Ondas Sonoras Progressivas

17.10 Desenhar um gráfico da variação de pressão Δp(x) de um elemento em função da posição e

indicar a amplitude Δp e o comprimento de onda λ. m

17.11 Conhecer a relação entre a amplitude da variação de pressão Δp e a amplitude do m

deslocamento s . m

17.12 Dado um gráfico do deslocamento s em função do tempo t para uma onda sonora, determinar a

amplitude s e o período T do deslocamento. m

17.13 Dado um gráfico da variação de pressão Δp em função do tempo t para uma onda sonora,

determinar a amplitude Δp e o período T da variação de pressão. m

 

Ideias-Chave

• Uma onda sonora de comprimento de onda λ e frequência f produz um deslocamento longitudinal s de um elemento de massa do ar que pode ser descrito pela equação

 

s = s cos(kx – ωt), m

 

em que s é a amplitude do deslocamento, k = 2π/λ e ω = 2πf. m

• Uma onda sonora também produz uma variação Δp da pressão do ar que pode ser descrita pela equação

 

Δp = Δp sen(kx – ωt), m

 

em que a amplitude da variação de pressão é

 

Δp = (vρω)s . m m

 

Ondas Sonoras Progressivas

Vamos agora examinar os deslocamentos e as variações de pressão

associados a uma onda sonora senoidal que se propaga no ar. A Fig. 17-4a mostra uma onda se propagando para a direita em um tubo longo, cheio de

ar. Como vimos no Capítulo 16, uma onda desse tipo pode ser produzida movendo senoidalmente um êmbolo na extremidade esquerda do tubo

(como na Fig. 16-2). O movimento do êmbolo para a direita desloca o elemento de ar mais próximo e comprime o ar; o movimento do êmbolo para a esquerda permite que o elemento de ar se desloque de volta para a esquerda e que a pressão diminua. Como cada elemento de ar afeta o elemento que está ao lado, os movimentos do ar para a direita e para a esquerda e as variações de pressão se propagam ao longo do tubo na forma de uma onda sonora.

 

Figura 17-4  (a) Uma onda sonora que se propaga com velocidade v em um tubo longo, cheio de ar, é composta por uma série de expansões e compressões periódicas do ar que se desloca ao longo do tubo. A onda é mostrada em um instante arbitrário. (b) Uma vista horizontal ampliada de uma pequena parte do tubo. Quando a onda passa, um elemento de ar de espessura Δx oscila para a esquerda e para a direita em um movimento harmônico simples em torno da posição de equilíbrio. No instante mostrado em (b), o elemento se encontra deslocado de uma distância s para a direita da posição de equilíbrio. O deslocamento máximo, para a direita ou para a esquerda, é s . m

 

Considere o elemento de ar de espessura Δx da Fig. 17-4b. Quando a

onda atravessa essa parte do tubo, o elemento de ar oscila para a esquerda e para a direita em um movimento harmônico simples em torno da posição de equilíbrio. Assim, as oscilações dos elementos de ar produzidas pela onda sonora progressiva são semelhantes às oscilações dos elementos de uma corda produzidas por uma onda transversal, exceto pelo fato de que a oscilação dos elementos de ar é longitudinal, em vez de transversal. Como os elementos da corda oscilam paralelamente ao eixo y, escrevemos os deslocamentos na forma y(x, t). Por analogia, como os elementos de ar oscilam paralelamente ao eixo x, poderíamos escrever os deslocamentos na forma x(x, t); entretanto, para evitar confusão da função x com a variável x, vamos usar a notação s(x, t).

Deslocamento. Para representar os deslocamentos s(x, t) como funções

senoidais de x e de t, poderíamos usar uma função seno ou uma função cosseno. Neste capítulo, vamos usar uma função cosseno, escrevendo

 

A Fig. 17-5a identifica as várias partes da Eq. 17-12. O fator s é a m amplitude do deslocamento, ou seja, o deslocamento máximo do elemento

de ar em qualquer sentido a partir da posição de equilíbrio (veja a Fig. 17-

4b). O número de onda k, a frequência angular v, a frequência f, o comprimento de onda λ, a velocidade v e o período T de uma onda sonora (longitudinal) são definidos do mesmo modo e obedecem às mesmas relações que para uma onda transversal, exceto pelo fato de que agora λ é a distância (na direção de propagação) para a qual o padrão de compressões e

expansões associado à onda começa a se repetir (veja a Fig. 17-4a). (Estamos supondo que s é muito menor do que λ.) m

