Densidade de Corrente

v . d

 

Ideias-Chave

• A corrente i (uma grandeza escalar) está relacionada à densidade de corrente (uma grandeza vetorial) pela equação

 

em que é um vetor perpendicular a um elemento de superfície de área dA, e a integral é calculada para uma seção reta do condutor. A densidade de corrente tem o mesmo sentido que a velocidade dos portadores de corrente, se os portadores de corrente são positivos, e o sentido oposto, se os portadores de corrente são negativos.

• Quando um campo elétrico é criado em um condutor, os portadores de carga adquirem uma velocidade de deriva no sentido de , se forem positivos, e no sentido oposto, se forem negativos. • A velocidade de deriva está relacionada à densidade de corrente pela equação

 

em que ne é a densidade de carga dos portadores.

 

Densidade de Corrente

Às vezes estamos interessados em conhecer a corrente total i em um condutor. Em outras ocasiões, nosso interesse é mais específico e queremos estudar o fluxo de carga através de uma seção reta que se estende apenas a uma parte do material. Para descrever esse fluxo, usamos a densidade de corrente , que tem a mesma direção e o mesmo sentido que a velocidade das cargas que constituem a corrente, se as cargas forem positivas, e a mesma direção e o sentido oposto, se as cargas forem negativas. Para cada elemento da seção reta, o módulo J da densidade de corrente é igual à corrente dividida pela área do elemento. Podemos escrever a corrente que atravessa o elemento de área como . , em que é o vetor área do elemento, perpendicular ao elemento. A corrente total que atravessa a seção reta é, portanto,

Figura 26-4 A densidade de corrente pode ser representada por linhas de corrente cujo espaçamento é inversamente proporcional à densidade de corrente.

 

Se a corrente é uniforme em toda a seção reta e paralela a , também é uniforme

e paralela a . Nesse caso, a Eq. 26-4 se torna

 

em que A é a área total da superfície. De acordo com a Eq. 26-4 e a Eq. 26-5, a unidade de densidade de corrente do SI é o ampère por metro quadrado (A/m2).

Como vimos no Capítulo 22, os campos elétricos podem ser representados por

linhas de campo. A Fig. 26-4 mostra que a densidade de corrente também pode ser representada por um conjunto de linhas, conhecidas como linhas de corrente. Na

Fig. 26-4, a corrente, que é da esquerda para a direita, faz uma transição de um condutor mais largo, à esquerda, para um condutor mais estreito, à direita. Como a carga é conservada na transição, a quantidade de carga e a quantidade de corrente não podem mudar; o que muda é a densidade de corrente, que é maior no condutor mais estreito. O espaçamento das linhas de corrente é inversamente proporcional à densidade de corrente; quanto mais próximas as linhas de corrente, maior a densidade de corrente.

 

Velocidade de Deriva

Quando um condutor não está sendo percorrido por corrente, os elétrons de condução se movem aleatoriamente, sem que haja uma direção preferencial. Quando existe uma corrente, os elétrons continuam a se mover aleatoriamente, mas tendem a derivar com uma velocidade de deriva vd no sentido oposto ao do campo elétrico que produziu a corrente. A velocidade de deriva é muito pequena em relação à velocidade com a qual os elétrons se movem aleatoriamente, conhecida como velocidade térmica v , por estar associada ao conceito de temperatura. t

Assim, por exemplo, nos condutores de cobre da fiação elétrica residencial, a velocidade de deriva dos elétrons é da ordem de 10−7 m/s, enquanto a velocidade térmica é da ordem de 106 m/s.

Podemos usar a Fig. 26-5 para relacionar a velocidade de deriva vd dos elétrons de condução em um fio ao módulo J da densidade de corrente no fio. Por

conveniência, a Fig. 26-5 mostra a velocidade de deriva como se os portadores de carga fossem positivos; é por isso que o sentido de é o mesmo de e . Na verdade, na maioria dos casos, os portadores de carga são negativos e tem o sentido oposto ao de e . Vamos supor que todos esses portadores de carga se movem com a mesma velocidade de deriva v e que a densidade de corrente J é a d mesma em toda a seção reta A do fio. Vamos supor ainda que a seção reta do fio seja constante. Nesse caso, o número de portadores em um pedaço do fio de comprimento L é nAL, em que n é o número de portadores por unidade de volume. Como cada portador possui uma carga e, a carga total dos portadores nesse pedaço do fio é dada por

 

Figura 26-5 Portadores de carga positivos se movem com velocidade de deriva v na direção do campo d elétrico aplicado . Por convenção, o sentido da densidade de corrente é o mesmo da corrente.

 

q = (nAL)e.

