Fundamentos de Física, Volume 2: Gravitação, Ondas e Termodinâmica
15-3 O Oscilador Harmônico Angular Simples
SIMPLES
Objetivos do Aprendizado
Depois de ler este módulo, você será capaz de ...
15.23 Descrever o movimento de um oscilador harmônico angular simples.
15.24 Conhecer a relação entre o torque τ e o deslocamento angular θ (em relação ao ponto de
equilíbrio) de um oscilador harmônico angular simples.
15.25 Conhecer a relação entre o período T (ou a frequência f), o momento de inércia I e a constante
de torção κ de um oscilador harmônico angular simples.
15.26 Conhecer a relação entre a aceleração angular α, a frequência angular ω e o deslocamento
angular θ de um oscilador harmônico angular simples.
Ideia-Chave
• Um pêndulo de torção consiste em um objeto suspenso por um fio. Quando o fio é torcido e depois liberado, o objeto descreve um movimento harmônico angular simples, cujo período é dado por
em que I é o momento de inércia do objeto em relação ao eixo de rotação e κ é a constante de torção do fio.
O Oscilador Harmônico Angular Simples
A Fig. 15-9 mostra uma versão angular de um oscilador harmônico simples; nesse caso, a elasticidade do sistema está associada à torção de um fio suspenso e não ao alongamento e compressão de uma mola. O dispositivo recebe o nome de pêndulo de torção.
Figura 15-9 O pêndulo de torção é a versão angular do oscilador harmônico linear simples. O disco oscila em um plano horizontal; a reta de referência oscila com amplitude angular θ . A torção do fio m de suspensão armazena energia potencial de forma semelhante a uma mola e produz o torque restaurador.
Quando fazemos girar o disco da Fig. 15-9, produzindo um deslocamento
angular θ a partir da posição de equilíbrio (na qual a reta de referência está em θ = 0), e o liberamos, o disco passa a oscilar em torno dessa posição em um movimento harmônico angular simples. A rotação do disco de um ângulo θ em qualquer sentido produz um torque restaurador dado por
Aqui, κ (letra grega capa) é uma constante, a chamada constante de torção, que depende do comprimento e do diâmetro do fio e do material de que é feito.
A comparação da Eq. 15-22 com a Eq. 15-10 nos leva a suspeitar que a
Eq. 5-22 é a forma angular da lei de Hooke e que podemos transformar a Eq. 15-13, que fornece o período do MHS linear, na equação para o período do MHS angular: Substituímos a constante elástica κ na Eq. 15-13 pela constante equivalente, a constante κ da Eq. 15-22, e substituímos a massa m da Eq. 15-13 pela grandeza equivalente, o mo-mento de inércia I do disco. Essas substituições levam a que é a equação correta para o período de um oscilador harmônico angular simples ou pêndulo de torção.
Exemplo 15.04 Momento de inércia e
período de um oscilador harmônico angular
simples
A Fig. 15-10a mostra uma barra fina cujo comprimento L é 12,4 cm e
cuja massa m é 135 g, suspensa em fio longo pelo ponto médio. O
valor do período do oscilador harmônico angular formado pela barra e
o fio é T = 2,53 s. Quando um objeto de forma irregular, que vamos a
chamar de objeto X, é pendurado no mesmo fio, como na Fig. 15-10b,
e o valor do período aumenta para T = 4,76 s. Qual é o momento de b
inércia do objeto X em relação ao eixo de suspensão?
IDEIA-CHAVE
O momento de inércia tanto da barra quanto do objeto X está
relacionado ao período pela Eq. 15-23.
Cálculos: Na Tabela 10-2e, o momento de inércia de uma barra
em torno de um eixo perpendicular passando pelo ponto médio é dado
por . Assim, para a barra da Fig. 15-10a, temos:
Vamos agora escrever a Eq. 15-23 duas vezes: uma vez para a barra e
outra para o objeto X:
A constante κ, que é uma propriedade do fio, é a mesma nos dois
casos; apenas os períodos e os momentos de inércia são diferentes.