Energia Potencial Gravitacional

13.14 Aplicar a lei de conservação da energia mecânica (que inclui a energia potencial gravitacional)

ao movimento de uma partícula em relação a um corpo celeste.

13-15 Calcular a energia necessária para que uma partícula escape da atração gravitacional de um

corpo celeste.

13-16 Calcular a velocidade de escape de uma partícula situada nas proximidades de um corpo

celeste.

 

Ideias-Chave

• A energia potencial gravitacional U(r) de um sistema de duas partículas, de massas M e m, separadas por uma distância r, é o negativo do trabalho que seria realizado pela força gravitacional de uma das partículas para reduzir a distância entre as partículas de uma distância infinita (um valor muito grande) para uma distância r. Essa energia é dada por

 

• Se um sistema contém mais de duas partículas, a energia potencial gravitacional total é a soma das energias potenciais de todos os pares de partículas. No caso de três partículas de massas m , m e m , 1 2 3 por exemplo,

 

• Um objeto escapará da atração gravitacional de um corpo celeste, de massa M e raio R (ou seja, atingirá uma distância infinita), se a velocidade do objeto nas vizinhanças da superfície do corpo celeste for igual ou maior que a velocidade de escape, fornecida por

 

Energia Potencial Gravitacional No Módulo 8-1, analisamos a energia potencial gravitacional de um sistema partícula-Terra. Supusemos que a partícula estava nas proximidades da superfície da Terra para que a força gravitacional fosse aproximadamente constante, e escolhemos uma configuração de referência do sistema para a qual a energia potencial gravitacional fosse nula. Essa configuração de referência foi tomada como aquela na qual a partícula estava na superfície da Terra. Para partículas fora da superfície da Terra, a energia potencial gravitacional diminuía quando a distância entre a partícula e a Terra diminuía.

Vamos agora alargar nossa visão e considerar a energia potencial

gravitacional U de duas partículas, de massas m e M, separadas por uma distância r. Mais uma vez, vamos escolher uma configuração de referência com U igual a zero. Entretanto, para simplificar as equações, a distância r na configuração de referência agora será tão grande que podemos considerá-la infinita. Como antes, a energia potencial gravitacional diminui quando a distância diminui. Como U = 0 para r = ∞, a energia potencial é negativa para qualquer distância finita e se torna progressivamente mais negativa à medida que as partículas se aproximam.

 

Figura 13-8  Um sistema formado por três partículas. A energia potencial gravitacional do sistema é a soma das energias potenciais gravitacionais dos três pares de partículas.

 

Com esses fatos em mente, tomamos, como justificaremos a seguir, a

energia potencial gravitacional do sistema de duas partículas como

 

Note que U(r) tende a zero quando r tende a infinito e que, para qualquer valor finito de r, o valor de U(r) é negativo.

Modos de Falar. A energia potencial dada pela Eq. 13-21 é uma

propriedade do sistema de duas partículas, e não de cada partícula isoladamente. Não é possível dividir essa energia e afirmar que uma parte pertence a uma das partículas e o restante pertence à outra. Entretanto, se M ≫ m, como acontece no caso do sistema formado pela Terra (de massa M) e uma bola de tênis (de massa m), frequentemente falamos da “energia potencial da bola de tênis”. Podemos falar assim porque, quando uma bola de tênis se move nas proximidades da superfície da Terra, as variações de energia potencial do sistema bola-Terra aparecem quase inteiramente como variações da energia cinética da bola de tênis, já que as variações da energia cinética da Terra são pequenas demais para serem medidas. Analogamente, no Módulo 13-7, vamos falar da “energia potencial de um satélite artificial” em órbita da Terra porque a massa do satélite é muito menor que a massa da Terra. Por outro lado, quando falamos da energia potencial de corpos de massas comparáveis, devemos ter o cuidado de tratá-los como um sistema.

Várias Partículas. Se nosso sistema contém mais de duas partículas,

consideramos cada par de partículas separadamente, calculamos a energia potencial gravitacional desse par usando a Eq. 13-21 como se as outras partículas não estivessem presentes, e somamos algebricamente os resultados. Aplicando a Eq. 13-21 a cada um dos três pares de partículas da

Fig. 13-8, por exemplo, obtemos a seguinte equação para a energia potencial do sistema:

Figura 13-9  Uma bola de tênis é lançada verticalmente para cima a partir da superfície da Terra, passando pelo ponto P a uma distância R do centro da Terra. A força gravitacional que age sobre a bola e o vetor deslocamento diferencial d estão representados ao longo de um eixo radial r.