 

Como os portadores estão todos se movendo com velocidade vd, essa carga atravessa uma seção reta do fio em um intervalo de tempo

De acordo com a Eq. 26-1, a corrente i é a taxa de variação, com o tempo, do fluxo de carga em uma seção reta. Assim, temos

 

Explicitando v e lembrando que, de acordo com a Eq. 26-5, i/A = J, temos d

 

ou, em forma vetorial,

 

O produto ne, que no SI é medido em coulombs por metro quadrado (C/m3), é chamado de densidade de carga dos portadores. No caso de portadores positivos,

ne é positivo e, portanto, de acordo com a Eq. 26-7, e têm o mesmo sentido. No caso de portadores negativos, ne é negativo e e têm sentidos opostos.

 

Teste 2

A figura mostra elétrons de condução que se movem para a esquerda em um

fio. Determine se o sentido das grandezas a seguir é para a esquerda ou para a

direita: (a) a corrente i, (b) a densidade de corrente , (c) o campo elétrico

no interior do fio.

 

Exemplo 26.02 Densidade de corrente, uniforme e

não uniforme

(a) A densidade de corrente em um fio cilíndrico de raio R = 2,0 mm é

uniforme ao longo de uma seção reta do fio e igual a 2,0 × 105 A/m2. Qual é a

corrente na parte externa do fio, entre as distâncias radiais R/2 e R (Fig. 26-

6a)?

 

IDEIA-CHAVE

Como a densidade de corrente é uniforme, a densidade de corrente J, a

corrente i e a seção reta A estão relacionadas pela Eq. 26-5 (J = i/A).

Cálculos: Estamos interessados apenas na corrente que atravessa uma parte

A′ da seção reta do fio, em que

 

Neste caso, podemos escrever a Eq. 26-5 na forma

 

i = JA′

 

e substituir J e A′ por seus valores para obter

 

(b) Suponha que, em vez de ser uniforme, a densidade de corrente varie com a

distância radial r de acordo com a equação J = ar2, em que a = 3,0 × 1011 A/m4

e r está em metros. Nesse caso, qual é a corrente na mesma parte do fio?

 

IDEIA-CHAVE

Como a densidade de corrente não é uniforme, devemos usar a Eq. 26-4

e integrar a densidade de corrente para a parte do fio entre r = R/2 e

r = R.

Cálculos: O vetor densidade de corrente (que é paralelo ao eixo do fio) e o

vetor elemento de área (que é perpendicular à seção reta do fio) têm a

mesma direção e o mesmo sentido. Assim,

 

O elemento de área dA deve ser expresso em termos de uma variável que

possa ser integrada entre os limites r = R/2 e r = R. No caso que estamos

examinando, como J é dada em função de r, é conveniente usar como

elemento de área a área 2πr dr de um anel elementar de circunferência 2πr e

largura dr (Fig. 26-6b), pois, nesse caso, podemos integrar a expressão

resultante usando r como variável de integração. De acordo com a Eq. 26-4,

temos

 

Figura 26-6 (a) Seção reta de um fio de raio R. Se a densidade de corrente

for uniforme, a corrente é simplesmente o produto da densidade de corrente

pela área da seção reta. (b)-(e) Se a densidade de corrente não for uniforme,

calculamos a corrente em um anel elementar e depois somamos (por

integração) as correntes em todos os anéis que pertencem à região de interesse.

 

Exemplo 26.03 A velocidade de deriva dos elétrons é

muito pequena

Qual é a velocidade de deriva dos elétrons de condução em um fio de cobre de

raio r = 900 μm percorrido por uma corrente i = 17 mA? Suponha que cada

átomo de cobre contribui para a corrente com um elétron de condução e que a

densidade de corrente é uniforme ao longo da seção reta do fio.

 

IDEIAS-CHAVE

1. A velocidade de deriva v está relacionada à densidade de corrente d

e ao número n de elétrons de condução por unidade de volume

pela Eq. 26-7, que neste caso pode ser escrita na forma J = nev . d

2. Como a densidade de corrente é uniforme, o módulo J da densidade de corrente está relacionado à corrente i e à área A da

seção reta do fio pela Eq. 26-5, J = i/A.

3. Como estamos supondo que existe um elétron de condução por átomo, o número n de elétrons de condução por unidade de volume é igual ao número de átomos por unidade de volume.

Cálculos: Vamos começar pela terceira ideia e escrever

 

Número de átomos por mol é o número de Avogadro N = 6,02 × 1023 mol−1. A

Mols por unidade de massa é o inverso da massa por mol, que no caso é a

massa molar M do cobre. Massa por unidade de volume é a massa específica ρ

do cobre. Assim,

 

Os valores de ρ e M para o cobre aparecem no Apêndice F. Usando esses

valores, temos (depois de algumas conversões de unidades):

 

ou