Interferência

 

em que ΔL é a diferença de percurso das duas ondas. • A interferência construtiva acontece quando a diferença de fase é um múltiplo de 2π, ou seja, quando

 

ϕ = m(2π), para m = 0, 1, 2, . . . ,

 

o que também significa que

 

• A interferência destrutiva acontece quando a diferença de fase é um múltiplo ímpar de π, ou seja, quando

 

ϕ = (2m + 1)π, para m = 0, 1, 2, . . . ,

 

ou

 

Interferência

Como as ondas transversais, as ondas sonoras podem sofrer interferência. Vamos considerar, em particular, a interferência entre duas ondas sonoras de mesma amplitude e mesmo comprimento de onda que se propagam no sentido positivo do eixo x com uma diferença de fase de ϕ. Poderíamos expressar as ondas na forma das Eqs. 16-47 e 16-48; entretanto, para sermos coerentes com a Eq. 17-12, vamos usar funções cosseno em vez de funções seno:

 

s (x, t) = s cos(kx – ωt) 1 m

 

e

s (x, t) = s cos(kx – ωt + ϕ). 2 m

 

Essas ondas se superpõem e interferem mutuamente. De acordo com a Eq. 16-51, a onda resultante é dada por

 

Como no caso das ondas transversais, a onda resultante também é uma onda progressiva, cuja amplitude é o valor absoluto da constante que multiplica a função cosseno:

 

Como no caso das ondas transversais, o tipo de interferência é determinado pelo valor de ϕ.

Figura 17-7  (a) Duas fontes pontuais, S e S , emitem ondas sonoras esféricas em fase. Os raios 1 2 mostram que as ondas passam por um ponto comum P. As ondas (representadas por gráficos transversais) chegam ao ponto P (b) exatamente em fase e (c) exatamente fora de fase.

 

Uma forma de controlar o valor de ϕ é fazer com que as ondas percorram

distâncias diferentes para chegarem ao ponto no qual acontece a

interferência. A Fig. 17-7a mostra uma situação desse tipo: Duas fontes pontuais S e S emitem ondas sonoras que estão em fase e têm o mesmo 1 2

comprimento de onda λ. Em casos como esse, dizemos que as fontes estão em fase, ou seja, que as ondas têm o mesmo deslocamento nos pontos S e 1

S da Fig. 17-7a. Estamos interessados nas ondas que chegam ao ponto P da 2

figura. Vamos supor que a distância entre as fontes e o ponto P é muito maior que a distância entre as fontes, caso em que podemos dizer que as ondas estão se propagando aproximadamente na mesma direção no ponto P.

Se as ondas percorressem distâncias iguais para chegar ao ponto P,

estariam em fase nesse ponto. Como no caso das ondas transversais, isso

significa que sofreriam interferência construtiva. Entretanto, na Fig. 17-7a, o caminho L percorrido pela onda gerada pela fonte S é maior do que o 2 2 caminho L percorrido pela onda gerada pela fonte S . A diferença de 1 1 percurso significa que as ondas podem não estar em fase no ponto P. Em outras palavras, a diferença de fase ϕ no ponto P depende da diferença de percurso ΔL = |L – L |. 2 1

Para relacionar a diferença de fase ϕ à diferença de percurso ΔL, levamos

em conta o fato de que, como foi visto no Módulo 16-1, uma diferença de fase de 2π rad corresponde a um comprimento de onda. Assim, podemos escrever a relação

 

o que nos dá

 

A interferência construtiva acontece se ϕ é zero, 2π ou qualquer múltiplo inteiro de 2π. Podemos escrever essa condição na forma

 

De acordo com a Eq. 17-21, isso acontece quando a razão ΔL/λ é

Assim, por exemplo, se a diferença de percurso ΔL = |L – L | da Fig. 17-7a 2 1 é 2λ, então ΔL/λ = 2 e as ondas sofrem interferência construtiva no ponto P

(Fig. 17-7b). A interferência é construtiva porque a onda proveniente de S2 está deslocada em fase de 2λ em relação à onda proveniente de S , o que 1 coloca as duas ondas com a mesma fase no ponto P.

