O Campo Elétrico Produzido por um Disco Carregado

• Em um ponto do eixo central de um disco uniformemente carregado, o módulo do campo elétrico é dado por em que s é a densidade superficial de carga, z é a distância entre o ponto e o centro do disco e R é o raio do disco.

O Campo Elétrico Produzido por um Disco

Carregado

Vamos agora passar de uma linha de carga para uma superfície de carga examinando o campo elétrico produzido por um disco de plástico circular de raio R e densidade superficial de carga σ (carga por unidade de área, veja

a Tabela 22-1) na superfície superior. O campo elétrico envolve todo o disco, mas vamos restringir nossa discussão a um ponto P do eixo z (uma reta que passa pelo centro do disco e é perpendicular ao plano do disco),

situado a uma distância z do centro do anel, como indicado na Fig. 22-15.

Poderíamos adotar um método semelhante ao do módulo anterior, com a diferença de que usaríamos uma integral dupla para levar em conta todas as cargas da superfície bidimensional do disco. Entretanto, podemos poupar muito trabalho aproveitando os resultados obtidos para um anel de carga.

Imagine uma seção do disco em forma de anel, como mostra a Fig. 22-

15, de raio r e largura radial dr. O anel é tão fino que podemos tratar a carga do anel como um elemento de carga dq. Para determinar o módulo do

campo elétrico elementar dE criado pelo anel no ponto P, escrevemos a Eq.

22-16 em termos da carga dq e do raio r do anel:

Figura 22-15 Um disco de raio R com uma distribuição uniforme de carga positiva. O anel mostrado na figura tem raio r, largura radial dr e cria um campo elétrico d no ponto P, situado no eixo central do disco.

O campo elétrico produzido pelo anel aponta no sentido positivo do eixo z.

Para calcular o campo total produzido pelo disco no ponto P, vamos

integrar a Eq. 22-22 do centro (r = 0) até a borda do disco (r = R), o que corresponde a somar as contribuições de todos os campos elementares dE, fazendo com que o anel elementar percorra toda a superfície do disco. Para isso, precisamos expressar a carga dq em termos da largura radial dr do anel elementar. Usando a densidade superficial de carga, podemos escrever

Substituindo a Eq. 22-23 na Eq. 22-22 e simplificando, obtemos a seguinte expressão:

em que colocamos todas as constantes (incluindo z) do lado de fora do sinal de integral. Para resolver a integral, basta colocá-la na forma ∫ Xm dX fazendo X = (z2 + r2), m = –3/2 e dX = (2r) dr. Usando a relação

a Eq. 22-24 se torna

Tomando os limites da Eq. 22-25 e reagrupando os termos, obtemos

como o módulo do campo elétrico produzido por um disco circular carregado em pontos do eixo central. (Ao executar a integração, supusemos que z ≥ 0.)

Fazendo R → ∞ e mantendo z finito, o segundo termo do fator entre

parênteses da Eq. 22-26 tende, a zero e a equação se reduz a

que é o campo elétrico produzido por uma distribuição uniforme de carga na superfície de uma placa de dimensões infinitas feita de um material isolante, como o plástico. As linhas de campo elétrico para essa situação

são mostradas na Fig. 22-4.

Podemos também obter a Eq. 22-27 fazendo z → 0 na Eq. 22-26 e mantendo R finito. Isso mostra que, para pontos muito próximos do disco, o campo elétrico produzido pelo disco é o mesmo que seria produzido por um disco de raio infinito.