Pêndulos

Voltamos agora nossa atenção para uma classe de osciladores harmônicos simples nos quais a força de retorno está associada à gravitação e não às propriedades elásticas de um fio torcido ou de uma mola alongada ou comprimida.

 

O Pêndulo Simples

Se uma maçã é posta para balançar na extremidade de um fio longo, ela descreve um movimento harmônico simples? Caso a resposta seja afirmativa, qual é o período T do movimento? Para responder a essas perguntas, considere um pêndulo simples, composto por uma partícula de massa m (chamada de peso do pêndulo) suspensa por um fio inextensível,

de massa desprezível e comprimento L, como na Fig. 15-11a. O peso está livre para oscilar no plano do papel, para a esquerda e para a direita de uma reta vertical que passa pelo ponto de suspensão do fio.

O Torque Restaurador. As forças que agem sobre o peso são a tração

exercida pelo fio e a força gravitacional , como mostra a Fig. 15-11b, na g qual o fio faz um ângulo θ com a vertical. Decompomos em uma g

componente radial F cos θ e uma componente F sen θ que é tangente à g g trajetória do peso. A componente tangencial produz um torque restaurador em relação ao ponto de suspensão do pêndulo porque sempre age no sentido oposto ao do deslocamento do peso, tendendo a levá-lo de volta ao ponto central. O ponto central (θ = 0) é chamado de posição de equilíbrio porque o pêndulo ficaria parado nesse ponto se não estivesse oscilando.

De acordo com a Eq. 10-41 (τ = r F), o torque restaurador pode ser ⊥

escrito na forma

 

em que o sinal negativo indica que o torque age no sentido de reduzir o valor de θ, e L é o braço de alavanca da componente F sen θ da força g gravitacional em relação ao ponto de suspensão do pêndulo. Substituindo a Eq. 15-24 na Eq. 10-44 (τ = Iα) e substituindo o módulo de por mg, g

obtemos

em que I é o momento de inércia do pêndulo em relação ao ponto de suspensão e α é a aceleração angular do pêndulo em relação a esse ponto.

 

Podemos simplificar a Eq. 15-25 supondo que o ângulo θ é pequeno,

pois, nesse caso, podemos substituir sen θ por θ (expresso em radianos). (Por exemplo, se θ = 5,00° = 0,0873 rad, sen θ = 0,0872, uma diferença de apenas 0,1%.) Usando essa aproximação e explicitando α, obtemos

 

A Eq. (15-26) é o equivalente angular da Eq. 15-8, a relação característica do MHS. Ela mostra que a aceleração angular α do pêndulo é proporcional ao deslocamento angular θ com o sinal oposto. Assim, quando o peso do

pêndulo se move para a direita, como na Fig. 15-11a, a aceleração para a esquerda aumenta até o peso parar e começar a se mover para a esquerda. Quando o peso está à esquerda da posição de equilíbrio, a aceleração para a direita tende a fazê-lo voltar para a direita, e assim por diante, o que produz um MHS. Mais precisamente, o movimento de um pêndulo simples no qual o ângulo máximo de deslocamento é pequeno pode ser aproximado por um MHS. Podemos expressar essa restrição de outra forma: A amplitude angular u do movimento deve ser pequena. m

Figura 15-11  (a) Um pêndulo simples. (b) As forças que agem sobre o peso são a força

gravitacional e a tração do fio. A componente tangencial F sen θ da força gravitacional é a g g força restauradora que tende a levar o pêndulo de volta à posição central.

 

Frequência Angular. Podemos usar um artifício engenhoso para obter a

frequência angular de um pêndulo simples. Como a Eq. 15-26 tem a mesma forma que a 15-8 do MHS, concluímos que a frequência angular é a raiz quadrada das constantes que multiplicam o deslocamento angular:

 

Pode ser que você se depare, nos deveres de casa, com sistemas oscilatórios que não se parecem com pêndulos. Mesmo assim, se você puder obter uma equação que relacione a aceleração (linear ou angular) ao deslocamento (linear ou angular), poderá obter imediatamente uma expressão para a frequência angular, como acabamos de fazer.

Período. Substituindo a expressão de ω na Eq. 15-5 (ω = 2π/T), obtemos

uma expressão para o período:

 

Toda a massa de um pêndulo simples está concentrada na massa m do peso do pêndulo, que está a uma distância L do ponto de suspensão. Assim, podemos usar a Eq. 10-33 (I = mr2) para escrever I = mL2 como o momento de inércia do pêndulo. Substituindo esse valor na Eq. 15-27 e simplificando, obtemos

 

Neste capítulo, vamos supor que os ângulos de oscilação do pêndulo são sempre pequenos.

