Energia e Potência de uma Onda Progressiva em uma Corda

Objetivo do Aprendizado

Depois de ler este módulo, você será capaz de ...

16.16 Calcular a taxa média com a qual a energia é transportada por uma onda transversal.

Ideia-Chave

• A potência média de uma onda senoidal em uma corda esticada (taxa com a qual a energia é transportada pela onda) é dada por

Energia e Potência de uma Onda Progressiva em uma

Corda

Quando produzimos uma onda em uma corda esticada, fornecemos energia para que a corda se mova. Quando a onda se afasta de nós, ela transporta essa energia como energia cinética e como energia potencial elástica. Vamos examinar as duas formas, uma de cada vez.

Energia Cinética

Um elemento da corda, de massa dm, que oscila transversalmente em um movimento harmônico simples produzido por uma onda, possui energia cinética associada à velocidade transversal do elemento. Quando o elemento está

passando pela posição y = 0 (como o elemento b da Fig. 16-10), a velocidade transversal (e, portanto, a energia cinética) é máxima. Quando o elemento está na posição extrema y = y (como o elemento a), a velocidade transversal (e, m

portanto, a energia cinética) é nula.

Energia Potencial Elástica

Quando um trecho inicialmente reto de uma corda é excitado por uma onda senoidal, os elementos da corda sofrem deformações. Ao oscilar transversalmente, um elemento da corda de comprimento dx aumenta e diminui periodicamente de comprimento para assumir a forma da onda senoidal. Como no caso da mola, uma energia potencial elástica está associada a essas variações de comprimento.

Quando o elemento da corda está na posição y = y (como o elemento a da m

Fig. 16-10), o comprimento é o valor de repouso dx e, portanto, a energia potencial elástica é nula. Por outro lado, quando o elemento está passando pela posição y = 0, o alongamento é máximo e, portanto, a energia potencial elástica também é máxima.

Figura 16-10  Instantâneo de uma onda progressiva em uma corda no instante t = 0. O elemento a da corda está sofrendo um deslocamento y = y e o elemento b está sofrendo um deslocamento y = 0. A energia m

cinética depende da velocidade transversal do elemento; a energia potencial, do alongamento.

Transporte de Energia

Os elementos da corda possuem, portanto, energia cinética máxima e energia

potencial máxima em y = 0. No instantâneo da Fig. 16-10, as regiões da corda com deslocamento máximo não possuem energia, e as regiões com deslocamento nulo possuem energia máxima. Quando a onda se propaga ao longo da corda, as forças associadas à tração da corda realizam trabalho continuamente para transferir energia das regiões com energia para as regiões sem energia.

Suponha que produzimos em uma corda esticada ao longo de um eixo x

horizontal uma onda como a da Eq. 16-2. Podemos produzir esse tipo de onda

fazendo uma das extremidades da corda oscilar continuamente, como na Fig. 16-

1b. Ao fazer isso, fornecemos energia para o movimento e alongamento da corda; quando as partes da corda de deslocam perpendicularmente ao eixo x, elas adquirem energia cinética e energia potencial elástica. Quando a onda passa por partes da corda que estavam anteriormente em repouso, a energia é transferida para essas partes. Assim, dizemos que a onda transporta energia ao longo da corda.

A Taxa de Transmissão de Energia

A energia cinética dK associada a um elemento da corda de massa dm é dada por

em que u é a velocidade transversal do elemento da corda. Para determinar u, derivamos a Eq. 16-2 em relação ao tempo, mantendo x constante:

Usando essa relação e fazendo dm = μ dx, a Eq. 16-27 se torna

Dividindo a Eq. 16-29 por dt, obtemos a taxa com a qual a energia cinética

passa por um elemento da corda e, portanto, a taxa com a qual a energia cinética é transportada pela onda. Como a razão dx/dt que aparece do lado direito da Eq. 16-29 é a velocidade v da onda, temos:

A taxa média com a qual a energia cinética é transportada é

Calculamos, aqui, a média para um número inteiro de comprimentos de onda e usamos o fato de que o valor médio do quadrado de uma função cosseno para um número inteiro de períodos é 1/2.

A energia potencial elástica também é transportada pela onda, com a mesma

taxa média dada pela Eq. 16-31. Não vamos apresentar a demonstração, mas apenas lembrar que em um sistema oscilatório, como um pêndulo ou um sistema bloco-mola, a energia cinética média e a energia potencial média são iguais.

A potência média, que é a taxa média com a qual as duas formas de energia

são transmitidas pela onda, é, portanto, ou, de acordo com a Eq. 16-31,

Os fatores μ e v da Eq. 16-33 dependem das características da corda (o material de que é feita e da tração a que foi submetida) e os fatores ω e y dependem do m processo usado para produzir a onda. A proporcionalidade entre a potência média de uma onda e o quadrado da amplitude e o quadrado da frequência angular é um resultado geral, válido para ondas de todos os tipos.

Exemplo 16.03 Potência média de uma onda

transversal

Uma corda tem uma massa específica linear μ = 525 g/m e está submetida a

uma tração τ = 45 N. Uma onda senoidal de frequência f = 120 Hz e

amplitude y = 8,5 mm é produzida na corda. A que taxa média a onda m

transporta energia?

IDEIA-CHAVE

A taxa média de transporte de energia é a potência média P , dada pela méd

Eq. 16-33.

Cálculos: Para usar a Eq. 16-33, precisamos conhecer a frequência

angular ω e a velocidade v da onda. De acordo com a Eq. 16-9,

ω = 2πf = (2π)(120 Hz) = 754 rad/s.

De acordo com a Eq. 16-26, temos

Nesse caso, a Eq. 16-33 nos dá