Circuitos com Mais de uma Malha

• Quando duas ou mais resistências estão em paralelo, elas são submetidas à mesma diferença de potencial. A resistência equivalente de uma associação em paralelo de várias resistências é dada por

 

Figura 27-9 Circuito com mais de uma malha, formado por três ramos: o ramo da esquerda bad, o ramo da direita bcd e o ramo central bd. O circuito também contém três malhas: a malha da esquerda badb, a malha da direita bcdb e a malha externa badcb.

 

Circuitos com Mais de uma Malha

A Fig. 27-9 mostra um circuito com mais de uma malha. Para simplificar a análise, vamos supor que as fontes são ideais. Existem dois nós no circuito, nos pontos b e d, e três ramos ligando os nós: o ramo da esquerda (bad), o ramo da direita (bcd) e o ramo central (bd). Quais são as correntes nos três ramos?

Vamos rotular arbitrariamente as correntes, usando um índice diferente para cada ramo. A

corrente i1 tem o mesmo valor em todos os pontos do ramo bad, i2 tem o mesmo valor em todos os pontos do ramo bcd, e i tem o mesmo valor em todos os pontos do ramo bd. Os sentidos das correntes 3

foram escolhidos arbitrariamente.

Considere o nó d. As cargas entram no nó pelas correntes i e i e deixam o nó pela corrente i . 1 3 2

Como a carga total não pode mudar, a corrente total que chega tem que ser igual à corrente total que sai:

 

Podemos verificar facilmente que a aplicação dessa condição ao nó b leva à mesma equação. A Eq. 27-

18 sugere o seguinte princípio geral:

 

REGRA DOS NÓS: A soma das corrente que entram em um nó é igual à soma das correntes que

saem do nó.

 

Essa regra também é conhecida como lei dos nós de Kirchhoff (ou lei das correntes de Kirchhoff). Trata-se simplesmente de outra forma de enunciar a lei de conservação da carga: a carga não pode ser criada nem destruída em um nó. Nossas ferramentas básicas para resolver circuitos complexos são, portanto, a regra das malhas (baseada na lei de conservação da energia) e a regra dos nós (baseada na lei da conservação da carga).

A Eq. 27-18 envolve três incógnitas. Para resolver o circuito (ou seja, para determinar o valor das

três correntes), precisamos de mais duas equações independentes que envolvam as mesmas variáveis.

Podemos obtê-las aplicando duas vezes a regra das malhas. No circuito da Fig. 27-9, temos três malhas: a malha da esquerda (badb), a malha da direita (bcdb) e a malha externa (badcb). A escolha das duas malhas é arbitrária; vamos optar pelas malhas da esquerda e da direita.

Percorrendo a malha da esquerda no sentido anti-horário a partir do ponto b, obtemos

 

Percorrendo a malha da direita no sentido anti-horário a partir do ponto b, obtemos

 

Agora dispomos de três equações (Eqs. 27-18, 27-19 e 27-20) tendo como incógnitas as três correntes; esse sistema de equações pode ser resolvido por várias técnicas.

Se tivéssemos aplicado a regra das malhas à malha externa, teríamos obtido (percorrendo a malha

no sentido anti-horário a partir do ponto b) a seguinte equação:

1 1 1 2 2 2 – i R – i R – = 0.

Esta equação pode parecer uma informação nova, mas é, na verdade, a soma das Eqs. 27-19 e 27-20 e, portanto, não constitui uma terceira equação independente obtida a partir da regra das malhas. (Por

outro lado, poderia ser usada para resolver o problema em combinação com a Eq. 27-18 e a Eq. 27-19

ou a Eq. 27-20.)

 

Resistências em Paralelo

A Fig. 27-10a mostra três resistências ligadas em paralelo a uma fonte ideal de força eletromotriz . O termo “em paralelo” significa que as três resistências estão ligadas entre si nas duas extremidades. Assim, todas estão sujeitas à mesma diferença de potencial aplicada pela fonte. No caso geral,

 

Quando uma diferença de potencial V é aplicada a resistências ligadas em paralelo, todas as

resistências são submetidas à mesma diferença de potencial V.

 

Na Fig. 27-10a, a diferença de potencial aplicada V é mantida pela fonte. Na Fig. 27-10b, as três

resistências em paralelo foram substituídas por uma resistência equivalente Req.

