A Velocidade de uma Onda Progressiva

Constante de Fase

Quando uma onda progressiva senoidal é expressa pela função de onda da Eq.

16-2, a onda nas vizinhanças de x = 0 para t = 0 tem o aspecto mostrado na Fig.

16-6a. Note que, em x = 0, o deslocamento é y = 0 e a inclinação tem o valor máximo positivo. Podemos generalizar a Eq. 16-2 introduzindo uma constante de fase ϕ na função de onda:

 

O valor de ϕ pode ser escolhido de tal forma que a função forneça outro deslocamento e outra inclinação em x = 0 para t = 0. Assim, por exemplo, a

escolha de ϕ = π/5 rad nos dá o deslocamento e a inclinação mostrados na Fig.

16-6b no instante t = 0. A onda continua a ser é senoidal, com os mesmos valores

de y , k e ω, mas está deslocada em relação à onda da Fig. 16-6a (para a qual ϕ = m

0). Note também o sentido do deslocamento. Um valor positivo de ϕ faz a curva se deslocar no sentido negativo do eixo x; um valor negativo de ϕ faz a curva se deslocar no sentido positivo.

 

Figura 16-7  Dois instantâneos da onda da Fig. 16-4, nos instantes t = 0 e t = Δt. Quando a onda se move para a direita com velocidade , a curva inteira se desloca de uma distância Δx durante um intervalo de tempo Δt. O ponto A “viaja” com a forma da onda, mas os elementos da corda se deslocam apenas para cima e para baixo.

 

A Velocidade de uma Onda Progressiva

A Fig. 16-7 mostra dois instantâneos da onda da Eq. 16-2, separados por um pequeno intervalo de tempo Δt. A onda está se propagando no sentido positivo

de x (para a direita na Fig. 16-7), com toda a forma de onda se deslocando de uma distância Δx nessa direção durante o intervalo Δt. A razão Δx/Δt (ou, no limite infinitesimal, dx/dt) é a velocidade v da onda. Como podemos calcular o valor da velocidade?

Quando a onda da Fig. 16-7 se move, cada ponto da forma de onda, como o

ponto A assinalado em um dos picos, conserva seu deslocamento y. (Os pontos da corda não conservam seus deslocamentos, mas os pontos da forma de onda o fazem.) Se o ponto A conserva seu deslocamento quando se move, a fase da Eq. 16-2, que determina esse deslocamento, deve permanecer constante:

 

Observe que, embora o argumento seja constante, tanto x quanto t estão variando. Na verdade, quando t aumenta, x deve aumentar também para que o argumento permaneça constante. Isso confirma o fato de que a forma de onda se move no sentido positivo do eixo x.

Para determinar a velocidade v da onda, derivamos a Eq. 16-11 em relação ao

tempo, o que nos dá

 

ou

 

Usando a Eq. 16-5 (k = 2π/λ) e a Eq. 16-8 (ω = 2π/T), podemos escrever a

velocidade da onda na forma

 

De acordo com a equação v = λ/T, a velocidade da onda é igual a um comprimento de onda por período; a onda se desloca de uma distância igual a um comprimento de onda em um período de oscilação.

A Eq. 16-2 descreve uma onda que se propaga no sentido positivo do eixo x.

Podemos obter a equação de uma onda que se propaga no sentido oposto substituindo t por –t na Eq. 16-2. Isso corresponde à condição

 

que (compare com a Eq. 16-11) requer que x diminua com o tempo. Assim, uma onda que se propaga no sentido negativo de x é descrita pela equação

Analisando a onda da Eq. 16-15 como fizemos para a onda da Eq. 16-2,

descobrimos que a velocidade é dada por

 

O sinal negativo (compare com a Eq. 16-12) confirma que a onda está se propagando no sentido negativo do eixo x e justifica a troca do sinal da variável tempo.

Considere agora uma onda de forma arbitrária, dada por

 

em que h representa qualquer função, sendo a função seno apenas uma das possibilidades. Nossa análise anterior mostra que todas as ondas nas quais as variáveis x e t aparecem em uma combinação da forma kx ± ωt são ondas progressivas. Além disso, todas as ondas progressivas devem ser da forma da Eq. 16-17. Assim, representa uma possível (se bem que,

fisicamente um pouco estranha) onda progressiva. A função y(x, t) = sen(ax2 – bt), por outro lado, não representa uma onda progressiva.

 

Teste 2

São dadas as equações de três ondas:

y(x, t) = 2 sen(4x – 2t), (2) y(x, t) = sen(3x – 4t), (3) y(x, t) = 2 sen(3x – 3t).

Ordene as ondas de acordo (a) com a velocidade e (b) com a velocidade

máxima na direção perpendicular à direção de propagação da onda

(velocidade transversal), em ordem decrescente.

 

Exemplo 16.01 Determinação dos parâmetros

da equação de uma onda transversal

Uma onda transversal que se propaga no eixo x é representada pela equação

 

A Fig. 16-8a mostra o deslocamento dos elementos da corda em função de x

no instante t = 0. A Fig. 16-8b mostra o deslocamento do elemento situado

em x = 0 em função do tempo. Determine o valor dos parâmetros da Eq. 16-

18 e o sinal algébrico do termo ωt.

 

IDEIAS-CHAVE

(1) A Fig. 16-8a é um instantâneo da realidade (algo que podemos ver), que

mostra a posição dos elementos da corda em diversos pontos do eixo x. A

partir da figura, podemos determinar o comprimento de onda λ e, a partir do

comprimento de onda, o número de onda k (= 2π/λ) da Eq. 16-18. (2) A Fig.

16-8b é uma abstração, pois mostra a variação com o tempo da posição de

um elemento da corda. A partir da figura, podemos determinar o período T

do MHS do elemento, que é igual ao período da onda. A partir de T,

podemos calcular a frequência angular ω (= 2π/T) da Eq. 16-18. (3) A

constante de fase ϕ pode ser obtida a partir do deslocamento da corda no

ponto x = 0 no instante t = 0.

 

Amplitude: De acordo com as Figs. 16-8a e 16-8b, o deslocamento

máximo da corda é 3,0 mm. Assim, a amplitude da onda é y = 3,0 mm. m

 

Comprimento de onda: Na Fig. 16-8a, o comprimento de onda λ

é a distância ao longo do eixo x entre repetições sucessivas da forma de

onda. O modo mais fácil de medir λ é medir a distância entre um ponto em

que a onda cruza o eixo x e o ponto seguinte em que a onda cruza o eixo x

com a mesma inclinação. Podemos obter uma estimativa visual da distância

usando a escala do eixo x, mas um método mais preciso consiste em colocar

uma folha de papel sobre o gráfico, marcar os pontos de cruzamento,

arrastar o papel até que um dos pontos coincida com a origem e ler a

coordenada do outro ponto usando a escala do gráfico. O resultado dessa

medição é λ = 10 mm. De acordo com a Eq. 16-5, temos

Figura 16-8  (a) Instantâneo do deslocamento y da corda em função da posição x, no instante t = 0.

(b) Gráfico do deslocamento y em função do tempo para o elemento da corda situado em x = 0.

 

Período: O período T é o intervalo de tempo entre repetições sucessivas

da posição de um elemento da corda. Na Fig. 16-8b, T é a distância entre

um ponto em que a curva cruza o eixo t e o ponto seguinte em que a onda

cruza o eixo t com a mesma inclinação. Medindo a distância visualmente ou

com o auxílio de uma folha de papel, descobrimos que T = 20 ms. De

acordo com a Eq. 16-8, temos

 

Sentido de propagação: Para determinar o sentido de propagação

da onda, basta observar as figuras. No instantâneo para t = 0 da Fig. 16-8a,

note que, se a onda estivesse se propagando para a direita, logo depois do

instantâneo, a amplitude da onda no ponto x = 0 deveria aumentar (desloque

mentalmente a curva para a direita). Se, por outro lado, a curva estivesse se

propagando pela esquerda, logo depois do instantâneo, a amplitude da onda

no ponto x = 0 deveria diminuir. Examinando o gráfico da Fig. 16-8b,

vemos que, logo após o instante t = 0, a amplitude da onda diminui. A

conclusão é que a onda está se propagando para a direita, no sentido

positivo do eixo x, o que significa que o termo ωt da Eq. 16-18 deve receber

o sinal negativo.

 

Constante de fase: O valor de ϕ pode ser determinado a partir da

posição que o elemento situado no ponto x = 0 ocupa no instante t = 0. As

duas figuras mostram que, nesse instante, o elemento está na posição y = –

2,0 mm. Fazendo x = 0, t = 0, y = –2,0 mm e y = 3,0 mm na Eq. 16-18, m

obtemos

–2,0 mm = (3,0 mm) sen(0 + 0 + ϕ)

ou

 

Note que esse valor está de acordo com a regra de que, em um gráfico de y

em função de x, uma constante de fase negativa desloca a função seno para

a direita, que é o que vemos na Fig. 16-8a.

 

Equação: Agora podemos escrever a Eq. 16-18 substituindo todos os

parâmetros por valores numéricos:

y = (3,0 mm) sen(200πx – 100πt – 0,73 rad), (Resposta)

em que x está em metros e t está em segundos.

 

Exemplo 16.02 Velocidade transversal e

aceleração transversal de um elemento de uma

corda

Uma onda que se propaga em uma corda é descrita pela equação

y(x, t) = (0,00327 m) sen(72,1x – 2,72t),

em que as constantes numéricas estão em unidades do SI (0,00327 m, 72,1

rad/m e 2,72 rad/s).

(a) Qual é a velocidade transversal u do elemento da corda situado no ponto

x = 22,5 cm no instante t = 18,9 s? (Essa velocidade, associada à oscilação

transversal de um elemento da corda, é uma velocidade na direção y que

varia com o tempo e não deve ser confundida com v, a velocidade constante

com a qual a forma da onda se propaga na direção x.)

 

IDEIAS-CHAVE

A velocidade transversal u é a taxa de variação, com o tempo, do

deslocamento y de um elemento da corda. A expressão geral para o

deslocamento é

 

Para um elemento em certa posição x, podemos calcular a taxa de variação

de y derivando a Eq. 16-19 em relação a t, mantendo x constante. Uma

derivada calculada enquanto uma (ou mais) das variáveis é tratada como

constante é chamada de derivada parcial e representada pelo símbolo ∂/∂x

em vez de d/dx.

 

Cálculos: Temos:

 

Substituindo os valores numéricos e levando em conta que todos estão em

unidades do SI, obtemos:

 

Assim, em t = 18,9 s, o elemento da corda situado em x = 22,5 cm está se

movendo no sentido positivo de y com uma velocidade de 7,20 mm/s.

(Atenção: Na hora de calcular a função cosseno, é melhor não arredondar o

valor obtido para o argumento, pois isso poderia acarretar um erro

significativo. Experimente, por exemplo, arredondar o argumento para dois

algarismos significativos e verifique qual é o valor obtido para u.)

(b) Qual é a aceleração transversal a do mesmo elemento no instante t = y

18,9 s?

 

IDEIA-CHAVE

A aceleração transversal a é a taxa com a qual a velocidade transversal do y

elemento está variando.

 

Cálculos: De acordo com a Eq. 16-20, tratando novamente x como uma

constante e permitindo que t varie, obtemos

 

Substituindo os valores numéricos e levando em conta que todos estão em

unidades do SI, obtemos: