A Lei da Gravitação de Newton

Figura 13-2  (a) A força gravitacional que a partícula 2 exerce sobre a partícula 1 é uma força atrativa porque aponta para a partícula 2. (b) A força está em um eixo r que passa pelas duas partículas. (c) A força tem o mesmo sentido que o vetor unitário do eixo r.

A Lei da Gravitação de Newton Antes de trabalhar com as equações da gravitação, vamos pensar por um momento em algo que normalmente aceitamos sem discussão. Estamos presos à Terra por uma força de intensidade adequada, não tão grande que nos faça rastejar para chegar à faculdade (embora, depois de um exame particularmente difícil, você talvez tenha que rastejar para chegar em casa), nem tão pequena que você bata com a cabeça no teto cada vez que tenta dar um passo. A força também não é suficientemente grande para que as pessoas se atraiam mutuamente (o que poderia causar muitas cenas de ciúme), ou atraiam outros objetos (caso em que a expressão “pegar um ônibus” teria um sentido literal). A atração gravitacional depende claramente da “quantidade de matéria” que existe em nós e em outros corpos: a Terra possui uma grande “quantidade de matéria” e produz uma grande atração, mas uma pessoa possui uma “quantidade de matéria” relativamente pequena e é por isso que não atrai outras pessoas. Além disso, a força exercida por essa “quantidade de matéria” é sempre atrativa; não existe o que se poderia chamar de “força gravitacional repulsiva”.

No passado, as pessoas certamente sabiam que havia uma força que as

atraía em direção ao chão (especialmente quando tropeçavam e caíam), mas pensavam que essa força fosse uma propriedade exclusiva da Terra e não tivesse relação com o movimento dos astros no céu. Em 1665, Isaac Newton, então com 23 anos, prestou uma contribuição fundamental à física ao demonstrar que era essa mesma força que mantinha a Lua em órbita. Na verdade, Newton sustentou que todos os corpos do universo se atraem mutuamente; esse fenômeno é chamado de gravitação, e a “quantidade de matéria” da qual depende a intensidade da força de atração é a massa de cada corpo. Se fosse verdadeira a lenda de que foi a queda de uma maçã que inspirou Newton a formular a lei da gravitação, a força que ele teria observado seria a que existe entre a massa da maçã e a massa da Terra. Essa força pode ser observada porque a massa da Terra é muito grande, mas, mesmo assim, é de apenas 0,8 N. A atração entre duas pessoas em uma fila de supermercado é (felizmente) muito menor (menos de 1 μN) e totalmente imperceptível.

A atração gravitacional entre objetos macroscópicos, como duas pessoas,

por exemplo, pode ser difícil de calcular. Por enquanto, vamos discutir apenas a lei da gravitação de Newton para duas partículas (corpos de tamanho desprezível). Se as massas das partículas são m e m e elas estão 1 2 separadas por uma distância r, o módulo da força de atração que uma exerce sobre a outra é dado por

em que G é uma constante, conhecida como constante gravitacional, cujo valor é

Na Fig. 13-2a, é a força gravitacional exercida sobre a partícula 1 (de massa m ) pela partícula 2 (de massa m ). A força aponta para a partícula 2 1 2 e dizemos que é uma força atrativa porque tende a aproximar a partícula 1 da partícula 2. O módulo da força é dado pela Eq. 13-1. Podemos dizer que

aponta no sentido positivo de um eixo r traçado ao longo da reta que liga

a partícula 1 à partícula 2 (Fig. 13-2b). Podemos também representar a força usando um vetor unitário (um vetor adimensional de módulo 1)

que aponta da partícula 1 para a partícula 2 (Fig. 13-2c). Nesse caso, de acordo com a Eq. 13-1, a força que age sobre a partícula 1 é dada por

A força gravitacional que a partícula 1 exerce sobre a partícula 2 tem o

mesmo módulo que a força que a partícula 2 exerce sobre a partícula 1 e o sentido oposto. As duas forças formam um par de forças da terceira lei e podemos falar da força gravitacional entre as duas partículas como tendo um módulo dado pela Eq. 13-1. A força entre duas partículas não é alterada pela presença de outros objetos, mesmo que estejam situados entre as partículas. Em outras palavras, nenhum objeto pode blindar uma das partículas da força gravitacional exercida pela outra partícula.

A intensidade da força gravitacional, ou seja, a intensidade da força com

a qual duas partículas de massa conhecida e separadas por uma distância conhecida se atraem, depende do valor da constante gravitacional G. Se G, por algum milagre, fosse de repente multiplicada por 10, seríamos esmagados contra o chão pela atração da Terra. Se G fosse dividida por 10, a atração da Terra se tornaria tão fraca que poderíamos saltar sobre um edifício.

Corpos Macroscópicos. Embora a lei da gravitação de Newton se aplique

estritamente a partículas, podemos aplicá-la a objetos reais, desde que os tamanhos desses objetos sejam pequenos em comparação com a distância entre eles. A Lua e a Terra estão suficientemente distantes uma da outra para que, com boa aproximação, possam ser tratadas como partículas. O que dizer, porém, do caso de uma maçã e a Terra? Do ponto de vista da maçã, a Terra extensa e plana, que vai até o horizonte, certamente não se parece com uma partícula.

Newton resolveu o problema da atração entre a Terra e a maçã provando

um importante teorema, conhecido como teorema das cascas:

Uma casca esférica homogênea de matéria atrai uma partícula que se

encontra fora da casca como se toda a massa da casca estivesse

concentrada no centro.

A Terra pode ser imaginada como um conjunto de cascas, uma dentro da outra, cada uma atraindo uma partícula localizada fora da superfície da Terra como se a massa da casca estivesse no centro. Assim, do ponto de vista da maçã, a Terra se comporta como uma partícula localizada no centro da Terra, que possui uma massa igual à massa da Terra.

Par de Forças da Terceira Lei. Suponha que, como na Fig. 13-3, a Terra

atraia uma maçã para baixo com uma força de módulo 0,80 N. Nesse caso, a maçã atrai a Terra para cima com uma força de 0,80 N, cujo ponto de aplicação é o centro da Terra. Na linguagem do Capítulo 5, essas forças formam um par de forças da terceira lei de Newton. Embora tenham o mesmo módulo, as forças produzem acelerações diferentes quando a maçã começa a cair. A aceleração da maçã é aproximadamente 9,8 m/s2, a aceleração dos corpos em queda livre perto da superfície da Terra. A aceleração da Terra, medida no referencial do centro de massa do sistema maçã-Terra, é apenas cerca de 1 × 10–25 m/s2.

Figura 13-3  A maçã puxa a Terra para cima com a mesma força com a qual a Terra puxa a maçã para baixo.

Teste 1