A Equação de Continuidade

Figura 14-14  Ao se mover, um elemento do fluido traça uma linha de fluxo. O vetor velocidade do elemento é tangente à linha de fluxo em todos os pontos.

A Equação de Continuidade

O leitor provavelmente já observou que é possível aumentar a velocidade da água que sai de uma mangueira de jardim fechando parcialmente o bico da mangueira com o polegar. Essa é uma demonstração prática do fato de que a velocidade v da água depende da área de seção reta A através da qual a água escoa.

Vamos agora deduzir uma expressão que relaciona v e A no caso do

escoamento laminar de um fluido ideal em um tubo de seção reta variável,

como o da Fig. 14-15. O escoamento é para a direita, e o segmento de tubo mostrado (que faz parte de um tubo mais longo) tem comprimento L. A velocidade do fluido é v na extremidade esquerda e v na extremidade 1 2 direita. A área da seção reta do tubo é A na extremidade esquerda e A na 1 2 extremidade direita. Suponha que, em um intervalo de tempo Δt, um

volume ΔV do fluido (o volume violeta na Fig. 14-15) entra no segmento de tubo pela extremidade esquerda. Como o fluido é incompressível, um

volume igual ΔV do fluido (o volume verde na Fig. 14-15) deve sair pela extremidade direita.

Figura 14-15  Um fluido escoa da esquerda para a direita com vazão constante por um segmento de tubo de comprimento L. A velocidade do fluido é v no lado esquerdo e v no lado direito. A área de 1 2 seção reta é A no lado esquerdo e A no lado direito. Do instante t em (a) até o instante t + Δt em (b), 1 2

a quantidade de fluido mostrada em cor violeta entra do lado esquerdo e uma quantidade igual, mostrada em cor verde, sai do lado direito.

Figura 14-16  Um fluido escoa com velocidade v constante em um tubo cilíndrico. (a) No instante t, o elemento do fluido e está prestes a passar pela reta tracejada. (b) No instante t + Δt, o elemento e está a uma distância Δx = vΔt da reta tracejada.

Podemos usar esse volume ΔV comum às duas extremidades para

relacionar as velocidades e áreas. Para isso, consideramos primeiramente a

Fig. 14-16, que mostra uma vista lateral de um tubo de seção reta uniforme

de área A. Na Fig. 14-16a, um elemento e do fluido está prestes a passar pela reta tracejada perpendicular ao eixo do tubo. Se a velocidade do elemento é v, durante um intervalo de tempo Δt o elemento percorre uma distância Δx = vDt ao longo do tubo. O volume ΔV do fluido que passa pela reta tracejada durante o intervalo de tempo Δt é

Quando aplicamos a Eq. 14-22 às duas extremidades do segmento de

tubo da Fig. 14-15, temos:

ΔV = A v Δt = A v Δt 1 1 2 2

ou Essa relação entre velocidade e área da seção reta é chamada de equação de continuidade para o escoamento de um fluido ideal. De acordo com a Eq. (14-23), a velocidade do escoamento aumenta quando a área da seção reta pela qual o fluido escoa é reduzida, como acontece quando fechamos parcialmente o bico de uma mangueira de jardim com o polegar.

A Eq. 14-23 se aplica não só a um tubo real, mas também a qualquer tubo

de fluxo, um tubo imaginário formado por um feixe de linhas de fluxo. Um tubo de fluxo se comporta como um tubo real porque nenhum elemento do fluido pode cruzar uma linha de fluxo; assim, todo o fluido contido em um

tubo de fluxo permanece indefinidamente no interior do tubo. A Fig. 14-17 mostra um tubo de fluxo no qual a área de seção reta aumenta de A para A 12 no sentido do escoamento. Com base na Eq. 14-23, com o aumento da área, a velocidade diminui, como mostra o espaçamento maior das linhas de

fluxo no lado direito da Fig. 14-17. De modo semelhante, o menor

espaçamento das linhas de fluxo na Fig. 14-13 revela que a velocidade de escoamento é maior logo acima e logo abaixo do cilindro.

A Eq. 14-23 pode ser escrita na forma

em que R é a vazão do fluido (volume que passa por uma seção reta por V

unidade de tempo). A unidade de vazão do SI é o metro cúbico por segundo (m3/s). Se a massa específica ρ do fluido é a mesma em todos os pontos do tubo, podemos multiplicar a Eq. 14-24 pela massa específica para obter a vazão mássica R (massa por unidade de tempo): m

A unidade de vazão mássica no SI é o quilograma por segundo (kg/s). De

acordo com a Eq. 14-25, a massa que entra no segmento de tubo da Fig. 14-

15 por segundo é igual à massa que sai do segmento por segundo.

Figura 14-17  Um tubo de fluxo é definido pelas linhas de fluxo mais afastadas do eixo do tubo. A vazão é a mesma em todas as seções retas de um tubo de fluxo.

Teste 3

A figura mostra um encanamento e indica a vazão (em cm3/s) e o

sentido do escoamento em todos os canos, exceto um. Quais são a

vazão e o sentido do escoamento nesse cano?

Exemplo 14.05 Largura do jato de água de

uma torneira

A Fig. 14-18 mostra que o jato de água que sai de uma torneira fica

progressivamente mais fino durante a queda. Essa variação da seção

reta horizontal é característica de todos os jatos de água laminares (não

turbulentos) descendentes porque a força gravitacional aumenta a

velocidade da água. As áreas das seções retas indicadas são A = 1,2 0

cm2 e A = 0,35 cm2. Os dois níveis estão separados por uma distância

vertical h = 45 mm. Qual é a vazão da torneira?

Figura 14-18  Quando a água cai de uma torneira, a velocidade da água

aumenta. Como a vazão é a mesma em todas as seções retas

horizontais, o jorro fica progressivamente mais estreito.

IDEIA-CHAVE

A vazão na seção reta maior é igual à vazão na seção reta menor.

Cálculos: De acordo com a Eq. 14-24, temos

em que v e v são as velocidades da água nos níveis correspondentes a 0

A e A. De acordo com a Eq. 2-16, também podemos escrever, já que a 0

água cai livremente com aceleração g,

Combinando as Eqs. 14-26 e 14-27 para eliminar v e explicitando v , 0

obtemos

De acordo com a Eq. 14-24, a vazão R é, portanto, V