástica 7580 N/m, estão ligadas a um bloco, de massa 0,245 kg. Qual é a frequência de oscilação no piso sem atrito?

 

Figura 15-31  Problemas 11 e 21.

·12 Qual é a constante de fase do oscilador harmônico cuja função

velocidade v(t) está representada graficamente na Fig. 15-32, se a função posição x(t) é da forma x = x cos(ωt + ϕ)? A escala do eixo vertical é m

definida por v = 4,0 cm/s. s

 

Figura 15-32  Problema 12.

 

·13 Um oscilador é formado por um bloco com uma massa de 0,500 kg ligado a uma mola. Quando é posto em oscilação com uma amplitude de 35,0 cm, o oscilador repete o movimento a cada 0,500 s. Determine (a) o período, (b) a frequência, (c) a frequência angular, (d) a constante elástica, (e) a velocidade máxima e (f) o módulo da força máxima que a mola exerce sobre o bloco.

··14 Um oscilador harmônico simples é formado por um bloco de massa 2,00 kg preso a uma mola de constante elástica 100 N/m. Em t = 1,00 s, a posição e a velocidade do bloco são x = 0,129 m e v = 3,415 m/s. (a) Qual é a amplitude das oscilações? (b) Qual era a posição e (c) qual era a velocidade do bloco em t = 0 s?

··15 Duas partículas oscilam em um movimento harmônico simples ao longo de um segmento retilíneo comum, de comprimento A. As duas partículas têm um período de 1,5 s, mas existe uma diferença de fase de π/6 rad entre os movimentos. (a) Qual é a distância entre as partículas (em termos de A) 0,50 s após a partícula atrasada passar por uma das extremidades da trajetória? (b) Nesse instante, as partículas estão se movendo no mesmo sentido, estão se aproximando uma da outra, ou estão se afastando uma da outra?

··16 Duas partículas executam movimentos harmônicos simples de mesma amplitude e frequência ao longo de retas paralelas próximas. Elas passam uma pela outra, movendo-se em sentidos opostos, toda vez que o deslocamento é metade da amplitude. Qual é a diferença de fase entre as partículas?

··17 Um oscilador é formado por um bloco preso a uma mola (k = 400 N/m). Em um dado instante t, a posição (medida a partir da posição de equilíbrio do sistema), a velocidade e a aceleração do bloco são x = 0,100 m, v = –13,6 m/s e a = –123 m/s2. Calcule (a) a frequência das oscilações, (b) a massa do bloco e (c) a amplitude do movimento.

··18 Em um ancoradouro, as marés fazem com que a superfície do oceano suba e desça uma distância d (do nível mais alto ao nível mais baixo) em um movimento harmônico simples com um período de 12,5 h. Quanto tempo é necessário para que a água desça uma distância de 0,250d a partir do nível mais alto?

··19 Um bloco está apoiado em um êmbolo que se move verticalmente em um movimento harmônico simples. (a) Se o MHS tem um período de 1,0 s, para qual valor da amplitude do movimento o bloco e o êmbolo se separam? (b) Se o êmbolo se move com uma amplitude de 5,0 cm, qual é a maior frequência para a qual o bloco e o êmbolo permanecem continuamente em contato?

··20 A Fig. 15-33a é um gráfico parcial da função posição x(t) de um oscilador harmônico simples com uma frequência angular de 1,20 rad/s; a

Fig. 15-33b é um gráfico parcial da função velocidade v(t) correspondente. As escalas dos eixos verticais são definidas por x = 5,0 cm e v = 5,0 cm/s. s s Qual é a constante de fase do MHS se a função posição x(t) é dada na forma x = x cos(ωt + ϕ)? m

 

Figura 15-33  Problema 20.

··21 Na Fig. 15-31, duas molas estão presas a um bloco que pode oscilar em um piso sem atrito. Se a mola da esquerda é removida, o bloco oscila com uma frequência de 30 Hz. Se a mola da direita é removida, o bloco oscila com uma frequência de 45 Hz. Com que frequência o bloco oscila se as duas molas estão presentes?

··22 A Fig. 15-34 mostra o bloco 1, de massa 0,200 kg, deslizando para a direita, em uma superfície elevada, a uma velocidade de 8,00 m/s. O bloco sofre uma colisão elástica com o bloco 2, inicialmente em repouso, que está preso a uma mola de constante elástica 1208,5 N/m. (Suponha que a mola não afete a colisão.) Após a colisão, o bloco 2 inicia um MHS com um período de 0,140 s e o bloco 1 desliza para fora da extremidade oposta da superfície elevada, indo cair a uma distância horizontal d dessa superfície, depois de descer uma distância h = 4,90 m. Qual é o valor de d?

 

Figura 15-34  Problema 22.

 

··23 Um bloco está em uma superfície horizontal (uma mesa oscilante) que se move horizontalmente para a frente e para trás em um movimento harmônico simples com uma frequência de 2,0 Hz. O coeficiente de atrito estático entre o bloco e a superfície é 0,50. Qual o maior valor possível da amplitude do MHS para que o bloco não deslize pela superfície?

···24 Na Fig. 15-35, duas molas são ligadas entre si e a um bloco de massa 0,245 kg que oscila em um piso sem atrito. As duas molas possuem uma constante elástica k = 6430N/m. Qual é a frequência das oscilações?

 

Figura 15-35  Problema 24.

···25 Na Fig. 15-36, um bloco com 14,0 N de peso, que pode deslizar sem atrito em um plano inclinado de ângulo θ = 40,0°, está ligado ao alto do plano inclinado por uma mola, de massa desprezível, de 0,450 m de comprimento quando relaxada, cuja constante elástica é 120 N/m. (a) A que distância do alto do plano inclinado fica o ponto de equilíbrio do bloco? (b) Se o bloco é puxado ligeiramente para baixo ao longo do plano inclinado e depois liberado, qual é o período das oscilações resultantes?

 

Figura 15-36  Problema 25.

 

···26 Na Fig. 15-37, dois blocos (m = 1,8 kg e M = 10 kg) e uma mola (k = 200 N/m) estão dispostos em uma superfície horizontal sem atrito. O coeficiente de atrito estático entre os dois blocos é 0,40. Que amplitude do movimento harmônico simples do sistema blocos-mola faz com que o bloco menor fique na iminência de deslizar?

 

Figura 15-37  Problema 26.

 

Módulo 15-2 A Energia do Movimento Harmônico Simples

 

·27 Quando o deslocamento em um MHS é metade da amplitude x , que m fração da energia total é (a) energia cinética e (b) energia potencial? (c) Para que deslocamento, como fração da amplitude, a energia do sistema é metade energia cinética e metade energia potencial?

·28 A Fig. 15-38 mostra o poço de energia potencial unidimensional no qual está uma partícula de 2,0 kg [a função U(x) é da forma bx2 e a escala do eixo vertical é definida por U = 2,0 J]. (a) Se a partícula passa pela s posição de equilíbrio com uma velocidade de 85 cm/s, ela retorna antes de chegar ao ponto x = 15 cm? (b) Caso a resposta seja afirmativa, calcule a posição do ponto de retorno; caso a resposta seja negativa, calcule a velocidade da partícula no ponto x = 15 cm.

 

Figura 15-38  Problema 28.

 

·29 Determine a energia mecânica de um sistema bloco-mola com uma constante elástica de 1,3 N/cm e uma amplitude de oscilação de 2,4 cm.

·30 Um sistema oscilatório bloco-mola possui uma energia mecânica de 1,00 J, uma amplitude de 10,0 cm e uma velocidade máxima de 1,20 m/s. Determine (a) a constante elástica, (b) a massa do bloco e (c) a frequência de oscilação.

·31 Um objeto de 5,00 kg que repousa em uma superfície horizontal sem atrito está preso a uma mola com k = 1000 N/m. O objeto é deslocado horizontalmente 50,0 cm a partir da posição de equilíbrio e recebe uma velocidade inicial de 10,0 m/s na direção da posição de equilíbrio. Determine (a) a frequência do movimento, (b) a energia potencial inicial do sistema massa-mola, (c) a energia cinética inicial e (d) a amplitude do movimento.

·32 A Fig. 15-39 mostra a energia cinética K de um oscilador harmônico simples em função da posição x. A escala vertical é definida por K = 4,0 J. s Qual é a constante elástica?

Figura 15-39  Problema 32.

 

··33 Um bloco de massa M = 5,4 kg, em repouso em uma mesa horizontal sem atrito, estáliga do a um suporte rígido por uma mola de constante elástica k = 6000 N/m. Uma bala, de massa m = 9,5 g e velocidade de

módulo 630 m/s, se choca com o bloco (Fig. 15-40) e fica alojada no bloco depois do choque. Supondo que a compressão da mola é desprezívelat é a bala se alojar no bloco, determine (a) a velocidade do bloco imediatamente após a colisão e (b) a amplitude do movimento harmônico simples resultante.

 

Figura 15-40  Problema 33.

 

··34 Na Fig. 15-41, o bloco 2, com massa de 2,0 kg, oscila na extremidade de uma mola, executando um MHS com um período de 20 ms. A posição do bloco é dada por x = (1,0 cm) cos(ωt + π/2). O bloco 1, de massa 4,0 kg, desliza em direção ao bloco 2 com uma velocidade de módulo 6,0 m/s. Os dois blocos sofrem uma colisão perfeitamente inelástica no instante t = 5,0 ms. (A duração do choque é muito menor que o período do movimento.) Qual é a amplitude do MHS após o choque?

 

Figura 15-41  Problema 34.

··35 Uma partícula de 10 g executa um MHS com uma amplitude de 2,0 mm, uma aceleração máxima de módulo 8,0 × 103 m/s2 e uma constante de fase desconhecida ϕ. Determine (a) o período do movimento (b) a velocidade máxima da partícula e (c) a energia mecânica total do oscilador. Qual é o módulo da força que age sobre a partícula no ponto no qual (d) o deslocamento é máximo? (e) O deslocamento é metade do deslocamento máximo?

··36 Se o ângulo de fase de um sistema bloco-mola que executa um MHS é π/6 rad e a posição do bloco é dada por x = x cos(ωt + ϕ), qual é a razão m entre a energia cinética e a energia potencial no instante t = 0?

···37 Uma mola, de massa desprezível, está pendurada no teto com um pequeno objeto preso à extremidade inferior. O objeto é inicialmente mantido em repouso em uma posição y tal que a mola se encontra no estado i relaxado. Em seguida, o objeto é liberado e passa a oscilar para cima e para baixo, com a posição mais baixa 10 cm abaixo de y . (a) Qual é a frequência i das oscilações? (b) Qual é a velocidade do objeto quando se encontra 8,0 cm abaixo da posição inicial? (c) Um objeto de massa 300 g é preso ao primeiro objeto, após o que o sistema passa a oscilar com metade da frequência original. Qual é a massa do primeiro objeto? (d) A que distância abaixo de y está a nova posição de equilíbrio (repouso), com os dois i

objetos presos à mola?

 

Módulo 15-3 O Oscilador Harmônico Angular Simples

·38 Uma esfera maciça, com massa de 95 kg e raio de 15 cm, está suspensa por um fio vertical. Um torque de 0,20 N · m é necessário para fazer a esfera girar 0,85 rad e ficar em repouso com a nova orientação. Qual é o período das oscilações quando a esfera é liberada?