A interferência destrutiva acontece se ϕ é um múltiplo ímpar de π,

condição que podemos escrever como

 

De acordo com a Eq. 17-21, isso acontece quando a razão ΔL/λ é

 

Assim, por exemplo, se a diferença de percurso ΔL = |L – L | da Fig. 17-7a 2 1 é 2,5λ, então ΔL/λ = 2,5 e as ondas sofrem interferência destrutiva no ponto

P (Fig. 17-7c). A interferência é destrutiva porque a onda proveniente de S 2 está deslocada em fase de 2,5λ em relação à onda proveniente de S , o que 1 coloca as duas ondas com fases opostas no ponto P.

Naturalmente, duas ondas podem produzir uma interferência

intermediária. Se ΔL/λ = 1,2, por exemplo, a interferência nem é construtiva nem destrutiva, mas está mais próxima de ser construtiva (ΔL/λ = 1,0) do que de ser destrutiva (ΔL/λ = 1,5).

 

Exemplo 17.02 Interferência em pontos de

uma circunferência

Na Fig. 17-8a, duas fontes pontuais S e S , separadas por uma 1 2

distância D = 1,5λ, emitem ondas sonoras de mesma amplitude, fase e

comprimento de onda λ.

(a) Qual é a diferença de percurso das ondas de S e S no ponto P , 1 2 1

que está na mediatriz do segmento de reta que liga as duas fontes, a

uma distância das fontes maior que D (Fig. 17-8b)? (Ou seja, qual é a

diferença entre a distância da fonte S ao ponto P e a distância da 1 1

fonte S ao ponto P ?) Que tipo de interferência ocorre no ponto P ? 2 1 1

 

Raciocínio: Como as duas ondas percorrem distâncias iguais para

chegar a P , a diferença de percurso é 1

 

De acordo com a Eq. 17-23, isso significa que as ondas sofrem

interferência construtiva em P . 1

(b) Quais são a diferença de percurso e o tipo de interferência no ponto

P na Fig. 17-8c? 2

 

Raciocínio: A onda produzida por S percorre uma distância 1

adicional D (= 1,5λ) para chegar a P . Assim, a diferença de percurso é 2

 

De acordo com a Eq. 17-25, isso significa que as ondas estão com

fases opostas em P e a interferência é destrutiva. 2

(c) A Fig. 17-8d mostra uma circunferência de raio muito maior que D

cujo centro está no ponto médio entre S e S . Qual é o número de 1 2

pontos N da circunferência nos quais a interferência é construtiva? (Ou

seja, em quantos pontos as ondas chegam em fase?)

 

Raciocínio: Imagine que, partindo do ponto a, nos deslocamos no

sentido horário ao longo da circunferência até o ponto d. No caminho,

a diferença de percurso ΔL aumenta continuamente. Como foi visto no

item (a), a diferença de percurso no ponto a é ΔL = 0λ. Como foi visto

no item (b), ΔL = 1,5λ no ponto d. Assim, deve existir um ponto entre

a e d ao longo da circunferência no qual ΔL = λ, como mostra a Fig.

17-8e. De acordo com a Eq. 17-23, uma interferência construtiva

ocorre nesse ponto. Além disso, não existe outro ponto ao longo do

percurso de a a d no qual ocorre interferência construtiva, já que 1 é o

único número inteiro entre 0 e 1,5.

Figura 17-8  (a) Duas fontes pontuais S e S , separadas por uma distância 1 2

D, emitem ondas sonoras esféricas em fase. (b) As ondas percorrem

distâncias iguais para chegar ao ponto P . (c) O ponto P está na linha 1 2

reta que passa por S e S . (d) Consideramos uma circunferência de 1 2

raio muito maior que a distância entre S e S . (e) Outro ponto de 1 2

interferência construtiva. (f) Uso da simetria para determinar outros

pontos. (g) Os seis pontos de interferência construtiva.

 

Podemos agora usar a simetria para localizar os outros pontos de

interferência construtiva no resto da circunferência (Fig. 17-8f). A

simetria em relação à reta cd nos dá o ponto b, no qual ΔL = 0λ. (Como

o ponto a, o ponto b está na mediatriz do segmento de reta que liga as

duas fontes e, portanto, a diferença de percurso até o ponto b é zero.)

Existem mais três pontos para os quais ΔL = λ. No total (Fig. 17-8g)

temos