O Campo Elétrico Produzido por um Dipolo Elétrico

O Campo Elétrico Produzido por um Dipolo

Elétrico

A Fig. 22-8 mostra as linhas de campo elétrico produzidas por duas partículas carregadas, de módulo q e sinais opostos, separadas por uma distância d, um arranjo muito comum (e muito importante) conhecido como dipolo elétrico. A reta que passa pelas duas cargas é chamada de eixo do dipolo e constitui um eixo de simetria em torno do qual se pode fazer girar

o padrão da Fig. 22-8 para obter uma imagem tridimensional do campo elétrico criado pelo dipolo. Vamos chamar de eixo z o eixo do dipolo e restringir nossa discussão ao campo elétrico em pontos do eixo do dipolo.

 

Figura 22-8 Linhas de campo de um dipolo elétrico. A figura mostra também o vetor campo elétrico em um ponto do espaço; o vetor é tangente à linha de campo que passa pelo ponto.

 

A Fig. 22-9a mostra os campos elétricos criados em um ponto P pelas duas partículas. A partícula mais próxima, de carga +q, produz um campo

(+), de módulo E , no sentido positivo do eixo z (para longe da partícula). (+)

A partícula mais distante, de carga –q, produz um campo , de módulo (–) E , no sentido negativo do eixo z (para perto da partícula). Estamos (–)

interessados em calcular o campo total no ponto P, dado pela Eq. 22-4. Como os vetores e , têm a mesma direção, podemos substituir a (+) (–)

soma vetorial da Eq. 22-4 pela soma dos módulos, indicando o sentido dos vetores por um sinal algébrico, como estamos acostumados a fazer com as forças em problemas unidimensionais. Assim, o módulo do campo total no ponto P pode ser escrito na forma

 

Depois de algumas transformações algébricas, obtemos a seguinte expressão:

 

Reduzindo as frações ao mesmo denominador e simplificando, temos

 

Em geral, estamos interessados nos efeitos elétricos de um dipolo apenas em pontos muito distantes das cargas do dipolo, ou seja, em pontos

tais que z >> d. Nesse caso, d/2z << 1 na Eq. 22-7 e podemos desprezar o termo d/2z no denominador, o que nos dá

 

O produto qd, que envolve os dois parâmetros q e d que definem o dipolo, é o módulo p de uma grandeza conhecida como momento dipolar elétrico do dipolo. (A unidade de é o coulomb-metro.) Assim,

podemos escrever a Eq. 22-8 na forma

O sentido de é tomado como do lado negativo para o lado positivo do

 

dipolo, como mostra a Fig. 22-9b. Podemos usar o sentido de para especificar a orientação de um dipolo.

De acordo com a Eq. 22-9, se o campo elétrico de um dipolo é medido apenas em pontos distantes, não é possível determinar os valores de q e d separadamente, mas apenas o produto qd. O campo em pontos distantes permanece inalterado quando, por exemplo, o valor de q é multiplicado por 2 e, ao mesmo tempo, o valor de d é dividido por 2.

Embora a Eq. 22-9 seja válida apenas para pontos distantes que estejam no eixo do dipolo, para todos os pontos distantes, estejam ou não no eixo do dipolo, o valor de E para um dipolo é proporcional a 1/r3, em que r é a distância entre o ponto em questão e o centro do dipolo.

Observando a Fig. 22-9 e as linhas de campo da Fig. 22-8, vemos que a direção de para pontos distantes no eixo do dipolo é a direção do vetor

momento dipolar . Isso acontece tanto quando o ponto P da Fig. 22-9a está mais próximo na carga positiva como quando está mais próximo da carga negativa.

Figura 22-9 (a) Um dipolo elétrico. Os vetores campo elétrico e no ponto P do eixo do (+) (–) dipolo são produzidos pelas duas cargas do dipolo. As distâncias entre o ponto P e as duas cargas que formam o dipolo são e . (b) O momento dipolar do dipolo aponta da carga negativa para a (+) (–)

carga positiva.

 

De acordo com a Eq. 22-9, se a distância entre um ponto e um dipolo é multiplicada por 2, o campo elétrico no ponto é dividido por 8. Por outro lado, quando a distância entre um ponto e uma carga elétrica isolada é

multiplicada por 2, o campo elétrico é dividido por 4 (veja a Eq. 22-3). Assim, o campo elétrico de um dipolo diminui mais rapidamente com a distância que o campo elétrico produzido por uma carga isolada. A razão para essa diminuição mais rápida do campo elétrico no caso de um dipolo está no fato de que, a distância, um dipolo se comporta como um par de cargas elétricas de sinais opostos que quase se cancelam; assim, os campos elétricos produzidos por essas cargas em pontos distantes também quase se cancelam.

 

Exemplo 22.02 Dipolos elétricos e sprites

Os sprites (Fig. 22-10a) são imensos clarões que às vezes são vistos no

céu, acima de grandes tempestades. Durante décadas, eles foram

observados por pilotos em voos noturnos, mas eram tão fracos e

fugazes que a maioria dos pilotos imaginava que tais sprites não

passavam de ilusões. Na década de 1990, porém, os sprites foram

registrados por câmaras de vídeo. Ainda não são muito bem

compreendidos, mas acredita-se que sejam produzidos quando ocorre

um relâmpago bastante intenso entre a terra e uma nuvem de

tempestade, particularmente se o relâmpago transferir uma grande

quantidade de carga negativa, –q, da terra para a base da nuvem (Fig.

22-10b).

Logo depois da transferência, a terra possui uma distribuição

complexa de carga positiva; entretanto, podemos utilizar um modelo

simplificado do campo elétrico produzido pelas cargas da nuvem e da

terra, supondo haver um dipolo vertical formado por uma carga –q na

altura h da nuvem e uma carga +q a uma distância h abaixo da

superfície (Fig. 22-10c). Se q = 200 C e h = 6,0 km, qual é o módulo

do campo elétrico do dipolo a uma altitude z = 30 km (ou seja, um 1

pouco acima das nuvens), e a uma altitude z = 60 km (ou seja, um 2

pouco acima da estratosfera)?

 

IDEIA-CHAVE

O valor aproximado do módulo E do campo elétrico de um dipolo é

fornecido pela Eq. 22-8.

Figura 22-10 (a) Fotografia de um sprite. (b) Relâmpago no qual

uma grande quantidade de carga negativa é transferida da terra para a

base de uma nuvem. (c) O sistema nuvem-terra modelado como um

dipolo elétrico vertical.

 

Cálculos: Temos

 

em que 2h é a distância entre as cargas –q e +q na Fig. 22-10c. O

campo elétrico a uma altitude z = 30 km é dado por 1

 

A uma altitude z = 60 km, temos 2

 

Como vamos ver no Módulo 22-6, quando o módulo de um

campo elétrico excede um valor crítico E , o campo pode arrancar c

elétrons dos átomos (ionizar átomos) e os elétrons arrancados podem

se chocar com outros átomos, fazendo com que emitam luz. O valor de

E depende da densidade do ar na região em que existe o campo c

elétrico; quanto menor a densidade, menor o valor de E . A 60 km de c

altitude, a densidade do ar é tão baixa que E = 2,0 × 102 N/C é maior