··39 O balanço de um relógio antigo oscila com uma amplitude angular de π rad e um período de 0,500 s. Determine (a) a velocidade angular máxima do balanço, (b) a velocidade angular no instante em que o deslocamento é π/2 rad e (c) o módulo da aceleração angular no instante em que o deslocamento é π/4 rad.

 

Módulo 15-4 Pêndulos e Movimento Circular ·40 Um pêndulo físico é formado por uma régua de um metro cujo ponto de suspensão é um pequeno furo feito na régua a uma distância d da marca de 50 cm. O período de oscilação é 2,5 s. Determine o valor de d.

·41 Na Fig. 15-42, o pêndulo é formado por um disco uniforme de raio r = 10,0 cm e 500 g de massa preso a uma barra homogênea de comprimento L = 500 mm e 270 g de massa. (a) Calcule o momento de inércia em relação ao ponto de suspensão. (b) Qual é a distância entre o ponto de suspensão e o centro de massa do pêndulo? (c) Calcule o período das oscilações.

 

Figura 15-42  Problema 41.

 

·42 Suponha que um pêndulo simples seja formado por um pequeno peso de 60,0 g pendurado na extremidade de uma corda, de massa desprezível. Se o ângulo θ entre a corda e a vertical é dado por

 

ϕ = (0,0800 rad) cos[(4,43 rad/s)t + ϕ].

 

qual é (a) o comprimento da corda e (b) qual a energia cinética máxima do peso?

·43 (a) Se o pêndulo físico do Exemplo 15.05 for invertido e pendurado pelo ponto P, qual será o período das oscilações? (b) O período será maior, menor ou igual ao valor anterior?

·44 Um pêndulo físico é formado por duas réguas de um metro de

comprimento, unidas da forma indicada na Fig. 15-43. Qual é o período de oscilação do pêndulo em torno de um pino que passa pelo ponto A, situado no centro da régua horizontal?

Figura 15-43  Problema 44.

 

·45 Uma artista de circo, sentada em um trapézio, está se balançando

com um período de 8,85 s. Quando ela fica em pé, elevando assim de 35,0 cm o centro de massa do sistema trapézio + trapezista, qual é o novo período do sistema? Trate o sistema trapézio + trapezista como um pêndulo simples.

·46 No Exemplo 15.05, vimos que, em um pêndulo físico em forma de régua, o centro de oscilação está a uma distância 2L/3 do ponto de suspensão. Mostre que a distância entre o ponto de suspensão e o centro de oscilação para um pêndulo de qualquer formato é I/mh, em que I é o momento de inércia, m é a massa e h é a distância entre o ponto de suspensão e o centro de massa do pêndulo.

·47 Na Fig. 15-44, um pêndulo físico é formado por um disco uniforme (de raio R = 2,35 cm) sustentado em um plano vertical por um pino situado a uma distância d = 1,75 cm do centro do disco. O disco é deslocado de um pequeno ângulo e liberado. Qual é o período do movimento harmônico simples resultante?

 

Figura 15-44  Problema 47.

 

··48 Um bloco retangular, com faces de largura a = 35 cm e comprimento b = 45 cm, é suspenso por uma barra fina que passa por um pequeno furo no interior do bloco e colocado para oscilar como um pêndulo, com uma

amplitude suficientemente pequena para que se trate de um MHS. A Fig.

15-45 mostra uma possível posição do furo, a uma distância r do centro do bloco, na reta que liga o centro a um dos vértices. (a) Plote o período do pêndulo em função da distância r de modo que o mínimo da curva fique evidente. (b) O mínimo acontece para que valor de r? Na realidade, existe um lugar geométrico em torno do centro do bloco para o qual o período de oscilação possui o mesmo valor mínimo. (c) Qual é a forma desse lugar geométrico?

 

Figura 15-45  Problema 48.

 

··49 O ângulo do pêndulo da Fig. 15-11b é dado por θ = θ cos[(4,44 rad/s)t m + ϕ]. Se, em t = 0, θ = 0,040 rad e dθ/dt = –0,200 rad/s, qual é (a) a constante de fase ϕ e (b) qual é o ângulo máximo θ ? (Atenção: Não m confunda a taxa de variação de θ, dθ/dt, com a frequência angular ω do MHS.)

··50 Uma barra fina homogênea, com massa de 0,50 kg, oscila em torno de um eixo que passa por uma das extremidades da barra e é perpendicular ao plano de oscilação. A barra oscila com um período de 1,5 s e uma amplitude angular de 10°. (a) Qual é o comprimento da barra? (b) Qual é a energia cinética máxima da barra?

··51 Na Fig. 15-46, uma barra, de comprimento L = 1,85 m, oscila como um pêndulo físico. (a) Que valor da distância x entre o centro de massa da barra e o ponto de suspensão O corresponde ao menor período? (b) Qual é esse período?

Figura 15-46  Problema 51.

 

··52 O cubo de 3,00 kg da Fig.15-47 tem d = 6,00 cm de aresta e está montado em um eixo que passa pelo centro. Uma mola (k = 1200 N/m) liga o vértice superior do cubo a uma parede rígida. Inicialmente, a mola está relaxada. Se o cubo é girado de 3° e liberado, qual é o período do MHS resultante?

 

Figura 15-47  Problema 52.

 

··53 Na vista superior da Fig. 15-48, uma barra longa, homogênea, com 0,600 kg de massa, está livre para girar em um plano horizontal em torno de um eixo vertical que passa pelo centro. Uma mola de constante elástica k = 1850 N/m é ligada horizontalmente entre uma das extremidades da barra e uma parede fixa. Quando está em equilíbrio, a barra fica paralela à parede. Qual é o período das pequenas oscilações que acontecem quando a barra é girada ligeiramente e depois liberada?