 

Demonstração da Equação 13-21

Suponha que uma bola de tênis seja lançada verticalmente para cima a

partir da superfície da Terra, como na Fig. 13-9. Estamos interessados em obter uma expressão para a energia potencial gravitacional U da bola no ponto P da trajetória, a uma distância radial R do centro da Terra. Para isso, calculamos o trabalho W realizado sobre a bola pela força gravitacional enquanto a bola se move do ponto P até uma distância muito grande (infinita) da Terra. Como a força gravitacional (r) é uma força variável (o módulo depende de r), devemos usar as técnicas do Módulo 7-5 para calcular o trabalho. Em notação vetorial, podemos escrever

 

A integral contém o produto escalar da força (r) pelo vetor deslocamento diferencial d ao longo da trajetória da bola. Expandindo o produto, obtemos a equação

 

em que ϕ é o ângulo entre (r) e d . Quando substituímos ϕ por 180° e F(r) pelo seu valor, dado pela Eq. 13-1, a Eq. 13-24 se torna

 

em que M é a massa da Terra e m é a massa da bola.

Substituindo na Eq. 13-23 e integrando, obtemos

em que W é o trabalho necessário para deslocar a bola do ponto P (a uma distância R) até o infinito. A Eq. 8-1 (ΔU = –W) nos diz que também podemos escrever esse trabalho em termos de energias potenciais como

 

U – U = –W. ∞

 

Como a energia potencial no infinito U é nula, U é a energia potencial em ∞ P, e W é dado pela Eq. 13-25, essa equação se torna

 

Substituindo R por r, obtemos a Eq. 13-21, que queríamos demonstrar.

 

Figura 13-10  Perto da superfície da Terra, uma bola de tênis é deslocada do ponto A para o ponto G ao longo de uma trajetória formada por segmentos radiais e arcos de circunferência.

 

Independência da Trajetória

Na Fig. 13-10, deslocamos uma bola de tênis do ponto A para o ponto G ao longo de uma trajetória composta por três segmentos radiais e três arcos de circunferência (com o centro no centro da Terra). Estamos interessados no trabalho total W realizado pela força gravitacional que a Terra exerce sobre a bola quando esta se desloca do ponto A até o ponto G. O trabalho realizado ao longo dos arcos de circunferência é nulo, já que é perpendicular aos arcos em todos os pontos. Assim, W é a soma apenas dos trabalhos realizados pela força ao longo dos três segmentos radiais.

Suponha agora que reduzimos mentalmente o comprimento dos arcos

para zero. Nesse caso, estamos deslocando a bola de A para G ao longo de um único segmento radial. O valor de W é diferente? Não. Como nenhum trabalho é realizado ao longo dos arcos, sua eliminação não muda o valor do trabalho. A trajetória seguida de A a G é diferente, mas o trabalho realizado por é o mesmo.

Esse tipo de resultado foi discutido, de forma geral, no Módulo 8-1. O

fato é que a força gravitacional é uma força conservativa. Assim, o trabalho realizado pela força gravitacional sobre uma partícula que se move de um ponto inicial i para um ponto final f não depende da trajetória seguida entre os pontos. De acordo com a Eq. 8-1, a variação ΔU da energia potencial gravitacional do ponto i para o ponto f é dada por

 

Como o trabalho W realizado por uma força conservativa é independente da trajetória seguida pela partícula, a variação ΔU da energia potencial gravitacional também é independente da trajetória.

 

Energia Potencial e Força

Na demonstração da Eq. 13-21, deduzimos a função energia potencial U(r) a partir da função força (r). Poderíamos ter seguido o caminho inverso, ou seja, deduzido a função força a partir da função energia potencial. Guiados pela Eq. 8-22 [F(x) = –dU(x)/dx], podemos escrever

 

Essa é a lei da gravitação de Newton (Eq. 13-1). O sinal negativo significa que a força exercida sobre a massa m aponta no sentido de valores menores de r, em direção à massa M.

