Fasores

A soma de duas ondas da forma indicada no módulo anterior só pode ser executada se as ondas tiverem a mesma amplitude. Caso as ondas tenham o mesmo número de onda, a mesma frequência angular e amplitudes diferentes, precisamos recorrer a métodos mais gerais. Um desses métodos é o uso de fasores para representar as ondas. Embora o método possa parecer estranho a princípio, trata-se, simplesmente, de uma técnica geométrica que usa as regras de adição de vetores discutidas no Capítulo 3 em lugar de somas complicadas de funções trigonométricas.

Um fasor é um vetor, de módulo igual à amplitude y da onda, que gira em m

torno da origem com velocidade angular igual à frequência angular ω da onda. Assim, por exemplo, a onda

 

é representada pelo fasor das Figs. 16-15a a 16-15d. O módulo do fasor é a amplitude y da onda. Quando o fasor gira em torno da origem com frequência m1

angular ω, a projeção y no eixo vertical varia senoidalmente, de um máximo de 1

y a um mínimo de –y e de volta a y . Essa variação corresponde à variação m1 m1 m1 senoidal do deslocamento y de um ponto qualquer da corda quando a onda passa 1

pelo ponto.

Quando duas ondas se propagam na mesma corda e no mesmo sentido,

podemos representar as duas ondas e a onda resultante em um diagrama fasorial.

Os fasores da Fig. 16-15e representam a onda da Eq. 16-55 e uma segunda onda dada por

 

A segunda onda está defasada em relação à primeira onda de uma constante de fase ϕ. Como os fasores giram com a mesma velocidade angular ω, o ângulo entre os dois fasores é sempre ϕ. Se ϕ é um número positivo, o fasor da onda 2

está atrasado em relação ao fasor da onda 1, como mostra a Fig. 16-15e. Se ϕ é um número negativo, o fasor da onda 2 está adiantado em relação ao fasor da onda 1.

Como as ondas y e y têm o mesmo número de onda k e a mesma frequência 1 2

angular ω, sabemos pelas Eqs. 16-51 e 16-52 que a onda resultante é da forma

 

em que y′ é a amplitude da onda resultante e β é a constante de fase. Para m

determinar os valores de y′ e β, temos que somar as duas ondas, como fizemos m

para obter a Eq. 16-51. Para fazer isso em um diagrama fasorial, somamos

vetorialmente os dois fasores em qualquer instante da rotação, como na Fig. 16-

15f, em que o fasor y foi deslocado para a extremidade do fasor y . O módulo m2 m1 da soma vetorial é igual à amplitude y′ da Eq. 16-57. O ângulo entre a soma m vetorial e o fasor de y é igual à constante de fase β da Eq.16-57. 1

Figura 16-15  (a)-(d) Um fasor de módulo y girando em torno de uma origem com velocidade angular ω m1

representa uma onda senoidal. A projeção y do fasor no eixo vertical representa o deslocamento de um 1

ponto pelo qual a onda passa. (e) Um segundo fasor, também de velocidade angular ω, mas de módulo y e m2

girando com um ângulo ϕ constante de diferença em relação ao primeiro fasor, representa uma segunda onda, com uma constante de fase ϕ. (f) A onda resultante é representada pelo vetor soma dos dois fasores, y′ . m

 

Note que, ao contrário do que acontece com o método do Módulo 16-5,

Podemos usar fasores para combinar ondas, mesmo que as amplitudes sejam

diferentes.

 

Exemplo 16.05 Interferência de duas ondas de

amplitudes diferentes

Duas ondas senoidais y (x, t) e y (x, t) têm o mesmo comprimento de onda e 1 2

se propagam no mesmo sentido em uma corda. As amplitudes são y = 4,0 m1

mm e y = 3,0 mm e as constantes de fase são 0 e π/3 rad, respectivamente. m2

Quais são a amplitude y′ e a constante de fase β da onda resultante? m

Escreva a onda resultante na forma da Eq. 16-57.

 

IDEIAS-CHAVE

(1) As duas ondas têm algumas propriedades em comum: Como se

propagam na mesma corda, elas têm a mesma velocidade v, que, de acordo

com a Eq. 16-26, depende apenas da tração e da massa específica linear da

corda. Como o comprimento de onda λ é o mesmo, elas têm o mesmo

número de onda k (= 2π/λ). Como o número de onda k e a velocidade v são

iguais, têm a mesma frequência angular ω (= kv).

(2) As ondas (vamos chamá-las de ondas 1 e 2) podem ser representadas

por fasores girando com a mesma frequência angular ω em torno da origem.

Como a constante de fase da onda 2 é maior que a constante de fase da onda

1 em π/3, o fasor 2 está atrasado de π/3 em relação ao fasor 1 na rotação

dos dois vetores no sentido horário, como mostra a Fig. 16-16a. A onda

resultante da interferência das ondas 1 e 2 pode ser representada por um

fasor que é a soma vetorial dos fasores 1 e 2.

 

Cálculos: Para simplificar a soma vetorial, desenhamos os fasores 1 e 2

na Fig. 16-16a no instante em que a direção do fasor 1 coincide com a do

semieixo horizontal positivo. Como o fasor 2 está atrasado de π/3 rad, ele

faz um ângulo positivo de π/3 rad com o semieixo horizontal positivo. Na

Fig. 16-16b, o fasor 2 foi deslocado para que a origem coincida com a

extremidade do fasor 1. Podemos desenhar o fasor y′ da onda resultante m 16.27 Descrever o MHS de um elemento da corda situado no antinó de uma onda estacionária.

ligando a origem do fasor 1 à extremidade do fasor 2. A constante de fase β

é o ângulo que o fasor y′ faz com o fasor 1. m

Para determinar os valores de y′ e β, podemos somar os fasores 1 e 2 m

diretamente, com o auxílio de uma calculadora (somando um vetor de

módulo 4,0 e ângulo 0 com um vetor de módulo 3,0 e ângulo π/3 rad), ou

somar separadamente as componentes. (Elas são chamadas de componentes

horizontais e verticais, representadas pelos índices h e v, respectivamente,

porque os símbolos x e y são reservados para os eixos que representam a

direção de propagação e a direção de oscilação.) No caso das componentes

horizontais, temos:

 

y′ = y cos 0 + y cos π/3 mh m1 m2

= 4,0 mm + (3,0 mm) cos π/3 = 5,50 mm.

No caso das componentes verticais, temos:

 

y′ = y sen 0 + y sen π/3 mv m1 m2

= 0 + (3,0 mm) sen π/3 = 2,60 mm.

Assim, a onda resultante tem uma amplitude

 

e uma constante de fase

 

De acordo com a Fig. 16-16b, a constante de fase β é um ângulo positivo em

relação ao fasor 1. Assim, a onda resultante está atrasada em relação à onda

1 de um ângulo β = 0,44 rad. De acordo com a Eq. 16-57, podemos escrever

a onda resultante na forma