Figura 15-48  Problema 53.

 

··54 Na Fig. 15-49a, uma placa de metal está montada em um eixo que passa pelo centro de massa. Uma mola com k = 2000 N/m está ligada a uma parede e a um ponto da borda da placa a uma distância r = 2,5 cm do centro de massa. Inicialmente, a mola está relaxada. Se a placa é girada de 7° e liberada, ela oscila em torno do eixo em um MHS, com a posição angular

dada pela Fig. 15-49b. A escala do eixo horizontal é definida por t = 20 ms. s Qual é o momento de inércia da placa em relação ao centro de massa?

 

Figura 15-49  Problema 54.

 

···55 Um pêndulo é formado suspendendo por um ponto uma barra longa e fina. Em uma série de experimentos, o período é medido em função da distância x entre o ponto de suspensão e o centro da barra. (a) Se o comprimento da barra é L = 2,20 m e a massa é m = 22,1 g, qual é o menor período? (b) Se x é escolhido de modo a minimizar o período e L é aumentado, o período aumenta, diminui ou permanece o mesmo? (c) Se, em vez disso, m é aumentada com L mantido constante, o período aumenta, diminui ou permanece o mesmo?

···56 Na Fig. 15-50, um disco de 2,50 kg com D = 42,0 cm de diâmetro está preso a uma das extremidades de uma barra, de comprimento L = 76,0 cm e massa desprezível, que está suspensa pela outra extremidade. (a) Com a mola de torção de massa desprezível desconectada, qual é o período de oscilação? (b) Com a mola de torção conectada, a barra fica em equilíbrio na vertical. Qual é a constante de torção da mola se o período de oscilação diminui de 0,500 s com a mola de torção conectada?

Figura 15-50  Problema 56.

 

 

Módulo 15-5 Movimento Harmônico Simples Amortecido

·57 A amplitude de um oscilador fracamente amortecido diminui de 3,0% a cada ciclo. Que porcentagem da energia mecânica do oscilador é perdida em cada ciclo?

·58 Em um oscilador amortecido como o da Fig. 15-16, com m = 250 g, k = 85 N/m e b = 70 g/s, qual é a razão entre a amplitude das oscilações amortecidas e a amplitude inicial após 20 ciclos?

·59 Em um oscilador amortecido como o da Fig. 15-16, o bloco possui uma massa de 1,50 kg e a constante elástica é 8,00 N/m. A força de amortecimento é dada por –b(dx/dt), em que b = 230 g/s. O bloco é puxado 12,0 cm para baixo e liberado. (a) Calcule o tempo necessário para que a amplitude das oscilações resultantes diminua para um terço do valor inicial. (b) Quantas oscilações o bloco realiza nesse intervalo de tempo?

··60 O sistema de suspensão de um automóvel de 2000 kg “cede” 10 cm quando o chassi é colocado no lugar. Além disso, a amplitude das oscilações diminui de 50% a cada ciclo. Estime o valor (a) da constante elástica k e (b) da constante de amortecimento b do sistema mola-amortecedor de uma das rodas, supondo que cada roda sustenta 500 kg.

 

Módulo 15-6 Oscilações Forçadas e Ressonância

 

·61 Suponha que, na Eq. 15-45, a amplitude x seja dada por m

em que F é a amplitude (constante) da força alternada externa exercida m

 

sobre a mola pelo suporte rígido da Fig. 15-16. Qual é, na ressonância, (a) a amplitude do movimento e (b) qual é a amplitude da velocidade do bloco?

·62 São pendurados em uma viga horizontal nove pêndulos com os seguintes comprimentos: (a) 0,10; (b) 0,30; (c) 0,40; (d) 0,80; (e) 1,2; (f) 2,8; (g) 3,5; (h) 5,0; (i) 6,2 m. A viga sofre oscilações horizontais com frequências angulares no intervalo de 2,00 rad/s a 4,00 rad/s. Quais dos pêndulos entram (fortemente) em oscilação?

··63 Um carro de 1000 kg com quatro ocupantes de 82 kg viaja em uma estrada de terra com “costelas” separadas por uma distância média de 4,0 m. O carro trepida com amplitude máxima quando está a 16 km/h. Quando o carro para e os ocupantes saltam, de quanto aumenta a altura do carro?

 

Problemas Adicionais

64 Embora seja conhecido pelos terremotos, o estado da Califórnia

possui vastas regiões com rochas precariamente equilibradas que tombariam, mesmo quando submetidas a um fraco tremor de terra. As rochas permaneceram na mesma posição por milhares de anos, o que sugere que grandes terremotos não ocorreram recentemente nessas regiões. Se um terremoto submetesse uma dessas rochas a uma oscilação senoidal (paralela ao solo) com uma frequência de 2,2 Hz, uma amplitude de oscilação de 1,0 cm faria a rocha tombar. Qual seria o módulo da aceleração máxima da oscilação, em termos de g?

65 O diafragma de um alto-falante está oscilando em um movimento harmônico simples com uma frequência de 440 Hz e um deslocamento máximo de 0,75 mm. Determine (a) a frequência angular, (b) a velocidade máxima e (c) o módulo da aceleração máxima.

66 Uma mola homogênea com k = 8600 N/m é cortada em dois pedaços, 1 e 2, cujos comprimentos no estado relaxado são L = 7,0 cm e L = 10 cm. 1 2 Qual é o valor (a) de k e (b) de k ? Um bloco preso na mola original, como 1 2

na Fig. 15-7, oscila com uma frequência de 200 Hz. Qual será a frequência de oscilação se o bloco for preso (c) no pedaço 1 e (d) no pedaço 2?