 

Resistências ligadas em paralelo podem ser substituídas por uma resistência equivalente Req com a

mesma diferença de potencial V e a mesma corrente total i que as resistências originais.

Figura 27-10 (a) Três resistores ligados em paralelo entre os pontos a e b. (b) Circuito equivalente, com os três resistores substituídos por uma resistência equivalente R . eq

 

Para determinar o valor da resistência Req da Fig. 27-10b, escrevemos as correntes nas resistências

da Fig. 27-10a na forma

 

em que V é a diferença de potencial entre a e b. Aplicando a regra dos nós ao ponto a da Fig. 27-10a e substituindo as correntes por seus valores, temos

 

Quando substituímos as resistências em paralelo pela resistência equivalente Req (Fig. 27-10b), obtemos

 

Comparando as Eqs. 27-21 e 27-22, temos

 

Generalizando esse resultado para o caso de n resistências, temos

 

No caso de duas resistências, a resistência equivalente é o produto das resistências dividido pela soma, ou seja,

Note que, se duas ou mais resistências estão ligadas em paralelo, a resistência equivalente é

menor que a menor das resistências. A Tabela 27-1 mostra as relações de equivalência para resistores e capacitores em série e em paralelo.

Tabela 27-1 Resistores e Capacitores em Série e em Paralelo

 

Em série Em paralelo Em série Em paralelo

Resistores Capacitores

 

A corrente é a A diferença de A carga é a A diferença de potencial

mesma em todos potencial é a mesma mesma em todos é a mesma em todos os

os resistores em todos os resistores os capacitores capacitores

 

Teste 4

Uma fonte com uma diferença de potencial V entre os terminais é ligada a uma combinação de

dois resistores iguais e passa a conduzir uma corrente i. Qual é a diferença de potencial e qual a

corrente em um dos resistores, se os resistores estiverem ligados (a) em série e (b) em paralelo?

 

Exemplo 27.02 Resistores em paralelo e em série

A Fig. 27-11a mostra um circuito com mais de uma malha formado por uma fonte ideal e quatro

resistências com os seguintes valores:

R1 = 20 Ω, R2 = 20 Ω, = 12 V, R3 = 30 Ω, R4 = 8,0 Ω.

(a) Qual é a corrente na fonte?

 

IDEIA-CHAVE

Observando que a corrente na fonte é a mesma que em R1, vemos que é possível determinar a

corrente aplicando a regra das malhas a uma malha que inclui R1, já que a diferença de potencial

entre os terminais de R depende dessa corrente. 1

Método incorreto: As duas malhas que se prestam a esse papel são a malha da esquerda e a

malha externa. Observando que a seta que representa a força eletromotriz aponta para cima e,

portanto, a corrente na fonte tem o sentido horário, podemos aplicar a regra das malhas à malha

da esquerda, começando no ponto a e percorrendo a malha no sentido horário. Chamando de i a

corrente na fonte, temos

+ – iR – iR – iR = 0 (incorreta). 1 2 4

Esta equação, porém, é incorreta, porque parte do pressuposto de que as correntes nas

resistências R1, R2 e R4 são iguais. As correntes em R1 e R4 são realmente iguais, já que a corrente

que passa por R também passa pela fonte e por R sem mudar de valor. Entretanto, essa corrente 4 1

se divide ao chegar ao nó b: uma parte da corrente passa por R2 e uma parte passa por R3.

Método ineficaz: Para distinguir as várias correntes presentes no circuito, devemos rotulá-las,

como na Fig. 27-11b. Em seguida, começando no ponto a, podemos aplicar a regra das malhas à

malha da esquerda, no sentido horário, para obter

+ – i R – i R – i R = 0. 1 1 2 2 1 4

Infelizmente, essa equação contém duas incógnitas, i 1 e i2; necessitamos de pelo menos mais uma

equação para resolver o problema.

