Satélites: Órbitas e Energias

 

A energia mecânica E = K + U é, portanto,

 

No caso de uma órbita elíptica de semieixo maior a,

 

Satélites: Órbitas e Energias

Quando um satélite gira em torno da Terra em uma órbita elíptica, tanto a velocidade, que determina a energia cinética K, como a distância ao centro da Terra, que determina a energia potencial gravitacional U, variam com o tempo. Entretanto, a energia mecânica E do satélite permanece constante. (Como a massa do satélite é muito menor que a massa da Terra, atribuímos U e E do sistema satélite-Terra apenas ao satélite.)

 

Figura 13-15  Quatro órbitas com diferentes excentricidades e em torno de um corpo de massa M. As quatro órbitas têm o mesmo semieixo maior a e, portanto, têm a mesma energia mecânica total E.

 

A energia potencial do sistema é dada pela Eq. 13-21:

(com U = 0 para uma distância infinita). A variável r é o raio da órbita do satélite, que supomos por enquanto que é circular, e M e m são as massas da Terra e do satélite, respectivamente.

Para determinar a energia cinética de um satélite em órbita circular,

usamos a segunda lei de Newton (F = ma) para escrever

 

em que v2/r é a aceleração centrípeta do satélite. De acordo com a Eq. 13-37, a energia cinética é

 

que mostra que, para um satélite em uma órbita circular,

 

A energia mecânica total do satélite é

 

ou

 

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Esse resultado mostra que, para um satélite em uma órbita circular, a energia total E é o negativo da energia cinética K:

 

Para um satélite em uma órbita elíptica com semieixo maior a, podemos substituir r por a na Eq. 13-40 para obter a energia mecânica:

 

De acordo com a Eq. 13-42, a energia total de um satélite em órbita não

depende da excentricidade e. Assim, por exemplo, no caso das quatro

órbitas com o mesmo semieixo maior mostradas na Fig. 13-15, um satélite

teria a mesma energia mecânica total E nas quatro órbitas. A Fig. 13-16 mostra a variação de K, U e E com r para um satélite em órbita circular em torno de um corpo central de grande massa. Note que, quanto maior o valor de r, menor a energia cinética (e, portanto, menor a velocidade tangencial) do satélite.

 

Figura 13-16  Variação da energia cinética K, da energia potencial U e da energia total E com o raio r para um satélite em órbita circular. Para qualquer valor de r, os valores de U e E são negativos, o valor de K é positivo e E = –K. Para r → ∞, as três curvas tendem a zero.

Teste 5

Na figura, um ônibus espacial está inicialmente em uma órbita circular

de raio r em torno da Terra. No ponto P, o piloto aciona por alguns

instantes um retrofoguete para reduzir a energia cinética K e a energia

mecânica E do ônibus espacial. (a) Qual das órbitas elípticas tracejadas

mostradas na figura o ônibus espacial passa a seguir? (b) O novo

período orbital T do ônibus espacial (o tempo para retornar ao ponto P)

é maior, menor ou igual ao da órbita circular?

 

Exemplo 13.05 Energia mecânica de uma

bola de boliche em órbita

Um astronauta brincalhão lança uma bola de boliche, de massa m =

7,20 kg, em uma órbita circular em torno da Terra a uma altitude h de

350 km.

(a) Qual é a energia mecânica E da bola?

 

IDEIA-CHAVE

Podemos calcular E usando a Eq. 13-40 (E = –GMm/2r) se

conhecermos o raio r da órbita. (Note que o raio da órbita não é igual à

altitude h, já que a altitude é medida em relação à superfície da Terra e

o raio da órbita é medido em relação ao centro da Terra.)

 

Cálculos: O raio da órbita é dado por

r = R + h = 6.370 km + 350 km = 6,72 × 106 m.

 

em que R é o raio da Terra. Assim, de acordo com a Eq. 13-40, a

energia mecânica é

 

(b) Qual é a energia mecânica E da bola na plataforma de lançamento 0

de Cabo Canaveral? Qual é a variação ΔE da energia mecânica da bola

quando ela é transportada da plataforma até a órbita?

 

IDEIA-CHAVE

Na plataforma de lançamento, a bola não está em órbita; logo, a Eq.

13-40 não se aplica. Em vez disso, deve-se calcular o valor de E = K 00

+ U , em que K é a energia cinética da bola, e U é a energia potencial 0 0 0

gravitacional do sistema bola-Terra.

 

Cálculos: Para obter U , usamos a Eq. 13-21: 0

 

A energia cinética K da bola se deve ao movimento da bola com a 0

rotação da Terra. É fácil mostrar que K é menor que 1 MJ, um valor 0

desprezível em comparação com U . Assim, a energia mecânica da 0

bola na plataforma de lançamento é

 

O aumento da energia mecânica da bola da plataforma de

lançamento até a órbita é

Isso equivale a alguns reais de eletricidade. Obviamente, o alto custo

para colocar objetos em órbita não se deve à energia mecânica

necessária.

 

Exemplo 13.06 Transformação de uma

órbita circular em uma órbita elíptica

Uma espaçonave de massa m = 4,50 × 103 kg está em uma órbita

circular de período T = 118,6 min = 7,119 × 103 s quando um 0

retrofoguete é disparado e reduz a velocidade tangencial da

espaçonave para 96% do valor original. Qual é o período T da órbita

elíptica resultante? As duas órbitas são mostradas na Fig. 13-17.

 

IDEIAS-CHAVE

(1) O período de uma órbita elíptica está relacionado com o semieixo

maior a pela Eq. 13-34 (T2 = 4π2a3/GM). (2) O semieixo maior a está

relacionado à energia mecânica total E da espaçonave pela Eq. 13-42

(E = –GMm/2a), em que M é a massa da Terra, 5,98 × 1024 kg. (3) A

energia potencial da espaçonave a uma distância do centro da Terra é

dada pela Eq. 13-21 (U = –GMm/r). (4) O raio r de uma órbita circular

está relacionado com o período T da órbita pela Eq. 13-34 com a 0

substituído por r, o que nos dá .

 

Cálculos: De acordo com as ideias-chave, precisamos calcular a

energia total E para obter o semieixo maior a e determinar o período

da órbita elíptica. Vamos começar pela energia cinética logo após o

retrofoguete ser disparado. A velocidade v nesse momento é 96% da

velocidade inicial v , que era igual à razão entre a circunferência e o 0

período da órbita circular inicial. Assim, logo após o disparo do

retrofoguete,

Figura 13-17  Um retrofoguete é disparado quando a espaçonave está passando pelo ponto P,

o que muda a órbita de circular para elíptica.

 

Logo após o disparo do retrofoguete, a espaçonave ainda está a uma

distância do centro da Terra igual ao raio da órbita circular, que é dado

por r = (GMT2 /4π2)1/3 = [(6,67 × 10–11 N · m2/kg2)(5,98 × 1024 kg) 0

(7,119 × 103 s)2/4π2]1/3 = 8,00 × 106 m. Assim, a energia potencial

gravitacional da espaçonave é

 

Agora podemos obter o valor do semieixo maior usando a Eq. 13-42: