16-2 Velocidade da Onda em uma Corda Esticada

De acordo com o resultado do item (a), o elemento da corda está se

movendo no sentido positivo do eixo y no instante t = 18,9 s (a velocidade é

positiva). O resultado do item (b) mostra que, nesse instante, a velocidade

está diminuindo, já que a aceleração é negativa.

16-2 VELOCIDADE DA ONDA EM UMA CORDA

ESTICADA

Objetivos do Aprendizado

Depois de ler este módulo, você será capaz de ...

16.14 Calcular a massa específica linear μ de uma corda homogênea a partir da massa e do comprimento da

corda.

16.15 No caso de uma onda em uma corda, conhecer a relação entre a velocidade da onda v, a tração τ da

corda e a massa específica linear μ da corda.

Ideias-Chave

• A velocidade de uma onda em uma corda esticada depende das propriedades da corda, e não de propriedades da onda como frequência e amplitude.

• A velocidade de uma onda em uma corda é dada pela equação

em que τ é a tração da corda e μ é a massa específica linear da corda.

Velocidade da Onda em uma Corda Esticada A velocidade de uma onda está relacionada com o comprimento de onda e à frequência pela Eq. 16-13, mas é determinada pelas propriedades do meio. Se uma onda se propaga em um meio como a água, o ar, o aço, ou uma corda esticada, a passagem da onda faz com que as partículas do meio oscilem. Para que isso aconteça, o meio deve possuir massa (para que possa haver energia cinética) e elasticidade (para que possa haver energia potencial). São as propriedades de massa e de elasticidade que determinam a velocidade com a qual a onda pode se propagar no meio. Assim, é possível expressar a velocidade da onda em um meio a partir dessas propriedades. Vamos fazer isso agora, de duas formas, para uma corda esticada.

Análise Dimensional

Na análise dimensional, examinamos as dimensões de todas as grandezas físicas que influenciam uma dada situação para determinar as grandezas resultantes. Neste caso, examinamos a massa e a elasticidade para determinar a velocidade v, que tem a dimensão de comprimento dividido por tempo, ou LT–1.

No caso da massa, usamos a massa de um elemento da corda, que é a massa

total m da corda dividida pelo comprimento l. Chamamos essa razão de massa específica linear μ da corda. Assim, μ = m/l e a dimensão dessa grandeza é massa dividida por comprimento, ML–1.

Não podemos fazer uma onda se propagar em uma corda, a menos que a corda

esteja sob tração, o que significa que foi alongada e mantida alongada por forças aplicadas às extremidades. A tração τ da corda é igual ao módulo comum dessas duas forças. Uma onda que se propaga ao longo da corda desloca elementos da corda e provoca um alongamento adicional, com seções vizinhas da corda exercendo forças umas sobre as outras por causa da tração. Assim, podemos associar a tração da corda ao alongamento (elasticidade) da corda. A tração e as forças de alongamento que a tração produz possuem a dimensão de força, ou seja, MLT–2 (já que F = ma).

Precisamos combinar μ (dimensão ML–1) e τ (dimensão MLT–2) para obter v

(dimensão LT–1). O exame de várias combinações possíveis mostra que

em que C é uma constante adimensional que não pode ser determinada por análise dimensional. Em nosso segundo método para determinar a velocidade da onda, vamos ver que a Eq. 16-22 está correta e que C = 1.

Figura 16-9  Um pulso simétrico, visto em um referencial no qual o pulso está estacionário e a corda parece se mover da direita para a esquerda com velocidade v. Podemos determinar a velocidade v aplicando a segunda lei de Newton a um elemento da corda de comprimento Δl, situado no alto do pulso.

Demonstração Usando a Segunda Lei de Newton

Em vez da onda senoidal da Fig. 16-1b, vamos considerar um único pulso

simétrico como o da Fig. 16-9, propagando-se em uma corda da esquerda para a direita com velocidade v. Por conveniência, escolhemos um referencial no qual o pulso permanece estacionário, ou seja, nos movemos juntamente com o pulso, mantendo-o sob observação. Nesse referencial, a corda parece passar por nós, movendo-se da direita para a esquerda com velocidade v.

Considere um pequeno elemento da corda de comprimento Δl no centro do

pulso, que forma um arco de circunferência de raio R e subtende um ângulo 2θ. Duas forças cujo módulo é igual à tração da corda puxam tangencialmente esse elemento pelas duas extremidades. As componentes horizontais das forças se cancelam, mas as componentes verticais se somam para produzir uma força restauradora radial cujo módulo é dado por

em que usamos a aproximação sen θ ≈ θ para pequenos ângulos. Com base na

Fig. 16-9, usamos também a relação 2θ = Δl/R. A massa do elemento é dada por

em que μ é a massa específica linear da corda.

No instante mostrado na Fig. 16-9, o elemento de corda Δl está se movendo

em um arco de circunferência. Assim, o elemento possui uma aceleração centrípeta dada por

Do lado direito das Eqs. 16-23, 16-24 e 16-25 estão os três parâmetros da

segunda lei de Newton. Combinando-os na forma

força = massa × aceleração,

obtemos