Método eficaz: Uma tática muito melhor é simplificar o circuito da Fig. 27-11b usando

resistências equivalentes. Observe que R e R não estão em série e, portanto, não podem ser 1 2

substituídas por uma resistência equivalente; entretanto, R2 e R3 estão em paralelo, de modo que

podemos usar a Eq. 27-24 ou a Eq. 27-25 para calcular o valor da resistência equivalente R . De 23

acordo com a Eq. 27-25,

 

Podemos agora desenhar o circuito como na Fig. 27-11c; observe que a corrente em R deve ser 23

i1, já que as mesmas cargas que passam por R1 e R4 também passam por R23. Para esse circuito

simples, com uma única malha, a regra das malhas (aplicada no sentido horário, a partir do ponto

a, como na Fig. 27-11d), nos dá

+ – i1R1 – i1R23 – i2R4 = 0

Substituindo os valores dados, obtemos

12 V – i 1(20 Ω) – i1(12 Ω) – i1(8,0 Ω) = 0,

e, portanto,

 

(b) Qual é a corrente i2 em R2?

 

IDEIAS-CHAVE

(1) Podemos começar com o circuito equivalente da Fig. 27-11d, no qual R e R foram 2 3

substituídas por R23. (2) Como R2 e R3 estão em paralelo, elas estão submetidas à mesma diferença

de potencial, que também é a mesma de R . 23

Cálculos: Sabemos que a corrente em R23 é i1 = 0,30 A. Assim, podemos usar a Eq. 26-8 (R =

V/i) e a Fig. 27-11e para calcular a diferença de potencial V em R : 23 23

V = i R = (0,30 A)(12 Ω) = 3,6 V. 23 1 23

Isso significa que a diferença de potencial em R também é 3,6 V (Fig. 27-11f). De acordo com a 2

Eq. 26-8 e a Fig. 27-11g, a corrente i2 em R2 é dada por

 

(c) Qual é a corrente i em R ? 3 3

 

IDEIAS-CHAVE

Podemos encontrar a resposta de duas formas: (1) Usando a Eq. 26-8, como no item (b). (2)

Usando a regra dos nós, segundo a qual, no ponto b da Fig. 27-11b, a corrente que entra, i 1, e as

correntes que saem, i2 e i3, estão relacionadas pela equação

i 1 = i2 + i3.

Cálculo: Explicitando i 3 na equação anterior, obtemos o resultado que aparece na Fig. 27-11g:

Figura 27-11 (a) Circuito com uma fonte ideal. (b) Escolha de nomes e sentidos para as

correntes. (c) Substituição de resistores em paralelo por um resistor equivalente. (d)-(g)

Substituição inversa para determinar as correntes nos resistores em paralelo.

 

Exemplo 27.03 Muitas fontes reais em série e em paralelo em

um peixe elétrico

Os peixes elétricos são capazes de gerar correntes elétricas com o auxílio de células chamadas

eletroplacas, que são fontes de tensão biológicas. No peixe elétrico conhecido como poraquê, as

eletroplacas estão dispostas em 140 linhas longitudinais, com cerca de 5000 eletroplacas cada

uma, como mostrado na Fig. 27-12a. Cada eletroplaca tem uma força eletromotriz de 0,15 V e

uma resistência interna r de 0,25 τ. A água em torno da enguia completa o circuito entre as

extremidades do conjunto de eletroplacas — uma situada na cabeça do animal e a outra situada na

cauda.

(a) Se a água em torno da enguia tem uma resistência R = 800 τ, qual é o valor da corrente que o a

animal é capaz de produzir na água?

 

IDEIA-CHAVE

Podemos simplificar o circuito da Fig. 27-12a substituindo combinações de fontes e resistências

internas por fontes e resistências equivalentes.

Cálculos: Considere uma linha. A força eletromotriz total linha de 5000 eletroplacas ligadas em

série é a soma das forças eletromotrizes:

linha = 5000 = (5000)(0,15 V) = 750 V.

 

A resistência total Rlinha de uma linha é a soma das resistências internas das 5000 eletroplacas:

Rlinha = 5000r = (5000)(0,25 Ω) = 1250 Ω.

Podemos agora representar cada uma das 140 linhas por uma única força eletromotriz linha e uma

única resistência Rlinha (Fig. 27-12b).

Na Fig. 27-12b, a força eletromotriz entre o ponto a e o ponto b em todas as linhas é = linha

750 V. Como as linhas são iguais e estão todas ligadas ao ponto a da Fig. 27-12b, o potencial é o

mesmo em todos os pontos b da figura. Assim, podemos imaginar que todos os pontos b estão

ligados entre si, formando um único ponto b. Uma vez que a força eletromotriz entre o ponto a e

esse ponto b único é = 750 V, podemos substituir o circuito da Fig. 27-12b pelo circuito da linha

Fig. 27-12c.

 

Figura 27-12 (a) Circuito usado para modelar uma enguia elétrica. Cada eletroplaca do animal

tem uma força eletromotriz e uma resistência interna r. Em cada uma das 140 linhas que se

estendem da cabeça à cauda da enguia existem 5000 eletroplacas. A resistência da água é R . (b) a

A força eletromotriz linha e resistência Rlinha de cada linha. (c) A força eletromotriz entre os pontos

a e b é . Entre os pontos b e c existem 140 resistências R em paralelo. (d) Circuito linha linha

simplificado, com as resistências em paralelo substituídas por uma resistência equivalente Req.

Entre os pontos b e c da Fig. 27-12c existem 140 resistências Rlinha = 1250 τ, todas em paralelo. A

resistência equivalente Req dessa combinação é fornecida pela Eq. 27-24:

 

Substituindo as resistências em paralelo por Req, obtemos o circuito simplificado da Fig. 27-12d.

Aplicando a regra das malhas e percorrendo o circuito no sentido anti-horário a partir do ponto b,

temos

linha a eq – R – iR = 0.

Explicitando i e substituindo os valores conhecidos, obtemos

 

Se a cabeça ou a cauda da enguia está nas proximidades de um peixe, parte dessa corrente pode

passar pelo corpo do peixe, atordoando-o ou matando-o.

(b) Qual é corrente i linha em cada linha da Fig. 27-12a?

 

IDEIA-CHAVE

Como todas as linhas são iguais, a corrente se divide igualmente entre elas.

Cálculo: Podemos escrever:

 

Assim, a corrente em cada linha é pequena, cerca de duas ordens de grandeza menor que a

corrente que circula na água. Como a corrente está bem distribuída no corpo da enguia, o animal

não sofre nenhum incômodo ao produzir uma descarga elétrica.

 

Exemplo 27.04 Circuito com mais de uma malha e o sistema de

equações de malha

A Fig. 27-13 mostra um circuito cujos elementos têm os seguintes valores: 1 = 3,0 V, 2 = 6,0 V,

R = 2,0 Ω, R = 4,0 Ω. As três fontes são ideais. Determine o valor absoluto e o sentido da 1 2

corrente nos três ramos.

IDEIAS-CHAVE

Não vale a pena tentar simplificar o circuito, já que não existem dois resistores em paralelo, e os

resistores que estão em série (no ramo da direita e no ramo da esquerda) são muito fáceis de lidar.

Assim, é melhor aplicar logo de saída as regras dos nós e das malhas.

Regra dos nós: Escolhendo arbitrariamente o sentido das correntes, como mostra a Fig. 27-13,

aplicamos a regra dos nós ao ponto a para escrever

 

Como uma aplicação da regra dos nós ao ponto b fornece apenas uma repetição da Eq. 27-26,

aplicamos a regra das malhas a duas das três malhas do circuito.

 

Figura 27-13 Circuito de duas malhas com três fontes ideais e cinco resistências.

Malha da esquerda: Escolhemos arbitrariamente a malha da esquerda, começamos

arbitrariamente no ponto b e percorremos arbitrariamente a malha no sentido horário, obtendo

–i R + – i R – (i + i )R – = 0, 1 1 1 1 1 1 2 2 2

em que usamos (i1 + i2) em vez de i3 para representar a corrente do ramo central. Substituindo os

valores dados e simplificando, obtemos

 

Malha da direita: Para aplicar a regra das malhas pela segunda vez, escolhemos arbitrariamente

percorrer a malha da direita no sentido anti-horário a partir do ponto b, o que nos dá

–i R + – i R – (i + i )R – = 0, 2 1 2 2 1 1 2 2 2

Substituindo os valores dados e simplificando, obtemos

 

Solução das equações: Agora temos um sistema de duas equações (Eqs. 27-27 e 27-28) e duas

incógnitas (i1 e i2), que podemos resolver “à mão” (o que é fácil, nesse caso) ou usando um

computador. (Um dos métodos mais usados para resolver sistemas de equações envolve o uso da

regra de Cramer, apresentada no Apêndice E para o caso simples de um sistema de duas equações

e duas incógnitas.) O resultado é o seguinte: