Pressão, Temperatura e Velocidade Média Quadrática

Ideias-Chave

• A pressão exercida por um gás ideal sobre as paredes de um recipiente é dada por

 

em que n é o número de mols, M é a massa molar, é a velocidade média quadrática

das moléculas e V é o volume do recipiente.

• A velocidade média quadrática das moléculas de um gás ideal é dada pela equação

 

R é a constante dos gases perfeitos, T é a temperatura do gás e M é a massa molar.

 

Pressão, Temperatura e Velocidade Média

Quadrática

Vamos passar agora ao nosso primeiro problema de teoria cinética dos gases. Considere n mols de um gás ideal em uma caixa cúbica de volume V,

como na Fig. 19-4. As paredes da caixa são mantidas a uma temperatura T. Qual é a relação entre a pressão p exercida pelo gás sobre as paredes da caixa e a velocidade das moléculas?

 

Figura 19-4  Uma caixa cúbica de aresta L contendo n mols de um gás ideal. Uma molécula de massa 2 m e velocidade está prestes a colidir com a parede sombreada de área L. Uma reta perpendicular à parede também é mostrada.

 

As moléculas de gás no interior da caixa estão se movendo em todas as

direções e com várias velocidades, colidindo umas com as outras e ricocheteando nas paredes como bolas de squash. Vamos ignorar (por enquanto) as colisões das moléculas umas com as outras e considerar apenas as colisões elásticas com as paredes.

A Fig. 19-4 mostra uma molécula de gás típica, de massa m e velocidade

v:, que está prestes a colidir com a parede sombreada. Como estamos supondo que as colisões das moléculas com as paredes são elásticas, quando a molécula colide com a parede, a única componente da velocidade que muda é a componente x, que troca de sinal. Isso significa que a única componente do momento que muda é a componente x, que sofre uma variação

 

Δp = (–mv ) – (mv ) = –2mv . x x x x

 

Assim, o momento Δp transferido para a parede pela molécula durante a x

colisão é 2mv . (Como neste livro o símbolo p é usado para representar x

tanto o momento como a pressão, precisamos tomar cuidado e observar que, neste caso, p representa o momento e é uma grandeza vetorial.)

A molécula da Fig. 19-4 se choca várias vezes com a parede sombreada.

O intervalo de tempo Δt entre colisões é o tempo que a molécula leva para se deslocar até a parede oposta e voltar (percorrendo uma distância 2L), movendo-se a uma velocidade v . Assim, Δt é igual a 2L/v . (Note que o x x resultado é válido, mesmo que a molécula colida com as paredes laterais, já que essas paredes são paralelas a x e, portanto, não podem mudar o valor de v .) Portanto, a taxa média com a qual o momento é transmitido para a x

parede sombreada é dada por

 

De acordo com a segunda lei de Newton ( = dp:/dt), a taxa com a qual o

momento é transferido para a parede é a força que age sobre a parede. Para determinar a força total, devemos somar as contribuições de todas as moléculas que colidem com a parede, levando em conta a possibilidade de que tenham velocidades diferentes. Dividindo o módulo da força total Fx pela área da parede (= L2), temos a pressão p a que é submetida a parede (a partir da Eq. 19-18, a letra p será usada para representar pressão). Assim, usando a expressão de Δp /Δt, podemos escrever a pressão na forma x

em que N é o número de moléculas que existem na caixa.