 

Figura 15-12  Um pêndulo físico. O torque restaurador é hF sen θ. Quando θ = 0, o centro de massa g C está situado diretamente abaixo do ponto de suspensão O.

O Pêndulo Físico

Ao contrário do pêndulo simples, um pêndulo real, frequentemente chamado de pêndulo físico, pode ter uma distribuição complicada de massa. Um pêndulo físico também executa um MHS? Caso a resposta seja afirmativa, qual é o período?

A Fig. 15-12 mostra um pêndulo físico arbitrário deslocado de um ângulo

θ em relação à posição de equilíbrio. Podemos supor que a força gravitacional age sobre o centro de massa C, situado a uma distância h do g

ponto de suspensão O. Comparando as Figs. 15-12 e 15-11b, vemos que existe apenas uma diferença importante entre um pêndulo físico arbitrário e um pêndulo simples. No caso do pêndulo físico, o braço de alavanca da componente restauradora F sen θ da força gravitacional é h e não o g

comprimento L do fio. Sob todos os outros aspectos, a análise do pêndulo físico é idêntica à análise do pêndulo simples até a Eq. 15-27. Assim, para pequenos valores de u , o movimento é, aproximadamente, um MHS. m

Substituindo L por h na Eq. 15-27, obtemos uma equação para o período

do pêndulo físico:

 

Como no pêndulo simples, I é o momento de inércia do pêndulo em relação ao ponto O. Embora I não seja mais igual a mL2 (pois depende da forma do pêndulo físico), ainda é proporcional a m.

Um pêndulo físico não oscila se o ponto de suspensão for o centro de

massa. Formalmente, isso corresponde a fazer h = 0 na Eq. 15-29. Nesse caso, a equação nos dá T = ∞, o que significa que o pêndulo jamais chega a completar uma oscilação.

A todo pêndulo físico que oscila com um período T em torno de um

ponto de suspensão O corresponde um pêndulo simples de comprimento L 0 com o mesmo período T. Podemos usar a Eq. 15-28 para calcular o valor de L . O ponto do pêndulo físico situado a uma distância L do ponto O é 0 0 chamado de centro de oscilação do pêndulo físico para o ponto de suspensão dado.

Medida de g

Um pêndulo físico pode ser usado para verificar qual é a aceleração de queda livre g em um ponto específico da superfície da Terra. (Milhares de medidas desse tipo foram feitas como parte de estudos geofísicos.)

Para analisar um caso simples, tome o pêndulo como uma barra

homogênea de comprimento L suspensa por uma das extremidades. Nessa configuração, o valor de h da Eq. 15-29, a distância entre o ponto de suspensão e o centro de massa, é L/2. De acordo com a Tabela 10-2e, o momento de inércia em relação a um eixo perpendicular à barra passando

pelo centro de massa é . Aplicando o teorema dos eixos paralelos da

Eq. 10-36 (I = I + Mh2), descobrimos que o momento de inércia em CM

relação a um eixo perpendicular passando por uma das extremidades da barra é

 

Fazendo h = L/2 e I = mL2/3 na Eq. 15-29 e explicitando g, obtemos

 

Assim, medindo L e o período T, podemos determinar o valor de g no local onde se encontra o pêndulo. (Para medidas de precisão, são necessários alguns refinamentos, como colocar o pêndulo em uma câmara evacuada.)

 

Teste 5

 

Três pêndulos físicos, de massas m , 2m e 3m , têm a mesma forma e 0 0 0

o mesmo tamanho e estão suspensos pelo mesmo ponto. Ordene as

massas de acordo com o período de oscilação do pêndulo, começando

pelo maior.

Exemplo 15.05 Período e comprimento de

um pêndulo físico

Na Fig. 15-13a, uma régua de um metro oscila, suspensa por uma das

extremidades, que fica a uma distância h do centro de massa da régua.

(a) Qual é o período T das oscilações?

 

Figura 15-13  (a) Uma régua de um metro, suspensa por uma das

extremidades para formar um pêndulo físico. (b) Um pêndulo simples

cujo comprimento L é escolhido para que os períodos dos dois 0

pêndulos sejam iguais. O ponto P do pêndulo (a) é o centro de

oscilação.

 

IDEIA-CHAVE

Como a massa da régua não está concentrada na extremidade oposta à

do ponto de suspensão, ela não se comporta como um pêndulo simples,

e sim como um pêndulo físico.

 

Cálculos: O período de um pêndulo físico é dado pela Eq. 15-29,

que exige o conhecimento do momento de inércia da régua em relação

ao ponto fixo. Vamos tratar a régua como uma barra homogênea de

comprimento L e massa m. Nesse caso, de acordo com a Eq. 15-30,

e a distância h da Eq. 15-29 é L/2. Substituindo esses valores

na Eq. 15-29, obtemos