Comprimento de Onda e Frequência

Quando deslocamos o êmbolo para a frente e para trás executando um

movimento harmônico simples, como na Fig. 16-2, uma onda senoidal se propaga ao longo do tubo. Como o movimento das moléculas de ar é paralelo à direção de propagação da onda, esse movimento é chamado de longitudinal, e dizemos que a onda que se propaga no ar é uma onda longitudinal. Neste capítulo, vamos estudar as ondas transversais, principalmente as ondas em

cordas; no Capítulo 17, vamos estudar as ondas longitudinais, principalmente as ondas sonoras.

Tanto as ondas transversais como as ondas longitudinais são chamadas de

ondas progressivas quando se propagam de um lugar a outro, como no caso das

ondas na corda da Fig. 16-1 e no tubo da Fig. 16-2. Observe que é a onda que se propaga e não o meio material (corda ou ar) no qual a onda se move.

 

Comprimento de Onda e Frequência Para descrever perfeitamente uma onda em uma corda (e o movimento de qualquer elemento da corda), precisamos de uma função que reproduza a forma da onda. Isso significa que necessitamos de uma relação como

 

em que y é o deslocamento transversal de um elemento da corda e h é uma função do tempo t e da posição x do elemento na corda. Qualquer forma senoidal

como a da onda da Fig. 16-1b pode ser descrita tomando h como uma função seno ou uma função cosseno; a forma de onda é a mesma para as duas funções. Neste capítulo, vamos usar a função seno.

Função Senoidal. Imagine uma onda senoidal como a da Fig. 16-1b se

propagando no sentido positivo de um eixo x. Quando a onda passa por elementos (ou seja, por trechos muito pequenos) da corda, os elementos oscilam paralelamente ao eixo y. Em um instante t, o deslocamento y do elemento da corda situado na posição x é dado por

 

Como a Eq. 16-2 está escrita em termos de uma posição genérica x e de um tempo genérico t, pode ser usada para calcular o deslocamento de todos os elementos da corda em um dado instante e a variação com o tempo do deslocamento de um dado elemento da corda em função do tempo. Assim, pode nos dizer qual é a forma da onda em um dado instante de tempo e como essa forma varia com o tempo.

Os nomes das grandezas da Eq. 16-2 são mostrados e definidos na Fig. 16-3.

Antes de discuti-los, porém, vamos examinar a Fig. 16-4, que mostra cinco “instantâneos” de uma onda senoidal que se propaga no sentido positivo de um eixo x. O movimento da onda está indicado pelo deslocamento para a direita da seta vertical que aponta para um dos picos positivos da onda. De instantâneo para instantâneo, a seta se move para a direita juntamente com a forma da onda, mas a corda se move apenas paralelamente ao eixo y. Para confirmar esse fato, vamos acompanhar o movimento do elemento da corda em x = 0, pintado de

vermelho. No primeiro instantâneo (Fig. 16-4a), o elemento está com um deslocamento y = 0. No instantâneo seguinte, está com o maior deslocamento possível para baixo porque um vale (ou máximo negativo) da onda está passando pelo elemento. Em seguida, sobe de novo para y = 0. No quarto instantâneo, está com o maior deslocamento possível para cima porque um pico (ou máximo positivo) da onda está passando pelo elemento. No quinto instantâneo, está novamente em y = 0, tendo completado um ciclo de oscilação.

 

Figura 16-3  Nomes das grandezas da Eq. 16-2, para uma onda senoidal transversal.

 

Amplitude e Fase

A amplitude y de uma onda como a Fig. 16-4 é o valor absoluto do m

deslocamento máximo sofrido por um elemento a partir da posição de equilíbrio quando a onda passa por esse elemento. (O índice m significa máximo.) Como ym é um valor absoluto, é sempre positivo, mesmo que, em vez de ser medido para

cima, como na Fig. 16-4a, seja medido para baixo.

A fase da onda é o argumento kx – ωt do seno da Eq. 16-2. Em um elemento

da corda situado em uma dada posição x, a passagem da onda faz a fase variar linearmente com o tempo t. Isso significa que o valor do seno também varia, oscilando entre +1 e –1. O valor extremo positivo (+1) corresponde à passagem de um pico da onda; nesse instante, o valor de y na posição x é y . O valor m extremo negativo (–1) corresponde à passagem de um vale da onda; nesse instante, o valor de y na posição x é –y . Assim, a função seno e a variação da m fase da onda com o tempo correspondem à oscilação de um elemento da corda, e a amplitude da onda determina os extremos do deslocamento.

Atenção: Depois de calcular uma fase, não convém arredondar o resultado

antes de calcular o valor da função seno, pois isso pode introduzir um erro significativo no resultado final.

 

Figura 16-4  Cinco “instantâneos” de uma onda que está se propagando em uma corda no sen? tido positivo de um eixo x. A amplitude y está indicada. Um comprimento de onda λ típico, medido a partir de uma m posição arbitrária x , também está indicado. 1

 

Comprimento de Onda e Número de Onda

O comprimento de onda λ de uma onda é a distância (medida paralelamente à direção de propagação da onda) entre repetições da forma de onda. Um

comprimento de onda típico está indicado na Fig. 16-4a, que é um instantâneo da onda no instante t = 0. Nesse instante, a Eq. 16-2 nos dá, como descrição da forma da onda, a função

 

Por definição, o deslocamento y é o mesmo nas duas extremidades do

comprimento de onda, ou seja, em x = x e x = x + λ. Assim, de acordo com a 1 1 Eq. 16-3,

 

Uma função seno se repete pela primeira vez quando o ângulo (ou argumento) aumenta de 2π rad; assim, na Eq. 16-4 devemos ter kλ = 2π ou

 

O parâmetro k é chamado de número de onda; a unidade de número de onda do SI é o radiano por metro ou m–1. (Observe que, nesse caso, o símbolo k não representa uma constante elástica, como em capítulos anteriores.)

Observe que a onda da Fig. 16-4 se move para a direita de λ/4 de um

instantâneo para o instantâneo seguinte. Assim, no quinto instantâneo, a onda se moveu para a direita de um comprimento de onda λ.

Figura 16-5  Gráfico do deslocamento do ele? mento da corda situado em x = 0 em função do tempo,

quando a onda senoidal da Fig. 16-4 passa pelo elemento. A amplitude y está indicada. Um período T m típico, medido a partir de um instante de tempo arbitrário t , também está indicado. 1

 

Período, Frequência Angular e Frequência

A Fig. 16-5 mostra um gráfico do deslocamento y da Eq. 16-2 em função do tempo t para um ponto da corda, o ponto x = 0. Observando a corda de perto, veríamos que o elemento da corda que está nessa posição se move para cima e para baixo, executando um movimento harmônico simples dado pela Eq. 16-2 com x = 0:

 

em que fizemos uso do fato de que sen(–α) = –sen α para qualquer valor de α. A

Fig. 16-5 é um gráfico da Eq. 16-6; a curva não mostra a forma de onda. (A Fig.

16-4 mostra a forma de onda e é uma imagem da realidade; a Fig. 16-5 é um gráfico de uma função do tempo e, portanto, é uma abstração.)

Definimos o período T de oscilação de uma onda como o tempo que um

elemento da corda leva para realizar uma oscilação completa. Um período típico

está indicado no gráfico da Fig. 16-5. Aplicando a Eq. 16-6 às extremidades desse intervalo de tempo e igualando os resultados, obtemos:

 

A Eq. (16-7) é satisfeita apenas se ωT = 2π, o que nos dá

 

O parâmetro ω é chamado de frequência angular da onda; a unidade de frequência angular do SI é o radiano por segundo (rad/s).

Observe novamente os cinco instantâneos de uma onda progressiva mostrados

na Fig. 16-4. Como o intervalo de tempo entre os instantâneos é T/4, no quinto instantâneo, todos os elementos da corda realizaram uma oscilação completa.

A frequência f de uma onda é definida como 1/T e está relacionada à

frequência angular ω pela equação

Do mesmo modo que a frequência do oscilador harmônico simples do Capítulo

 

15, a frequência f de uma onda progressiva é o número de oscilações por unidade de tempo; neste caso, o número de oscilações realizadas por um elemento da

corda. Como no Capítulo 15, f é medida em hertz ou múltiplos do hertz, como, por exemplo, o quilo-hertz (kHz).

 

Teste 1

A figura é a superposição dos instantâneos de três ondas progressivas que se

propagam em cordas diferentes. As fases das ondas são dadas por (a) 2x –

4t, (b) 4x – 8t e (c) 8x – 16t. Que fase corresponde a que onda na figura?

 

Figura 16-6  Uma onda progressiva senoidal no instante t = 0 com uma constante de fase (a) ϕ = 0 e (b) ϕ = π/5 rad.