67 Na Fig. 15-51, três vagonetes de minério de 10.000 kg são mantidos em repouso nos trilhos de uma mina por um cabo paralelo aos trilhos, que possuem uma inclinação θ = 30° em relação à horizontal. O cabo sofre um alongamento de 15 cm imediatamente antes de o engate entre os dois vagonetes de baixo se romper, liberando um deles. Supondo que o cabo obedece à lei de Hooke, determine (a) a frequência e (b) a amplitude das oscilações dos dois vagonetes que restam.

 

Figura 15-51  Problema 67.

 

68 Um bloco de 2,00 kg está pendurado em uma mola. Quando um corpo de 300 g é pendurado no bloco, a mola sofre um alongamento adicional de 2,00 cm. (a) Qual é a constante elástica da mola? (b) Determine o período do movimento se o corpo de 300 g for removido e o bloco for posto para oscilar.

69 O êmbolo de uma locomotiva tem um curso (o dobro da amplitude) de 0,76 m. Se o êmbolo executa um movimento harmônico simples com uma frequência angular de 180 rev/min, qual é sua velocidade máxima?

70 Uma roda de bicicleta pode girar livremente em torno do eixo, que é mantido fixo. Uma mola está presa a um dos raios a uma distância r do

eixo, como mostra a Fig. 15-52. (a) Usando como modelo para a roda um anel delgado, de massa m e raio R, qual é a frequência angular ω para pequenas oscilações do sistema em termos de m, R, r e da constante elástica k? Qual é o valor de ω para (b) r = R e (c) r = 0?

Figura 15-52  Problema 70.

 

 

71 Uma pedra de 50,0 g está oscilando na extremidade inferior de uma mola vertical. Se a maior velocidade da pedra é 15,0 cm/s e o período é 0,500 s, determine (a) a constante elástica da mola, (b) a amplitude do movimento e (c) a frequência de oscilação.

72 Um disco circular homogêneo de R = 12,6 cm está suspenso por um ponto da borda para formar um pêndulo físico. (a) Qual é o período do pêndulo? (b) A que distância do centro r < R existe um ponto de suspensão para o qual o período é o mesmo?

73 Uma mola vertical sofre um alongamento de 9,6 cm quando um bloco de 1,3 kg é pendurado na extremidade. (a) Calcule a constante elástica. O bloco é deslocado de mais 5,0 cm para baixo e liberado a partir do repouso. Determine (b) o período, (c) a frequência, (d) a amplitude e (e) a velocidade máxima do MHS resultante.

74 Uma mola, de massa desprezível e constante elástica 19 N/m, está pendurada verticalmente. Um corpo, de massa 0,20 kg, é preso na extremidade livre da mola e liberado. Suponha que a mola estava relaxada antes de o corpo ser liberado. Determine (a) a distância que o corpo atinge abaixo da posição inicial, (b) a frequência e (c) a amplitude do MHS resultante.

75 Um bloco de 4,00 kg está suspenso por uma mola com k = 500 N/m. Um bala de 50,0 g é disparada verticalmente contra o bloco, de baixo para cima, com uma velocidade de 150 m/s, e fica alojada no bloco. (a) Determine a amplitude do MHS resultante. (b) Que porcentagem da energia cinética original da bala é transferida para a energia mecânica do oscilador?

76 Um bloco de 55,0 g oscila em um MHS na extremidade de uma mola com k = 1500 N/m de acordo com a equação x = x cos(ωt + ϕ). Quanto m tempo o bloco leva para se deslocar da posição +0,800x para a posição (a) m +0,600x e (b) –0,800x ? m m

77 A Fig. 15-53 mostra a posição de um bloco de 20 g oscilando em um MHS na extremidade de uma mola. A escala do eixo horizontal é definida por t = 40,0 ms. (a) Qual é a energia cinética máxima do bloco e (b) qual o s

número de vezes por segundo que a energia cinética máxima é atingida? (Sugestão: Medir a inclinação de uma curva pode levar a valores pouco precisos. Tente encontrar um método melhor.)

 

Figura 15-53  Problemas 77 e 78.

 

78 A Fig. 15-53 mostra a posição x(t) de um bloco que oscila em um MHS na extremidade de uma mola (t = 40,0 ms). (a) Qual é a velocidade e (b) s

qual é o módulo da aceleração radial de uma partícula no movimento circular uniforme correspondente?

79 A Fig. 15-54 mostra a energia cinética K de um pêndulo simples em função do ângulo θ com a vertical. A escala do eixo vertical é definida por K = 10,0 mJ. O peso do pêndulo tem massa de 0,200 kg. Qual é o s

comprimento do pêndulo?

Figura 15-54  Problema 79.

 

80 Um bloco está em MHS na extremidade de uma mola, com a posição dada por x = x cos(ωt + ϕ). Se ϕ = π/5 rad, que porcentagem da energia m

mecânica total é energia potencial no instante t = 0?

81 Um oscilador harmônico simples é formado por um bloco de 0,50 kg preso a uma mola. O bloco oscila em linha reta, de um lado para outro, em uma superfície sem atrito, com o ponto de equilíbrio em x = 0. No instante t

= 0, o bloco está em x = 0 e se move no sentido positivo de x.A Fig. 15-55 mostra o módulo da força aplicada em função da posição do bloco. A escala vertical é definida por F = 75,0 N. Determine (a) a amplitude do s movimento, (b) o período do movimento, (c) o módulo da aceleração máxima e (d) a energia cinética máxima.

 

Figura 15-55  Problema 81.

 

82 Um pêndulo simples, com 20 cm de comprimento e 5,0 g de massa, está suspenso em um carro de corrida que se move a uma velocidade constante de 70 m/s, descrevendo uma circunferência com 50 m de raio. Se o pêndulo sofre pequenas oscilações na direção radial em torno da posição de equilíbrio, qual é a frequência das oscilações?

83 A escala de uma balança de mola que pode medir de 0 a 15,0 kg tem 12,0 cm de comprimento. Um pacote colocado na balança oscila verticalmente com uma frequência de 2,00 Hz. (a) Qual é a constante elástica da mola? (b) Qual é o peso do pacote?

84 Um bloco de 0,10 kg oscila em linha reta em uma superfície horizontal sem atrito. O deslocamento em relação à origem é dado por

 

x = (10 cm) cos[(10 rad/s)t + π/2 rad].

(a) Qual é a frequência de oscilação? (b) Qual é a velocidade máxima do bloco? (c) Para qual valor de x a velocidade é máxima? (d) Qual é o módulo da aceleração máxima do bloco? (e) Para qual valor de x a aceleração é máxima? (f) Que força, aplicada ao bloco pela mola, produz uma oscilação como essa?

85 A extremidade de uma mola oscila com um período de 2,0 s quando um bloco, de massa m, está preso à mola. Quando a massa é aumentada de 2,0 kg, o período do movimento passa a ser 3,0 s. Determine o valor de m.

86 A ponta de um diapasão executa um MHS com uma frequência de 1000 Hz e uma amplitude de 0,40 mm. Para essa ponta, qual é o módulo (a) da aceleração máxima, (b) da velocidade máxima, (c) da aceleração quando o deslocamento é 0,20 mm e (d) da velocidade quando o deslocamento é 0,20 mm?

87 Um disco plano circular homogêneo, com massa de 3,00 kg e raio de 70,0 cm, está suspenso em um plano horizontal por um fio vertical preso ao centro. Se o disco sofre uma rotação de 2,50 rad em torno do fio, é necessário um torque de 0,0600 N·m para manter essa orientação. Calcule (a) o momento de inércia do disco em relação ao fio, (b) a constante de torção e (c) a frequência angular desse pêndulo de torção quando é posto para oscilar.

88 Um bloco com 20 N de peso oscila na extremidade de uma mola vertical com uma constante elástica k = 100 N/m; a outra extremidade da mola está presa a um teto. Em um dado instante, a mola está esticada 0,30 m além do comprimento relaxado (o comprimento quando nenhum objeto está preso à mola) e a velocidade do bloco é zero. (a) Qual é a força a que o bloco está submetido nesse instante? Qual é (b) a amplitude e (c) qual o período do movimento harmônico simples? (d) Qual é a energia cinética máxima do bloco?

89 Uma partícula de 3,0 kg está realizando um movimento harmônico simples em uma dimensão e se move de acordo com a equação

 

x = (5,0 m) cos[(π/3 rad/s)t – π/4 rad],

 

com t em segundos. (a) Para qual valor de x a energia potencial da partícula é igual à metade da energia total? (b) Quanto tempo a partícula leva para se mover até a posição do item (a) a partir da posição de equilíbrio?

90 Uma partícula executa um MHS linear com uma frequência de 0,25 Hz em torno do ponto x = 0. Em t = 0, o deslocamento da partícula é x = 0,37 cm e a velocidade é v = 0. Determine os seguintes parâmetros do MHS: (a) período, (b) frequência angular, (c) amplitude, (d) deslocamento x(t), (e) velocidade v(t), (f) velocidade máxima, (g) módulo da aceleração máxima, (h) deslocamento em t = 3,0 s e (i) velocidade em t = 3,0 s.

91 Qual é a frequência de um pêndulo simples de 2,0 m de comprimento (a) em uma sala, (b) em um elevador acelerando para cima a 2,0 m/s2 e (c) em queda livre?

92 O pêndulo de um relógio é formado por um disco fino de latão de raio r = 15,00 cm e 1,000 kg de massa preso a uma barra longa e fina de massa desprezível. O pêndulo oscila livremente em torno de um eixo perpendicular à barra que passa pela extremidade oposta à do disco, como

mostra a Fig. 15-56. Se o pêndulo deve ter um período de 2,000 s para pequenas oscilações num local em que g = 9,800 m/s2, qual deve ser o comprimento L da haste com precisão de décimos de milímetro?

 

Figura 15-56  Problema 92.

 

93 Um bloco de 4,00 kg pendurado em uma mola produz um alongamento de 16,0 cm em relação à posição relaxada. (a) Qual é a constante elástica da mola? (b) O bloco é removido e um corpo de 0,500 kg é pendurado na mesma mola. Se a mola é alongada e liberada, qual é o período de oscilação?

94 Qual é a constante de fase do oscilador harmônico simples cuja função

aceleração a(t) aparece na Fig. 15-57 se a função posição x(t) é da forma x

= x cos(ωt + ϕ) e a = 4,0 m/s2? m s

 

Figura 15-57  Problema 94.

 

95 Um engenheiro possui um objeto de 10 kg de forma irregular e precisa conhecer o momento de inércia do objeto em relação a um eixo que passa pelo centro de massa. O objeto é suspenso por um fio com uma constante de torção k = 0,50 N · m, de tal forma que o ponto de suspensão está alinhado com o centro de massa. Se esse pêndulo de torção sofre 20 oscilações completas em 50 s, qual é o momento de inércia do objeto em relação ao eixo escolhido?