Velocidade de Escape

Quando lançamos um projétil para cima, normalmente ele diminui de velocidade, para momentaneamente e cai de volta na Terra. Para velocidades maiores que certo valor, porém, o projétil continua a subir indefinidamente e sua velocidade somente se anula (pelo menos na teoria) a uma distância infinita da Terra. O menor valor da velocidade para que isso ocorra é chamado de velocidade de escape (da Terra).

Considere um projétil de massa m deixando a superfície de um planeta

(ou outro astro qualquer) com a velocidade de escape v. O projétil possui uma energia cinética K dada por e uma energia potencial U dada pela Eq. 13-21:

 

em que M e R são, respectivamente, a massa e o raio do planeta.

Quando o projétil atinge o infinito, ele para e, portanto, não possui mais

energia cinética. Também não possui energia potencial gravitacional, pois uma distância infinita entre dois corpos corresponde à configuração que escolhemos como referência de energia potencial nula. A energia total do projétil no infinito é, portanto, zero. De acordo com a lei de conservação da energia, a energia total do projétil na superfície do planeta também deve ter sido nula, de modo que

 

Isso nos dá

 

Note que v não depende da direção em que o projétil é lançado.

Entretanto, é mais fácil atingir essa velocidade se o projétil for lançado na direção para a qual o local de lançamento está se movendo por causa da rotação do planeta. Assim, por exemplo, os foguetes americanos são lançados na direção leste em Cabo Canaveral para aproveitar a velocidade local para o leste, de cerca de 1500 km/h, em consequência da rotação da Terra.

A Eq. 13-28 pode ser usada para calcular a velocidade de escape de um

projétil a partir da superfície de qualquer corpo celeste, tomando M como a

massa do corpo e R como o raio. A Tabela 13-2 mostra algumas velocidades de escape.

 

Tabela 13-2  Algumas Velocidades de Escape

 

Astro Massa Raio Velocidade de Escape

(kg) (m) (km/s)

 

Ceresa 1,17 × 3,8 × 0,64

1021 105

 

Lua 7,36 × 1,74 × 2,38 a

1022 106

 

Terra 5,98 × 6,37 × 11,2

1024 106

 

Júpiter 1,90 × 7,15 × 59,5

1027 107

 

Sol 1,99 × 6,96 × 618

1030 108

 

Sirius B 2 × 10 b 1 × 10 5200 30 7

 

Estrela de 2 × 10 1 × 10 2 × 10 30 45 nêutronsc

 

aO maior asteroide.

bUma anã branca (estrela em um estágio final de evolução) que é companheira da estrela Sirius. cO núcleo denso de uma estrela que se transformou em supernova.

Teste 3

Você afasta uma bola, de massa m, de uma esfera de massa M. (a) A

energia potencial gravitacional do sistema bola-esfera aumenta ou

diminui? (b) O trabalho realizado pela força gravitacional com a qual a

bola e a esfera se atraem é positivo ou negativo?

 

Exemplo 13.03 Energia mecânica de um

asteroide

Um asteroide, em rota de colisão com a Terra, tem uma velocidade de

12 km/s em relação ao planeta quando está a uma distância de 10 raios

terrestres do centro da Terra. Desprezando os efeitos da atmosfera

sobre o asteroide, determine a velocidade do asteroide, v , ao atingir a f

superfície da Terra.

 

IDEIAS-CHAVE

Como estamos desprezando os efeitos da atmosfera sobre o asteroide,

a energia mecânica do sistema asteroide-Terra é conservada durante a

queda. Assim, a energia mecânica final (no instante em que o asteroide

atinge a superfície da Terra) é igual à energia mecânica inicial.

Chamando a energia cinética de K e a energia potencial gravitacional

de U, essa relação pode ser escrita na forma

 

Supondo que o sistema é isolado, o momento linear do sistema

também é conservado durante a queda. Assim, as variações do

momento linear do asteroide e da Terra devem ter o mesmo módulo e

sinais opostos. Entretanto, como a massa da Terra é muito maior que a

massa do asteroide, a variação da velocidade da Terra é desprezível em

relação à variação da velocidade do asteroide, ou seja, a variação da

energia cinética da Terra pode ser desprezada. Assim, podemos supor

que as energias cinéticas na Eq. 13-29 são apenas as do asteroide.