Movimento Harmônico Simples

Quando acontece um terremoto nas vizinhanças de uma cidade, os

edifícios sofrem oscilações tão intensas que podem desmoronar. Quando uma flecha é lançada de um arco, as penas da extremidade conseguem passar pelo arco sem se chocar com ele porque a flecha oscila. Quando se deixa cair uma moeda em um prato metálico, a moeda oscila de uma forma tão característica que é possível conhecer o valor da moeda pelo som produzido. Quando um peão de rodeio monta um touro, o corpo do peão oscila para um lado e para outro enquanto o touro gira e corcoveia (pelo menos, é o que o peão tenta fazer).

O estudo e o controle das oscilações são dois objetivos importantes da

física e da engenharia. Neste capítulo, vamos discutir um tipo básico de oscilação conhecido como movimento harmônico simples.

Não Desanime. Este assunto é considerado particularmente difícil por

muitos estudantes. Um motivo pode ser o fato de que existem muitas definições e símbolos para aprender, mas a razão principal é a necessidade de relacionar as oscilações de um objeto (algo que podemos observar ou mesmo sentir) a gráficos e equações matemáticas. Associar um movimento real à abstração de um gráfico ou equações requer um grande esforço intelectual.

 

Figura 15-1  Uma partícula oscila repetidamente para a direita e para a esquerda da origem do eixo x, entre os pontos extremos x e –x . m m

 

Movimento Harmônico Simples

A Fig. 15-1 mostra uma partícula que está oscilando nas vizinhanças da origem de um eixo x, deslocando-se alternadamente para a direita e para a esquerda de uma mesma distância x . A frequência f da oscilação é o m número de vezes por unidade de tempo que a partícula descreve uma oscilação completa (um ciclo). A unidade de frequência do SI é o hertz (Hz), definido da seguinte forma:

O tempo necessário para completar um ciclo é o período T da oscilação, dado por

 

Todo movimento que se repete a intervalos regulares é chamado de movimento periódico ou movimento harmônico. No momento, estamos interessados em um tipo particular de movimento periódico conhecido como movimento harmônico simples (MHS). Esse movimento é uma função senoidal do tempo t, ou seja, pode ser escrito como um seno ou cosseno do tempo t. Vamos escolher arbitrariamente a função cosseno e

escrever o deslocamento (ou posição) da partícula da Fig. 15-1 na forma

 

em que x , ω e ϕ são parâmetros a serem definidos. m

Instantâneos. Vamos tirar uma série de instantâneos do movimento e

mostrá-los em ordem temporal, de cima para baixo, em um desenho (Fig.

15-2a). O primeiro instantâneo foi tirado em t = 0, quando a partícula estava no ponto à direita mais distante da origem do eixo x. Chamamos de x a m coordenada desse ponto (o índice m é a inicial de máximo); é a constante que multiplica a função cosseno na Eq. 15-3. No instantâneo seguinte, a partícula está um pouco à esquerda de x . A partícula continua a se mover m no sentido negativo do eixo x até chegar ao ponto à esquerda mais distante da origem, cuja coordenada é –x . Em seguida, a partícula começa se mover m no sentido positivo do eixo x, até chegar ao ponto x . O movimento se m repete indefinidamente, com a partícula oscilando entre os pontos x e –x . m m Na Eq. 15-3, os valores da função cosseno variam de +1 a –1. O valor de xm determina o valor máximo das oscilações e é chamado de amplitude (veja a

Fig. 15-3, que mostra os nomes de todos os parâmetros da equação que descreve o movimento harmônico simples).

Figura 15-2  (a) Uma sequência de “instantâneos” (tirados a intervalos regulares) que mostram a posição de uma partícula enquanto oscila em torno da origem de um eixo x, entre +x e –x . (b) O m m comprimento dos vetores é proporcional à velocidade escalar instantânea da partícula. A velocidade escalar é máxima quando a partícula está na origem e é nula quando está em ±x . Se o tempo t é m escolhido como zero quando a partícula está em +x , a partícula retorna para 1x em t = T, em que T m m é o período do movimento. Em seguida, o movimento é repetido. ( o c ) Fazendo o gráfico girar de 90,

vemos que a posição da partícula varia com o tempo de acordo com uma função do tipo cosseno, como a que aparece em (d). (e) A velocidade (inclinação da curva) varia com o tempo.

Figura 15-3  Nomes dos parâmetros da Eq. 15-3, que descreve o movimento harmônico simples.

 

 

A Fig. 15-2b mostra, em uma série de instantâneos, a variação da

velocidade da partícula com o tempo. Vamos chegar daqui a pouco à função que expressa a velocidade, mas, por enquanto, limite-se a observar que a partícula para momentaneamente nos pontos extremos e tem a maior velocidade (o vetor velocidade é mais comprido) quando está passando pela origem.

