13-4 A Gravitação no Interior da Terra

TERRA

Objetivos do Aprendizado

Depois de ler este módulo, você será capaz de ...

13.09 Saber que é sempre nula a força gravitacional exercida por uma casca homogênea de matéria

sobre partículas situadas no interior da casca.

13.10 Calcular a força gravitacional exercida por uma esfera homogênea de matéria sobre partículas

situadas no interior da esfera.

Ideias-Chave

• A força gravitacional exercida por uma casca homogênea de matéria sobre partículas situadas no interior da casca é sempre nula.

• A força gravitacional exercida por uma esfera homogênea de matéria sobre uma partícula de massa m situada a uma distância r do centro da esfera se deve apenas à massa M de uma “esfera int interna” de raio r:

em que ρ é a massa específica da esfera, R é o raio da esfera e M é a massa da esfera. Podemos substituir a esfera interna por uma partícula de mesma massa situada no centro da esfera e usar a lei da gravitação de Newton para partículas. O resultado é

A Gravitação no Interior da Terra O teorema das cascas de Newton também pode ser aplicado a uma situação na qual a partícula se encontra no interior de uma casca homogênea, para demonstrar o seguinte:

Uma casca homogênea de matéria não exerce força gravitacional sobre

uma partícula localizada no interior da casca.

Figura 13-7  Uma cápsula, de massa m, cai a partir do repouso através de um túnel que liga os polos norte e sul da Terra. Quando a cápsula está a uma distância r do centro da Terra, a parte da massa da Terra que está contida numa esfera com esse raio é M . int

Atenção: Essa afirmação não significa que as forças gravitacionais exercidas pelas partículas da casca sobre a partícula considerada desaparecem magicamente, e sim que a resultante das forças gravitacionais que agem sobre a partícula é nula.

Se a massa da Terra fosse uniformemente distribuída, a força

gravitacional que age sobre uma partícula seria máxima na superfície da Terra e decresceria à medida que a partícula se movesse para fora, afastando-se do planeta. Se a partícula se movesse para o interior da Terra, penetrando no poço de uma mina, por exemplo, a força gravitacional mudaria por duas razões: (1) tenderia a aumentar porque a partícula estaria se aproximando do centro da Terra; (2) tenderia a diminuir porque uma casca de material de espessura cada vez maior, localizada do lado de fora da partícula em relação ao centro da Terra, deixaria de contribuir para a força gravitacional.

Para obter uma expressão para a força gravitacional no interior de uma

Terra homogênea, vamos usar o enredo de De Polo a Polo, um conto de ficção científica escrito por George Griffith em 1904. Na história, três exploradores usam uma cápsula para viajar em um túnel natural (fictício, é

claro) que vai do polo sul ao polo norte. A Fig. 13-7 mostra a cápsula (de massa m) quando está a uma distância r do centro da Terra. Nesse instante, a força gravitacional resultante que age sobre a cápsula se deve à massa Mint de uma esfera de raio r (a massa no interior da linha tracejada), e não à massa total da Terra. Além disso, podemos supor que essa massa está concentrada em uma partícula situada no centro da Terra. Assim, de acordo com a Eq. 13-1, a força gravitacional que age sobre a cápsula é dada por

Supondo que a massa da Terra está uniformemente distribuída, podemos

igualar a massa específica ρ da esfera de raio r (em termos da massa M e int do raio r) à massa específica da Terra inteira (em termos da massa total M e do raio R da Terra):

Explicitando M , obtemos int

Substituindo a segunda expressão de M na Eq. 13-17, obtemos o módulo int da força gravitacional que age sobre a cápsula em função da distância r entre a cápsula e o centro da Terra:

De acordo com a história de Griffith, à medida que a cápsula se aproxima do centro da Terra, a força gravitacional experimentada pelos exploradores aumenta assustadoramente, mas desaparece por um momento, quando a cápsula atinge o centro da Terra. Em seguida, a gravidade volta a assumir um valor elevado e começa a diminuir enquanto a cápsula atravessa a outra metade do túnel e chega ao polo norte. Com base na Eq. 13-19, vemos que, na realidade, a força diminui linearmente com a distância até que, exatamente no centro, a força se anula, voltando a aumentar gradualmente quando a cápsula se afasta do centro. Assim, Griffith acertou apenas quanto ao fato de a força gravitacional se anular no centro da Terra.