 

Como N = nN , o segundo fator entre parênteses da Eq. 19-18 possui nN AA

parcelas. Podemos substituir a soma por nN (v2 ) , em que (v2 ) é o A x méd x méd valor médio do quadrado da componente x da velocidade de todas as moléculas. Nesse caso, a Eq. 19-18 se torna

 

Entretanto, mN é a massa molar M do gás (ou seja, a massa de 1 mol do A

gás). Como, além disso, L3 é o volume do gás, temos

 

Para qualquer molécula, v2 = v2 + v2 + v2 . Como há muitas moléculas se x y z movendo em direções aleatórias, o valor médio do quadrado das componentes da velocidade não depende da direção considerada e, portanto,

v2 = v2 = v2 Assim, a Eq. 19-19 se torna x y z

 

Tabela 19-1  a Algumas Velocidades Médias Quadráticas à Temperatura Ambiente ( T = 300 K)

 

Gás Massa Molar (10–3 vrms

kg/mol) (m/s)

 

Hidrogênio (H ) 2,02 1920 2

 

Hélio (He) 4,0 1370

 

Vapor d’água (H O) 18,0 645 2

Nitrogênio (N ) 28,0 517 2

 

Oxigênio (O ) 32,0 483 2

 

Dióxido de carbono 44,0 412 (CO ) 2

 

Dióxido de enxofre 64,1 342 (SO ) 2

 

a Por conveniência, a temperatura ambiente muitas vezes é tomada como 300 K (27°C), que é uma temperatura relativamente elevada.

 

A raiz quadrada de (v2) é uma espécie de velocidade média, conhecida méd

como velocidade média quadrática das moléculas e representada pelo

símbolo v .1 Para calcular a velocidade média quadrática, elevamos a rms

velocidade das moléculas ao quadrado, obtemos a média de todas as velocidades ao quadrado e extraímos a raiz quadrada do resultado. Fazendo

, podemos escrever a Eq. 19-20 como

 

A Eq. 19-21 representa bem o espírito da teoria cinética dos gases, mostrando que a pressão de um gás (uma grandeza macroscópica) depende da velocidade das moléculas que o compõem (uma grandeza microscópica).

Podemos inverter a Eq. 19-21 e usá-la para calcular v . Combinando a rms

Eq. 19-21 com a lei dos gases ideais (pV = nRT), obtemos

 

A Tabela 19-1 mostra algumas velocidades médias quadráticas calculadas usando a Eq. 19-22. As velocidades são surpreendentemente elevadas. Para moléculas de hidrogênio à temperatura ambiente (300 K), a velocidade média quadrática é 1920 m/s ou 6900 km/h, maior que a de uma bala de fuzil! Na superfície do Sol, onde a temperatura é 2 × 106 K, a velocidade média quadrática das moléculas de hidrogênio seria 82 vezes maior que à temperatura ambiente se não fosse pelo fato de que, em velocidades tão altas, as moléculas não sobrevivem a colisões com outras moléculas. Lembre-se também de que a velocidade média quadrática é apenas uma espécie de velocidade média; muitas moléculas se movem muito mais depressa e outras muito mais devagar que esse valor.

A velocidade do som em um gás está intimamente ligada à velocidade

média quadrática das moléculas. Em uma onda sonora, a perturbação é passada de molécula para molécula por meio de colisões. A onda não pode se mover mais depressa que a velocidade “média” das moléculas. Na verdade, a velocidade do som deve ser um pouco menor que a velocidade “média” das moléculas porque nem todas as moléculas estão se movendo na mesma direção que a onda. Assim, por exemplo, à temperatura ambiente, a velocidade média quadrática das moléculas de hidrogênio e de nitrogênio é 1920 m/s e 517 m/s, respectivamente. A velocidade do som nos dois gases a essa temperatura é 1350 m/s e 350 m/s, respectivamente.

O leitor pode estar se perguntando: Se as moléculas se movem tão

depressa, por que levo quase um minuto para sentir o cheiro quando alguém abre um vidro de perfume do outro lado da sala? A resposta é que, como discutiremos no Módulo 19-5, apesar de terem uma velocidade elevada, as moléculas de perfume se afastam lentamente do vidro por causa de colisões com outras moléculas, que as impedem de seguir uma trajetória retilínea.

 

Exemplo 19.03 Valor médio e valor médio

quadrático

São dados cinco números: 5, 11, 32, 67 e 89.

(a) Qual é o valor médio n desses números? méd

 

Cálculo: O valor médio é dado por