96 Uma aranha fica sabendo que a teia capturou um inseto (uma

mosca, por exemplo) porque os movimentos do inseto fazem oscilar os fios da teia. A aranha pode avaliar até mesmo o tamanho do inseto pela frequência das oscilações. Suponha que um inseto oscile no fio de captura como um bloco preso a uma mola. Qual é a razão entre a frequência de oscilação de um inseto de massa m e a frequência de oscilação de um inseto de massa 2,5m?

97 Um pêndulo de torção é formado por um disco de metal com um fio

soldado no centro. O fio é montado verticalmente e esticado. A Fig. 15-58a mostra o módulo τ do torque necessário para fazer o disco girar em torno do centro (torcendo o fio) em função do ângulo de rotação θ. A escala do eixo

vertical é definida por t = 4,0 × 10–3 N · m. O disco é girado até θ = 0,200 s

rad e depois liberado. A Fig. 15-58b mostra a oscilação resultante em termos da posição angular θ em função do tempo t. A escala do eixo horizontal é definida por t = 0,40 s. (a) Qual é o momento de inércia do s disco em relação ao centro? (b) Qual é a velocidade angular máxima dθ/dt do disco? [Atenção: Não confunda a frequência angular (constante) do MHS e a velocidade angular (variável) do disco, que normalmente são representadas pelo mesmo símbolo, ω. Sugestão: A energia potencial U do pêndulo de torção é igual a , uma expressão análoga à da energia

potencial de uma mola, .]

 

Figura 15-58  Problema 97.

 

98 Quando uma lata de 20 N é pendurada na extremidade inferior de uma mola vertical, a mola sofre um alongamento de 20 cm. (a) Qual é a constante elástica da mola? (b) A mesma mola é colocada horizontalmente em uma mesa sem atrito. Uma das extremidades é mantida fixa e a outra é presa a uma lata de 5,0 N. A lata é deslocada (esticando a mola) e liberada a partir do repouso. Qual é o período das oscilações?

 

99 Determine a amplitude angular θ das oscilações de um pêndulo simples m para a qual a diferença entre o torque restaurador necessário para o movimento harmônico simples e o torque restaurador verdadeiro é igual a 1,0%. (Sugestão: Veja “Expansões Trigonométricas” no Apêndice E.)

100 Na Fig. 15-59, um cilindro maciço preso a uma mola horizontal (k = 3,00 N/m) rola sem deslizar em uma superfície horizontal. Se o sistema é liberado a partir do repouso quando a mola está distendida de 0,250 m, determine (a) a energia cinética de translação e (b) a energia cinética de rotação do cilindro ao passar pela posição de equilíbrio. (c) Mostre que, nessas condições, o centro de massa do cilindro executa um movimento harmônico simples de período

 

em que M é a massa do cilindro. (Sugestão: Calcule a derivada da energia mecânica total em relação ao tempo.)

 

Figura 15-59  Problema 100.

 

101 Um bloco de 1,2 kg que desliza em uma superfície horizontal sem atrito está preso a uma mola horizontal com k = 480 N/m. Seja x o deslocamento do bloco a partir da posição na qual a mola se encontra relaxada. No instante t = 0, o bloco passa pelo ponto x = 0 com uma velocidade de 5,2 m/s no sentido positivo de x. (a) Qual é a frequência e (b) qual a amplitude do movimento do bloco? (c) Escreva uma expressão para o deslocamento x em função do tempo.

102 Um oscilador harmônico simples é formado por um bloco de 0,80 kg preso a uma mola (k = 200 N/m). O bloco desliza em uma superfície horizontal sem atrito em torno da posição de equilíbrio x = 0 com uma energia mecânica total de 4,0 J. (a) Qual é a amplitude das oscilações? (b) Quantas oscilações o bloco completa em 10 s? (c) Qual é a energia cinética máxima do bloco? (d) Qual é a velocidade do bloco em x = 0,15 m?

103 Um bloco que desliza em uma superfície horizontal sem atrito está preso a uma mola horizontal de constante elástica k = 600 N/m. O bloco executa um MHS em torno da posição de equilíbrio com um período de 0,40 s e uma amplitude de 0,20 m. Quando o bloco está passando pela posição de equilíbrio, uma bola de massa de modelar de 0,50 kg é deixada cair verticalmente no bloco. Se a massa fica grudada no bloco, determine (a) o novo período do movimento e (b) a nova amplitude do movimento.

104 Um oscilador harmônico amortecido é formado por um bloco (m = 2,00 kg), uma mola (k = 10,0 N/m) e uma força de amortecimento (F = –bv). Inicialmente, o bloco oscila com uma amplitude de 25,0 cm; devido ao amortecimento, a amplitude cai a três quartos do valor inicial após quatro oscilações completas. (a) Qual é o valor de b? (b) Qual é a energia “perdida” durante as quatro oscilações?

105 Um bloco com 10,0 N de peso está preso à extremidade inferior de uma mola vertical (k = 200,0 N/m). A outra extremidade da mola está presa a um teto. O bloco oscila verticalmente e possui uma energia cinética de 2,00 J ao passar pelo ponto no qual a mola está relaxada. (a) Qual é o período de oscilação? (b) Use a lei de conservação da energia para determinar os maiores deslocamentos do bloco acima e abaixo do ponto no qual a mola fica relaxada. (Os dois valores não são necessariamente iguais.) (c) Qual é a amplitude de oscilação? (d) Qual é a energia cinética máxima do bloco?

106 Um oscilador harmônico simples é formado por um bloco preso a uma mola com k = 200 N/m. O bloco desliza em uma superfície sem atrito, com o ponto de equilíbrio em x = 0 e uma amplitude de 0,20 m. O gráfico da

velocidade v do bloco em função do tempo t aparece na Fig. 15-60. A escala do eixo horizontal é definida por t = 0,20 s. Determine (a) o período s do MHS, (b) a massa do bloco, (c) o deslocamento do bloco no instante t = 0, (d) a aceleração do bloco no instante t = 0,10 s e (e) a energia cinética máxima do bloco.

