Fontes de Sons Musicais

 

em que v é a velocidade do som do ar no interior do tubo. • As frequências de ressonância de um tubo aberto em uma das extremidades são dadas por

 

Fontes de Sons Musicais

Os sons musicais podem ser produzidos pelas oscilações de cordas (violão, piano, violino), membranas (tímpano, tambor), colunas de ar (flauta, oboé,

tubos de órgão e o didjeridu da Fig. 17-12), blocos de madeira ou barras de aço (marimba, xilofone) e muitos outros corpos. Na maioria dos instrumentos, as oscilações envolvem mais de uma peça.

Como vimos no Capítulo 16, é possível produzir ondas estacionárias em

uma corda mantida fixa nas duas extremidades porque as ondas que se propagam na corda são refletidas em cada extremidade. Para certos valores do comprimento de onda, a combinação das ondas que se propagam em sentidos opostos produz uma onda estacionária (ou modo de oscilação). Os comprimentos de onda para os quais isso acontece correspondem às frequências de ressonância da corda. A vantagem de produzir ondas estacionárias é que, nessas condições, a corda oscila com grande amplitude, movimentando periodicamente o ar ao redor e produzindo assim uma onda sonora audível com a mesma frequência que as oscilações da corda. Essa forma de produzir o som é de óbvia importância para, digamos, um guitarrista.

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Figura 17-12  A coluna de ar no interior de um didjeridu (um “tubo”) oscila quando o instrumento é tocado.

 

Ondas Sonoras. Podemos usar um método semelhante para produzir

ondas sonoras estacionárias em um tubo cheio de ar. As ondas que se propagam no interior de um tubo são refletidas nas extremidades do tubo. (A reflexão ocorre, mesmo que uma das extremidades esteja aberta, embora, nesse caso, a reflexão não seja tão completa.) Para certos comprimentos de onda das ondas sonoras, a superposição das ondas que se propagam no tubo em sentidos opostos produz uma onda estacionária. Os comprimentos de onda para os quais isso acontece correspondem às frequências de ressonância do tubo. A vantagem de produzir ondas estacionárias é que, nessas condições, o ar no interior do tubo oscila com grande amplitude, movimentando periodicamente o ar ao redor e produzindo assim uma onda sonora audível com a mesma frequência que as oscilações do ar no tubo. Essa forma de produzir o som é de óbvia importância para, digamos, um organista.

Muitos outros aspectos das ondas sonoras estacionárias são semelhantes

aos das ondas em cordas: A extremidade fechada de um tubo é como a extremidade fixa de uma corda, pois deve existir um nó (deslocamento nulo) no local; a extremidade aberta de um tubo é como a extremidade de

uma corda presa a um anel que se move livremente, como na Fig. 16-19b, pois deve existir um antinó (deslocamento máximo) no local. (Na verdade, o antinó associado à extremidade aberta de um tubo está localizado a uma pequena distância do lado de fora da extremidade, mas isso é irrelevante para nossa discussão.)

Duas Extremidades Abertas. A Fig. 17-13a mostra a onda estacionária

mais simples que pode ser produzida em um tubo com as duas extremidades abertas. Há um antinó em cada extremidade e um nó no ponto médio do tubo. Um modo mais simples de representar uma onda sonora longitudinal

estacionária é mostrado na Fig. 17-13b, na qual a onda sonora foi desenhada como se fosse uma onda em uma corda (no caso da onda sonora, a coordenada perpendicular à direção de propagação da onda representa uma variação de pressão, e não um deslocamento no espaço).

 

Figura 17-13  (a) O padrão de deslocamento mais simples para uma onda sonora (longitudinal) estacionária em um tubo com as duas extremidades abertas possui um antinó (A) em cada extremidade e um nó (N) no ponto médio do tubo. (Os deslocamentos longitudinais, representados pelas setas duplas, estão muito exagerados.) (b) O padrão correspondente para uma onda transversal em uma corda.

Figura 17-14  Ondas estacionárias em tubos, representadas por curvas de pressão em função da posição. (a) Com as duas extremidades do tubo abertas, qualquer harmônico pode ser produzido no tubo. (b) Com uma extremidade aberta, apenas os harmônicos ímpares podem ser produzidos.

 

A onda estacionária da Fig. 17-13a é chamada de modo fundamental ou

primeiro harmônico. Para produzi-la, as ondas sonoras em um tubo de

comprimento L devem ter um comprimento de onda tal que λ = 2L. A Fig.

17-14a mostra outras ondas sonoras estacionárias que podem ser produzidas em um tubo com as duas extremidades abertas (usando a representação da

Fig. 17-13b). No caso do segundo harmônico, o comprimento das ondas sonoras é λ = L, no caso do terceiro harmônico é λ = 2L/3, e assim por diante.

No caso geral, as frequências de ressonância de um tubo de comprimento

L com as duas extremidades abertas correspondem a comprimentos de onda dados por

 

em que n é o número do harmônico. Chamando de v a velocidade do som, podemos escrever as frequências de ressonância de um tubo aberto nas duas extremidades como

 

Uma Extremidade Aberta. A Fig. 17-14b mostra algumas ondas sonoras

estacionárias que podem ser produzidas em um tubo aberto apenas em uma das extremidades. Nesse caso, há um antinó na extremidade aberta e um nó na extremidade fechada. O modo mais simples é aquele no qual λ = 4L. No segundo modo mais simples, λ = 4L/3, e assim por diante.

