15-6 Oscilações Forçadas e Ressonância

RESSONÂNCIA

Objetivos do Aprendizado

Depois de ler este módulo, você será capaz de ...

15.43 Saber a diferença entre a frequência angular natural ω e a frequência angular forçada ω . f

15.44 No caso de um oscilador forçado, desenhar o gráfico da amplitude das oscilações em função da

razão ω /ω entre a frequência angular forçada e a frequência angular natural, localizar a f

frequência de ressonância aproximada e indicar o efeito do aumento da constante de

amortecimento.

15.45 Saber que a ressonância acontece quando a frequência angular forçada ω é igual à frequência f

angular natural ω.

Ideias-Chave

• Se uma força externa cuja frequência angular é ω é aplicada a um sistema cuja frequência angular f natural é ω, o sistema oscila com uma frequência angular ω . f • A amplitude v da velocidade do sistema é máxima quando m

ω = ω, f

uma situação conhecida como ressonância. Nessas condições, a amplitude x das oscilações está m próxima do valor máximo.

Oscilações Forçadas e Ressonância Uma pessoa que se balança em um balanço sem que ninguém a empurre constitui um exemplo de oscilações livres. Quando alguém empurra o balanço periodicamente, diz-se que o balanço está executando oscilações forçadas. No caso de um sistema que executa oscilações forçadas, existem duas frequências angulares características, que são: (1) a frequência angular natural ω, que é a frequência angular com a qual o sistema oscilaria livremente depois de sofrer uma perturbação brusca de curta duração; (2) a frequência angular ω , da força externa, que produz as f oscilações forçadas.

Figura 15-18  A amplitude do deslocamento x de um oscilador forçado varia quando a frequência m angular ω da força externa varia. As curvas da figura correspondem a três valores diferentes da f

constante de amortecimento b.

Podemos usar a Fig. 15-16 para representar um oscilador harmônico

simples forçado ideal, se supusermos que a estrutura indicada como “suporte rígido” se move para cima e para baixo com uma frequência angular variável ω . Um oscilador forçado desse tipo oscila com a f

frequência angular ω da força externa, e seu deslocamento x(t) é dado por f

em que x é a amplitude das oscilações. m

A amplitude do deslocamento x é uma função complicada de ω e ω . A m f

amplitude da velocidade v das oscilações é mais simples de descrever; é m

máxima para

uma situação conhecida como ressonância. A Eq. 15-46 expressa também, aproximadamente, a situação para a qual a amplitude do deslocamento, x , m é máxima. Assim, se empurramos um balanço com a frequência angular natural de oscilação, as amplitudes do deslocamento e da velocidade atingem valores elevados, um fato que as crianças aprendem depressa por tentativa e erro. Quando empurramos o balanço com outra frequência angular, maior ou menor, as amplitudes do deslocamento e da velocidade são menores.

A Fig. 15-18 mostra a variação da amplitude do deslocamento de um

oscilador com a frequência angular ω da força externa para três valores do f coeficiente de amortecimento b. Observe que, para os três valores, a amplitude é aproximadamente máxima para ω /ω = 1 (a condição de f

ressonância da Eq. 15-46). As curvas da Fig. 15-18 mostram que a um amortecimento menor está associado um pico de ressonância mais alto e mais estreito.

Exemplos. Todas as estruturas mecânicas possuem uma ou mais

frequências angulares naturais; se a estrutura é submetida a uma força externa cuja frequência angular coincide com uma dessas frequências angulares naturais, as oscilações resultantes podem fazer com que a estrutura se rompa. Assim, por exemplo, os projetistas de aeronaves devem se certificar de que nenhuma das frequências angulares naturais com as quais uma asa pode oscilar coincide com a frequência angular dos motores durante o voo. Uma asa que vibrasse violentamente para certas velocidades dos motores obviamente tornaria qualquer voo muito perigoso.

A ressonância parece ter sido uma das causas do desabamento de muitos

edifícios na Cidade do México em setembro de 1985, quando um grande terremoto (8,1 na escala Richter) aconteceu na costa oeste do México. As ondas sísmicas do terremoto eram provavelmente fracas demais para causar grandes danos quando chegaram à Cidade do México, a cerca de 400 km de distância. Entretanto, a Cidade do México foi, em sua maior parte, construída no leito de um antigo lago, uma região onde o solo ainda é úmido e macio. Embora fosse pequena no solo firme a caminho da Cidade do México, a amplitude das ondas sísmicas aumentou consideravelmente no solo macio da cidade. A amplitude da aceleração das ondas chegou a 0,2g, e a frequência angular se concentrou (surpreendentemente) em torno de 3 rad/s. Não só o solo oscilou violentamente, mas muitos edifícios de altura intermediária tinham frequências de ressonância da ordem de 3 rad/s. A

maioria desses edifícios desabou durante os tremores (Fig. 15-19), enquanto edifícios mais baixos (com frequência angular de ressonância maior) e mais altos (com frequência angular de ressonância menor) permaneceram de pé.

Durante um terremoto semelhante, ocorrido em 1989 na região de San

Francisco-Oakland, uma oscilação ressonante atingiu parte de uma rodovia, fazendo desabar a pista superior sobre a pista inferior. Essa parte da rodovia tinha sido construída em um aterro mal compactado.