Pressão. Quando a onda se propaga, a pressão do ar em qualquer posição

x da Fig. 17-4a varia senoidalmente, como será demonstrado a seguir. Para descrever essa variação, escrevemos

 

A Fig. 17-5b identifica as várias partes da Eq. 17-13. Um valor negativo de Δp na Eq. 17-13 corresponde a uma expansão do ar; um valor positivo, a uma compressão. O fator Δp é a amplitude da pressão, ou seja, o máximo m

aumento ou diminuição de pressão associado à onda; Δp é normalmente m muito menor que a pressão p na ausência da onda. Como vamos demonstrar, a amplitude da pressão Δp está relacionada à amplitude do m deslocamento s da Eq. 17-12 pela equação m

Figura 17-5  (a) A função deslocamento e (b) a função variação de pressão de uma onda sonora progressiva são produtos de dois fato? res: uma amplitude e um termo oscilatório.

 

 

A Fig. 17-6 mostra os gráficos das Eqs. 17-12 e 17-13 no instante t = 0;

com o passar do tempo, as duas curvas se movem para a direita ao longo do eixo horizontal. Note que o deslocamento e a variação de pressão estão defasados de π/2 rad (ou 90°). Assim, por exemplo, a variação de pressão Δp em qualquer ponto da onda é nula no instante em que o deslocamento é máximo.

 

Figura 17-6  (a) Um gráfico da função desloca? mento (Eq. 17-12) para t = 0. (b) Um gráfico semelhante da função variação de pressão (Eq. 17-13). Os dois gráficos são para uma onda sonora de 1000 Hz cuja amplitude de pressão está no limiar da dor.

Teste 1

Quando o elemento de ar oscilante da Fig. 17-4b acabou de passar pelo

ponto de deslocamento nulo (ponto de equilíbrio), a pressão do

elemento está começando a aumentar ou começando a diminuir?

 

Demonstração das Eqs. 17-13 e 17-14

A Fig. 17-4b mostra um elemento de ar oscilante de seção reta A e espessura Δx, com o centro deslocado de uma distância s em relação à posição de equilíbrio. De acordo com a Eq. 17-2, podemos escrever, para a variação de pressão do elemento deslocado,

 

A grandeza V da Eq. 17-15 é o volume do elemento, dado por

 

A grandeza ΔV da Eq. 17-15 é a variação de volume que ocorre quando o elemento é deslocado. Essa variação de volume acontece porque os deslocamentos das duas extremidades do elemento não são exatamente iguais, diferindo de um valor Δs. Assim, podemos escrever a variação de volume como

 

Substituindo as Eqs. 17-16 e 17-17 na Eq. 17-15 e passando ao limite

diferencial, obtemos

 

O símbolo ∂ é usado para indicar que a derivada da Eq. 17-18 é uma derivada parcial, que nos diz como s varia com x quando o tempo t é mantido constante. De acordo com a Eq. 17-12, tratando t como uma constante, temos

Substituindo este resultado para a derivada parcial na Eq. 17-18, obtemos

 

 

Δp = Bks sen(kx – ωt). m

 

Isso significa que a pressão é uma função senoidal do tempo e que a amplitude da variação é igual ao produto de três fatores que multiplica a função seno. Fazendo Δp = Bks , obtemos a Eq. 17-13, que queríamos m m demonstrar.

Usando a Eq. 17-3, podemos agora escrever

 

Δp = (Bk)s = (v2ρk)s . m m m

 

A Eq. 17-14, que também queríamos demonstrar, é obtida usando a Eq. 16-12 para substituir k por ω/v.

 

Exemplo 17.01 Amplitude da pressão e

amplitude do deslocamento

A amplitude máxima de pressão Δp que o ouvido humano pode m

suportar, associada a sons muito altos, é da ordem de 28 Pa (muito

menor, portanto, que a pressão normal do ar, aproximadamente 105

Pa). Qual é a amplitude do deslocamento s correspondente, supondo m

que a massa específica do ar é ρ = 1,21 kg/m3, a frequência do som é

1000 Hz e a velocidade do som é 343 m/s?

 

IDEIA-CHAVE

A amplitude do deslocamento s de uma onda sonora está relacionada m

à amplitude da pressão Δp da onda pela Eq. 17-14. m

 

Cálculos: Explicitando s na Eq. 17-14, obtemos m