Movimento Harmônico Simples e Movimento Circular Uniforme

Observe que o resultado não depende da massa m do pêndulo.(b) Qual

é a distância L entre o ponto O da régua e o centro de oscilação? 0

Cálculos: Estamos interessados em determinar o comprimento L 0

do pêndulo simples (desenhado na Fig. 15-13b) que possui o mesmo

período que o pêndulo físico (a régua) da Fig. 15-13a. Igualando as

Eqs. 15-28 e 15-33, obtemos

Podemos ver, por inspeção, que

Na Fig. 15-13a, o ponto P está a essa distância do ponto fixo O.

Assim, o ponto P é o centro de oscilação da barra para o ponto de

suspensão dado. A posição do ponto P seria diferente se a régua

estivesse suspensa por outro ponto.

Movimento Harmônico Simples e Movimento

Circular Uniforme

Em 1610, usando o telescópio que acabara de construir, Galileu descobriu os quatro maiores satélites de Júpiter. Após algumas semanas de observação, constatou que os satélites estavam se deslocando de um lado para outro do planeta no que hoje chamaríamos de movimento harmônico simples; o ponto médio do movimento coincidia com a posição do planeta. O registro das observações de Galileu, escrito de próprio punho, chegou aos nossos dias. A. P. French, do MIT, usou os dados colhidos por Galileu para determinar a posição da lua Calisto em relação a Júpiter (na verdade, a distância angular entre Júpiter e Calisto, do ponto de vista da Terra) e

constatou que os dados seguiam de perto a curva mostrada na Fig. 15-14. A curva se parece muito com a representação gráfica da Eq. 15-3, que descreve o deslocamento de um objeto que está executando um movimento harmônico simples. O período das oscilações mostradas no gráfico é 16,8 dias, mas o que, exatamente, está oscilando? Afinal de contas, um satélite não pode estar se deslocando para um lado e para o outro como um bloco preso a uma mola; sendo assim, por que o movimento observado por Galileu seria descrito pela Eq. 15-3?

Na realidade, Calisto se move com velocidade praticamente constante

em uma órbita quase circular em torno de Júpiter. O verdadeiro movimento não é um movimento harmônico simples, e sim um movimento circular uniforme. O que Galileu viu, e que o leitor pode ver com um bom binóculo e um pouco de paciência, foi a projeção do movimento circular uniforme em uma reta situada no plano do movimento. As notáveis observações de Galileu levam à conclusão de que o movimento harmônico simples é o movimento circular uniforme visto de perfil. Em uma linguagem mais formal:

Figura 15-14  O ângulo entre Júpiter e o satélite Calisto do ponto de vista da Terra. As observações de Galileu em 1610 podem ser representadas por essa curva, que é a mesma do movimento harmônico simples. Para a distância média entre Júpiter e a Terra, 10 minutos de arco correspondem a cerca de 2 × 106 km. (Adaptado de A. P. French, Newtonian Mechanics, W. W. Norton & Company, New York, 1971, p. 288.)

Figura 15-15  (a) Uma partícula de referência P′ descrevendo um movimento circular uniforme em uma circunferência de raio x . A projeção P da posição da partícula no eixo x executa um movimento m

harmônico simples. (b) A projeção da velocidade da partícula de referência é a velocidade do MHS. (c) A projeção da aceleração radial da partícula de referência é a aceleração do MHS.

O movimento harmônico simples é a projeção do movimento circular

uniforme em um diâmetro da circunferência ao longo da qual acontece

o movimento circular.

A Fig. 15-15a mostra um exemplo. Uma partícula de referência P′

executa um movimento circular uniforme com velocidade angular ω (constante) em uma circunferência de referência. O raio x da m circunferência é o módulo do vetor posição da partícula. Em um instante t, a posição angular da partícula é ωt + ϕ, em que ϕ é a posição angular no instante t = 0.

Posição. A projeção da partícula P′ no eixo x é um ponto P, que

consideramos uma segunda partícula. A projeção do vetor posição da partícula P′ no eixo x fornece a localização x(t) de P. (Você está vendo a

componente x do triângulo da Fig. 15-5a?) Assim, temos:

que é exatamente a Eq. 15-3. Nossa conclusão está correta. Se a partícula de referência P′ executa um movimento circular uniforme, sua projeção, a partícula projetada P, executa um movimento harmônico simples em um diâmetro do círculo.