Faça mentalmente a Fig. 15-2a girar 90o no sentido anti-horário, para que

a passagem do tempo se traduza em um movimento para a direita. Chamamos de t = 0 o instante em que a partícula está em x . A partícula m volta a x no instante t = T (o período das oscilações) e, em seguida, começa m

um novo ciclo. Se tirássemos um número muito grande de instantâneos e ligássemos os pontos mostrados nesses instantâneos, obteríamos a curva da função cosseno mostrada na Fig. 15.2d. O que já observamos a respeito da

velocidade é mostrado na Fig. 15.2e. O que temos no conjunto da Fig. 15-2 é uma transformação do que podemos ver (a realidade de uma partícula em movimento oscilatório) para a abstração de um gráfico. A Eq. 15-3 é uma forma concisa de representar o movimento por meio de uma equação abstrata.

Mais Parâmetros. A Fig. 15-3 mostra outros parâmetros associados ao

MHS. O argumento da função cosseno é chamado de fase do movimento. É a variação da fase com o tempo que faz o valor do cosseno variar. O parâmetro ϕ é chamado de ângulo de fase ou constante de fase. Esse parâmetro é incluído no argumento apenas porque queremos usar a Eq. 15-3 para descrever o movimento, qualquer que seja a posição da partícula no

instante t = 0. Na Fig. 15-2, chamamos de t = 0 o instante em que a partícula estava em x . Para essa escolha, a Eq. 15-3 descreve corretamente m o movimento da partícula se fizermos ϕ = 0. Entretanto, se chamarmos de t = 0 o instante em que a partícula está em outra posição qualquer, precisaremos usar um valor de ϕ diferente de 0 para descrever corretamente

o movimento da partícula. Alguns desses valores estão indicados na Fig.

15-4. Suponha, por exemplo, que a partícula esteja no ponto mais à esquerda no instante t = 0. Nesse caso, a Eq. 15-3 só descreve corretamente o movimento se ϕ = π rad. Para verificar se isso é verdade, faça t = 0 e ϕ = π rad na Eq. 15-3; o resultado será x = –x . Fica a cargo do leitor verificar os m

outros valores mostrados na Fig. 15-4.

O parâmetro ω da Eq. 15-3 é a frequência angular do movimento. Para

determinar a relação entre a frequência angular ω e a frequência f e o período T, basta observar que, de acordo com a definição de período, a posição x(t) da partícula deve ser a mesma que a posição inicial depois de decorrido exatamente um período. Assim, se x(t) é a posição da partícula em um dado instante t, a partícula deve estar na mesma posição no instante t + T. Vamos usar a Eq. 15-3 para expressar essa condição, fazendo ϕ = 0 para eliminar uma complicação desnecessária. A volta à posição inicial pode ser expressa usando a igualdade

 

A função cosseno volta a ter o mesmo valor pela primeira vez quando o argumento (ou seja, a fase) aumenta de 2π. Assim, de acordo com a Eq. 15-4,

 

ω(t + T) = ωt + 2π

 

ou

 

ωT = 2π.

 

Explicitando ω e usando a Eq. 15-2, obtemos

 

A unidade de frequência angular do SI é o radiano por segundo (rad/s).

Figura 15-4  Valores de ϕ correspondentes a várias posições da partícula no instante t = 0.

 

 

Figura 15-5  Nos três casos, a curva azul é obtida da Eq. 15-3 com ϕ = 0. (a) A curva vermelha difere da curva azul apenas pelo fato de que a amplitude x′ da curva vermelha é maior (os m deslocamentos da curva vermelha para cima e para baixo são maiores). (b) A curva vermelha difere da curva azul apenas pelo fato de que o período da curva vermelha é T′ = T/2 (a curva vermelha está comprimida horizontalmente). (c) A curva vermelha difere da curva azul apenas pelo fato de que, para a curva vermelha, ϕ = –π/4 rad em vez de zero (o valor negativo de ϕ desloca a curva para a direita).

 

Agora que já definimos vários parâmetros, podemos fazê-los variar para

observar o efeito de cada um sobre o MHS. A Fig. 15-5 mostra alguns

exemplos. As curvas da Fig. 15-5a mostram o efeito da amplitude. As duas curvas têm o mesmo período. (Não é fácil observar que os “picos” estão alinhados?) Além disso, podemos ver que ϕ = 0. (As duas curvas não

passam por um máximo em t = 0?) Na Fig. 15-5b, as duas curvas têm a mesma amplitude x , mas o período de uma é o dobro do período da outra m

(e, portanto, a frequência da primeira é metade da frequência da segunda).

A Fig. 15-5c é, provavelmente, a mais difícil de entender. As curvas têm a mesma amplitude e o mesmo período, mas uma está deslocada em relação à outra porque as duas curvas têm valores diferentes de ϕ. Uma das curvas passa por um máximo em t = 0; isso mostra que, para essa curva, ϕ = 0. A outra curva está deslocada para a direita porque possui um valor de ϕ negativo. Esse é um resultado geral: valores negativos de ϕ deslocam a curva de um cosseno para a direita, e valores positivos deslocam a curva de um cosseno para a esquerda. (Você pode confirmar isso plotando várias curvas em uma calculadora gráfica.)

 

Teste 1

Uma partícula em oscilação harmônica simples de período T (como a

da Fig. 15-2) está em –x no instante t = 0. A partícula está em –x , em m m

+x , em 0, entre –x e 0, ou entre 0 e +x no instante (a) t = 2,00T, (b) t m m m

= 3,50T e (c) t = 5,25T?

 

A Velocidade do MHS

Discutimos brevemente a velocidade ao examinarmos a Fig. 15-2b e mostramos que ela varia em módulo e sentido quando a partícula descreve um movimento harmônico simples. Em particular, vimos que a velocidade é momentaneamente zero nos pontos extremos e máxima no ponto central do movimento. Para determinar a função v(t) que representa a velocidade para qualquer instante de tempo, vamos calcular a derivada da função x(t) que representa a posição em função de tempo (Eq. 15-3):

 

ou

 

A velocidade varia com o tempo, já que a função seno varia com o

tempo, entre os valores +1 e –1. O fator que multiplica a função seno determina os valores extremos da variação de velocidade, –ωx e +ωx . m m Dizemos que ωx é a amplitude v da variação de velocidade. Quando a m m partícula passa pelo ponto x = 0 e está se movendo da esquerda para a direita, a velocidade é positiva e o módulo da velocidade tem o maior valor possível. Quando a partícula passa pelo ponto x = 0 e está se movendo da direita para a esquerda, a velocidade é negativa e o módulo da velocidade

tem, novamente, o maior valor possível. O gráfico da Fig. 15-6b mostra a variação da velocidade com o tempo dada pela Eq. 15-b com uma constante de fase ϕ = 0, que corresponde à variação da posição da partícula com o

tempo mostrada na Fig. 15-6a.

Lembre-se de que usamos uma função cosseno para representar x(t),

independentemente da posição da partícula no instante t = 0, escolhendo o valor apropriado de ϕ para que a Eq. 15-3 nos dê a posição correta da partícula no instante t = 0. Essa escolha da função cosseno para representar x(t) faz com que a velocidade seja representada por uma função seno com o mesmo valor de ϕ.

 

Figura 15-6  (a) O deslocamento x(t) de uma partícula que executa um MHS com ângulo de fase ϕ igual a zero. O período T corresponde a uma oscilação completa. (b) A velocidade v(t) da partícula. (c) A aceleração a(t) da partícula.

A Aceleração do MHS

Derivando a função velocidade da Eq. 15-6 em relação ao tempo, obtemos a aceleração de uma partícula que executa um movimento harmônico simples:

 

ou

 

Obtivemos novamente uma função cosseno, mas desta vez com um sinal negativo. A essa altura, já sabemos interpretar o resultado. A aceleração varia porque a função cosseno varia com o tempo, entre –1 e +1. O fator que multiplica a função cosseno determina os valores extremos da variação

de velocidade, –ω2x e +ω2x . Dizemos que ω2x é a amplitude a da m m m m variação de aceleração.

A Fig. 15-6c mostra um gráfico da Eq. 15-7 com ϕ = 0, como nas Figs.

15-6a e 15-6b. Note que o módulo da aceleração é zero quando o cosseno é zero, o que acontece quando a partícula está passando pelo ponto x = 0, e é máximo quando o valor absoluto do cosseno é máximo, o que acontece quando a partícula está passando pelos pontos extremos do movimento. Comparando as Eqs. 15-3 e 15-7, obtemos uma relação interessante:

 

A Eq. 15-8 reflete duas características marcantes do MHS: (1) A aceleração da partícula tem sempre o sentido contrário ao do deslocamento (daí o sinal negativo); (2) a aceleração e o deslocamento estão relacionados por uma constante (ω2). Toda vez que observamos essas duas características em um movimento oscilatório (seja, por exemplo, na corrente de um circuito elétrico ou no nível da maré em uma baía), podemos dizer imediatamente que se trata de um movimento harmônico simples, e identificar a frequência angular ω do movimento. Resumindo,