 

Figura 15-60  Problema 106.

 

107 As frequências de vibração dos átomos nos sólidos em temperaturas moderadas são da ordem de 1013 Hz. Imagine que os átomos estão ligados uns aos outros por molas. Suponha que um átomo de prata em um sólido vibre com essa frequência e que todos os outros átomos estejam em repouso. Calcule a constante elástica efetiva. Um mol (6,02 × 1023 átomos) de prata tem massa de 108 g.

108 A Fig. 15-61 mostra que, se pendurarmos um bloco na extremidade de uma mola de constante elástica k, a mola sofrerá um alongamento h = 2,0 cm. Se puxarmos o bloco ligeiramente para baixo a partir da posição de equilíbrio e depois o liberarmos, ele oscilará com certa frequência. Qual deve ser o comprimento de um pêndulo simples para que oscile com a mesma frequência?

 

Figura 15-61  Problema 108.

 

109 O pêndulo físico da Fig. 15-62 tem dois pontos de suspensão possíveis, A e B. O ponto A é fixo, mas o ponto B pode ser deslocado para várias posições, indicadas na figura por uma escala graduada. Quando o pêndulo é suspenso pelo ponto A, o período é T = 1,80 s. O pêndulo é suspenso pelo ponto B e a posição do ponto B é ajustada para que o período seja também de 1,80 s. Qual é a distância L entre os pontos A e B?

 

Figura 15-62  Problema 109.

 

110 Um brinquedo muito apreciado pelas crianças pequenas é o balanço

elástico, um assento sustentado por cordas elásticas (Fig. 15-63). Suponha que exista apenas uma corda em cada lado, a despeito do arranjo mais realista mostrado na figura. Quando uma criança é colocada no assento, as cordas descem uma distância d (trate-as como se fossem molas). Em s seguida, o assento é puxado para baixo de uma distância adicional d e m liberado, o que faz a criança oscilar verticalmente, como um bloco na extremidade de uma mola. Suponha que você seja um engenheiro de segurança da empresa que fabrica o brinquedo. Você não quer que o módulo da aceleração da criança ultrapasse 0,20g para que a criança não fique com torcicolo. Se d = 10 cm, que valor de d corresponde a esse módulo da m s aceleração?

 

Figura 15-63  Problema 110.

 

111 Um bloco de 2,0 kg executa um MHS preso a uma mola horizontal de constante elástica k = 200 N/m. A velocidade máxima do bloco enquanto desliza em uma superfície horizontal sem atrito é 3,0 m/s. Determine (a) a amplitude do movimento do bloco, (b) o módulo da aceleração máxima e (c) o módulo da aceleração mínima. (d) Quanto tempo o bloco leva para completar 7,0 ciclos do movimento?

112 Na Fig. 15-64, uma bola de demolição de 2500 kg balança na ponta de um guindaste.O comprimento do segmento de cabo que se move com a bola é 17 m. (a)Determine o período do balanço, supondo que o sistema pode ser tratado como um pêndulo simples. (b) O período depende da massa da bola?

Figura 15-64  Problema 112.

 

113 O centro de oscilação de um pêndulo físico possui a seguinte

propriedade interessante: Se um impulso (horizontal e no plano de oscilação) é aplicado ao centro de oscilação, nenhuma oscilação é sentida no ponto de apoio. Os jogadores de beisebol (e os jogadores de muitos outros esportes) sabem que, a menos que a bola se choque com o bastão nesse ponto (chamado de “ponto doce” pelos atletas), as oscilações produzidas pelo impacto serão transmitidas às mãos. Para demonstrar essa

propriedade, use a régua da Fig. 15-13a como modelo de um bastão de beisebol. Suponha que uma força horizontal (devido ao impacto da bola) age para a direita em P, o centro de oscilação. O batedor segura o bastão em O, o ponto de sustentação da régua. (a) Que aceleração a força imprime ao ponto O? (b) Que aceleração angular é produzida por em relação ao centro de massa da régua? (c) Como resultado da aceleração angular calculada no item (b), qual é a aceleração linear do ponto O? (d) Considerando os módulos e orientações das acelerações calculadas nos itens (a) e (c), convença-se de que o ponto P é, de fato, um “ponto doce”.

114 Uma atiradeira gigante (hipotética) sofre um alongamento de 2,30 m para lançar um projétil de 170 g com velocidade suficiente (11,2 km/s) para escapar da atração gravitacional da Terra. Suponha que o material elástico usado na atiradeira obedeça à lei de Hooke. (a) Qual é a constante elástica do material se toda a energia potencial elástica é convertida em energia cinética? (b) Suponha que uma pessoa comum seja capaz de exercer uma força de 490 N. Quantas pessoas seriam necessárias para lançar o projétil?

115 Qual é o comprimento de um pêndulo simples no qual o peso leva 3,2 s para descrever uma oscilação completa?

116 Um bloco de 2,0 kg é preso a uma das extremidades de uma mola com uma constante elástica de 350 N/m e forçado a oscilar por uma força F = (15 N) sen(ω t), em que ω = 35 rad/s. A constante de amortecimento é b = d d

15 kg/s. Em t = 0, o bloco está em repouso com a mola relaxada. (a) Use integração numérica para plotar o deslocamento do bloco durante o primeiro 1,0 s. Use o movimento perto do final do intervalo de 1,0 s para estimar a amplitude, o período e a frequência angular. Repita os cálculos para (b) e (c) ω = 20 rad/s. d

 

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