No caso geral, as frequências de ressonância de um tubo de comprimento

L com uma extremidade aberta e a outra fechada correspondem a comprimentos de onda dados por

 

em que o número do harmônico n é um número ímpar. As frequências de ressonância são dadas por

 

Observe que apenas os harmônicos ímpares podem existir em um tubo aberto em uma das extremidades. O segundo harmônico, com n = 2, por exemplo, não pode ser produzido. Note também que, em tubos desse tipo, uma expressão como “terceiro harmônico” ainda se refere ao modo cujo número harmônico é 3 e não ao terceiro harmônico possível. Finalmente, observe que as Eqs. 17-38 e 17-39, que se aplicam a tubos abertos nas duas extremidades, contêm o número 2 e qualquer valor inteiro de n, enquanto as Eqs. 17-40 e 17-41, que se aplicam a tubos abertos em uma das extremidades, contêm o número 4 e apenas valores ímpares de n.

Figura 17-15  As famílias do saxofone e do violino, mostrando a relação entre o comprimento do instrumento e a faixa de frequên cias. A faixa de frequências de cada instrumento é indicada por uma barra horizontal em uma escala de frequências definida pelo teclado de piano na parte inferior da figura; as frequências aumentam da esquerda para a direita.

 

Comprimento. O comprimento de um instrumento musical está ligado à

faixa de frequências em que o instrumento foi projetado para cobrir; comprimentos menores estão associados a frequências mais altas, como pode ser visto na Eq. 16-66, no caso dos instrumentos de corda, e nas Eqs.

17-39 e 17-41, no caso dos instrumentos de sopro. A Fig. 17-15, por exemplo, mostra as famílias do saxofone e do violino, com as faixas de frequências definidas pelo teclado de um piano. Observe que, para cada instrumento, existe uma superposição com os instrumentos vizinhos, projetados para frequências mais altas e para frequências mais baixas.

Onda Resultante. Os sistemas oscilatórios dos instrumentos musicais,

como a corda de um violino e o ar de um tubo de órgão, geram, além do modo fundamental, certo número de harmônicos superiores. Todos esses modos são ouvidos simultaneamente, superpostos para formar uma onda resultante. Quando diferentes instrumentos tocam a mesma nota, eles produzem a mesma frequência fundamental, mas os harmônicos superiores têm intensidades diferentes. Assim, por exemplo, o quarto harmônico do dó médio pode ser forte em um instrumento e fraco, ou mesmo ausente, em outro instrumento. É por isso que os instrumentos produzem sons diferentes, mesmo quando tocam a mesma nota. Esse é o caso das duas

ondas resultantes mostradas na Fig. 17-16, que foram produzidas por diferentes instrumentos tocando a mesma nota musical.

 

Figura 17-16  Formas de onda produzidas (a) por uma flauta e (b) por um oboé quando uma nota com a mesma frequência fundamental é tocada nos dois instrumentos.

Teste 3

O tubo A, de comprimento L, e o tubo B, de comprimento 2L, têm as

duas extremidades abertas. Que harmônico do tubo B possui a mesma

frequência que o modo fundamental do tubo A?

 

Exemplo 17.05 Ressonância em tubos de

diferentes comprimentos

O tubo A é aberto nas duas extremidades e tem um comprimento L = A

0,343 m. Queremos colocá-lo nas proximidades de três outros tubos

nos quais existem ondas estacionárias para que o som produza uma

onda estacionária no tubo A. Os três tubos são fechados em uma

extremidade e têm comprimentos L = 0,500L , L = 0,250L e L = B A C A D

2,00L . Para cada um dos tubos, qual é a ordem do harmônico capaz de A

excitar um harmônico no tubo A?

 

IDEIAS-CHAVE

(1) O som de um tubo só pode produzir uma onda estacionária em

outro tubo se os dois tubos tiverem um harmônico em comum. (2) As

frequências dos harmônicos de um tubo aberto nas extremidades (tubo

simétrico) são dadas pela Eq. 17-39: f = nv/2L, em que n = 1, 2, 3, ...,

ou seja, qualquer número inteiro positivo. (3) As frequências dos

harmônicos de um tubo aberto em apenas uma extremidade (tubo

assimétrico) são dadas pela Eq. 17-41: f = nv/4L, em que n = 1, 3, 5, ...,

ou seja, qualquer número inteiro positivo ímpar.

 

Tubo A: Vamos calcular primeiro as frequências de ressonância do

tubo simétrico A. De acordo com a Eq. 17-39, temos:

Os primeiros seis harmônicos aparecem na linha de cima da Fig. 17-

17.

 

Tubo B: Em seguida, vamos calcular as frequências de ressonância

do tubo assimétrico B. De acordo com a Eq. 17-41, temos (tomando o

cuidado de usar apenas números ímpares):

 

Comparando os dois resultados, constatamos que a todos os valores de

n corresponde um valor de n : B A

 

Assim, por exemplo, como mostra a Fig. 17-17, se produzirmos o

quinto harmônico no tubo B e aproximarmos o tubo B do tubo A, o

quinto harmônico do tubo A será excitado. Por outro lado, nenhum

harmônico do tubo B pode excitar um harmônico par no tubo A.

 

Tubo C: No caso do tubo C, a Eq. 17-41 nos dá

 

Assim, os harmônicos do tubo C podem excitar apenas os harmônicos

do tubo A que correspondem ao dobro de um número ímpar.

 

Tubo D: Finalmente, no caso do tubo D, a Eq. 17-41 nos dá