Cálculo do Campo Magnético Produzido por uma Corrente

Nosso primeiro passo neste capítulo será determinar o campo magnético produzido pela corrente em um pequeno elemento de um fio percorrido por corrente. Em seguida, vamos calcular o campo magnético produzido por fios macroscópicos de diferentes formas.

 

Figura 29-1 Um elemento de corrente i produz um elemento de campo magnético no ponto P. O × verde (que representa a extremidade traseira de uma seta) no ponto P indica que o sentido do campo é para dentro do papel.

 

Cálculo do Campo Magnético Produzido por uma

Corrente

A Fig. 29-1 mostra um fio de forma arbitrária percorrido por uma corrente i. Estamos interessados em calcular o campo magnético em um ponto próximo P. Para isso, dividimos mentalmente o fio em elementos infinitesimais ds e definimos para cada elemento um vetor comprimento cujo módulo é ds e cuja direção é a direção da corrente no elemento ds. Podemos definir um elemento de corrente como i e calcular o campo produzido no ponto P por um elemento de corrente típico. Os experimentos mostram que os campos magnéticos, como os campos elétricos, podem ser somados para determinar o campo total. Assim, podemos calcular o campo total no ponto P somando, por integração, as contribuições de todos os elementos de corrente. Entretanto, esse processo é um pouco mais complicado que no caso do campo elétrico por causa de uma diferença: enquanto o elemento de carga dq que produz o campo elétrico é uma grandeza escalar, o elemento de corrente i responsável pelo campo

magnético é o produto de uma grandeza escalar por uma grandeza vetorial e, portanto, é uma grandeza vetorial.

Módulo. O módulo do campo produzido no ponto P por um elemento de corrente i é dado por

 

em que θ é o ângulo entre as direções de e , um vetor unitário que aponta de ds para P, e μ é uma constante, conhecida como constante 0

magnética, cujo valor, por definição, é dado por

 

Orientação. A orientação de , que é para dentro do papel na Fig. 29-

1, é a do produto vetorial × . Podemos, portanto, escrever a Eq. 29-1 na forma vetorial como

 

Essa equação vetorial bem como sua forma escalar, Eq. 29-1, são conhecidas como lei de Biot-Savart. A lei, que se baseia em observações experimentais, é do tipo inverso do quadrado. Vamos usá-la para calcular o campo magnético total produzido em um ponto por fios de várias geometrias.

Uma geometria é especialmente simples: De acordo com a Eq. 29-1, se um ponto P está na mesma reta que a corrente em um trecho de um fio, o campo magnético produzido no ponto P pela corrente nesse trecho é zero (o ângulo θ é 0o ou 180o, e sen 0o = sen 180o = 0).

 

Campo Magnético Produzido pela Corrente em

um Fio Longo, Retilíneo Daqui a pouco vamos usar a lei de Biot-Savart para mostrar que o módulo do campo magnético a uma distância perpendicular R de um fio retilíneo longo (infinito) percorrido por uma corrente i é dado por

 

O módulo do campo B na Eq. 29-4 depende apenas da corrente e da distância perpendicular R entre o ponto e o fio. Vamos mostrar que as linhas de campo de formam circunferências concêntricas em torno do fio, como

podemos observar no diagrama da Fig. 29-2 e no padrão formado por

limalha de ferro na Fig. 29-3. O aumento do espaçamento das linhas com o

aumento da distância na Fig. 29-2 reflete o fato de que o módulo de , de

acordo com a Eq. 29-4, é inversamente proporcional a R. Os comprimentos dos dois vetores que aparecem na figura também mostram que B diminui quando aumenta a distância entre o ponto e o fio.

 

Figura 29-2 As linhas de campo magnético produzidas por uma corrente em um fio retilíneo longo são círculos concêntricos em torno do fio. Na figura, o sentido da corrente é para dentro do papel, como indica o símbolo ×.

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Figura 29-3 A limalha de ferro espalhada em um pedaço de cartolina forma círculos concêntricos quando uma corrente atravessa o fio central. O alinhamento, que coincide com as linhas de campo magnético, se deve ao campo magnético produzido pela corrente.

 

Sentido do Campo Magnético. É fácil calcular o módulo do campo

magnético usando a Eq. 29-4; o que muitos estudantes têm dificuldade para determinar é o sentido do campo em um ponto dado. Como as linhas de campo formam circunferências em torno de um fio longo e o campo magnético é tangente às linhas de força, é evidente que a direção do campo magnético é perpendicular à reta perpendicular ao fio que passa pelo ponto

dado. Acontece que, como mostra a Fig. 29-4, existem dois sentidos possíveis para o vetor, um para o caso em que o sentido da corrente é para dentro do papel, e o outro para o caso em que o sentido da corrente é para fora do papel. Como é possível saber qual é o sentido correto? Existe uma regra simples para isso, conhecida como regra da mão direita:

Figura 29-4 O vetor campo magnético em um ponto dado é perpendicular à reta perpendicular ao fio que passa pelo ponto, mas qual dos dois sentidos possíveis do vetor é o sentido correto?

 

Regra da mão direita: Segure o fio na mão direita, com o polegar

estendido apontando no sentido da corrente. Os outros dedos mostram

a orientação das linhas de campo magnético produzidas pela corrente

no fio.

 

O resultado da aplicação da regra da mão direita à corrente no fio

retilíneo da Fig. 29-2 é mostrado, em uma vista lateral, na Fig. 29-5a. Para determinar o sentido do campo magnético produzido por essa corrente em um ponto do espaço, envolva mentalmente o fio com a mão direita, com o polegar apontando no sentido da corrente. Faça com que os outros dedos passem pelo ponto; o sentido da base para a ponta dos dedos é a orientação

do campo magnético nesse ponto. Na vista da Fig. 29-2, em qualquer

ponto é tangente a uma linha de campo magnético; nas vistas da Fig. 29-5,

é perpendicular à reta tracejada que liga o ponto ao fio.

Figura 29-5 A regra da mão direita mostra o sentido do campo magnético produzido pela corrente em um fio. (a) Vista lateral do resultado da aplicação da regra da mão direita à corrente no fio

retilíneo da Fig. 29-2. O campo magnético em qualquer ponto à esquerda do fio é perpendicular à reta tracejada e aponta para dentro do papel, no sentido da ponta dos dedos, como indica o símbolo ×. (b) Quando o sentido da corrente é invertido, o campo em qualquer ponto à esquerda do fio continua a ser perpendicular à reta tracejada, mas passa a apontar para fora do papel, como indica o símbolo •.

 

Demonstração da Equação 29-4

A Fig. 29-6, que é semelhante à Fig. 29-1, exceto pelo fato de que agora o fio é retilíneo e de comprimento infinito, ilustra bem o processo. Queremos calcular o campo no ponto P, situado a uma distância perpendicular R do fio. O módulo do campo elementar produzido no ponto P por um elemento

de corrente i situado a uma distância r do ponto P é dado pela Eq. 29-1:

 

A orientação de na Fig. 29-6 é a do vetor × , ou seja, para dentro do papel.

Observe que no ponto P tem a mesma orientação para todos os elementos de corrente nos quais o fio pode ser dividido. Assim, podemos calcular o módulo do campo magnético produzido no ponto P pelos elementos de corrente na metade superior de um fio infinitamente longo

integrando dB na Eq. 29-1 de 0 a ∞.

Figura 29-6 Cálculo do campo magnético produzido por uma corrente i em um fio retilíneo longo. O campo → produzido no ponto P pelo elemento de corrente id s aponta para dentro do papel, como indica o símbolo ×.

 

 

Considere agora um elemento de corrente na parte inferior do fio, que esteja a uma distância tão grande abaixo de P quanto está acima de P. De

acordo com a Eq. 29-3, o campo magnético produzido no ponto P por esse elemento de corrente tem o mesmo módulo e a mesma orientação que o

campo magnético produzido pelo elemento i da Fig. 29-6. Assim, o campo magnético produzido pela parte inferior do fio é igual ao campo magnético produzido pela parte superior. Para determinar o módulo do campo magnético total no ponto P, basta, portanto, multiplicar por 2 o resultado da integração, o que nos dá

 

As variáveis θ, s e r na Eq. 29-5 não são independentes; como se pode

ver na Fig. 29-6, elas estão relacionadas pelas equações

 

Fazendo essas substituições e usando a integral 19 do Apêndice E, obtemos

que é a equação que queríamos demonstrar. Note que o módulo do campo magnético produzido no ponto P pela parte inferior ou pela parte superior

 

do fio infinito da Fig. 29-6 tem metade do valor dado pela Eq. 29-6, ou seja,

 

Campo Magnético Produzido por uma Corrente

em um Fio em Forma de Arco de Circunferência

Para determinar o campo magnético produzido em um ponto por uma

corrente em um fio curvo, usamos mais uma vez a Eq. 29-1 para calcular o módulo do campo produzido por um elemento de corrente e integramos o resultado para obter o campo produzido por todos os elementos de corrente. Essa integração pode ser difícil, dependendo da forma do fio; é relativamente simples, porém, quando o fio tem a forma de um arco de circunferência e o ponto escolhido é o centro de curvatura.

A Fig. 29-7a mostra um fio em forma de arco de circunferência de ângulo central ϕ, raio R e centro C, percorrido por uma corrente i. No ponto C, cada elemento de corrente i do fio produz um campo magnético de

módulo dB dado pela Eq. 29-1. Além disso, como mostra a Fig. 29-7b, qualquer que seja a posição do elemento no fio, o ângulo θ entre os vetores

e é 90o e r = R. Fazendo θ = 90o e r = R na Eq. 29-1, obtemos

 

Esse é o módulo do campo produzido no ponto C por um dos elementos de corrente.

Figura 29-7 (a) Um fio em forma de arco de circunferência com centro no ponto C e percorrido por uma corrente i. (b) Para qualquer elemento de comprimento ao longo do arco, o ângulo entre as direções o e é 90. (c) Determinação da direção do campo magnético produzido pela corrente no ponto C usando a regra da mão direita; o campo aponta para fora do papel, no sentido das pontas dos dedos, como indica o símbolo •.

 

Orientação. O que dizer da orientação do campo elementar produzido por um elemento de corrente? Sabemos que o vetor é

perpendicular à reta que liga o ponto C ao elemento de corrente e, portanto,

aponta para dentro ou para fora do papel nas Figs. 29-7a e 29-7b. Para determinar qual é o sentido correto, aplicamos a regra da mão direita a um

elemento qualquer do fio, como é mostrado na Fig. 29-7c. Segurando o fio com o polegar apontando no sentido da corrente e fazendo os dedos passarem pelo ponto C, vemos que todos os elementos de campo apontam para fora do papel.

Campo Total. Para obter o campo total produzido pelo fio no ponto C, devemos somar todos os elementos de campo do arco de circunferência. Já que todos os vetores têm a mesma orientação, não é preciso usar uma soma vetorial; basta somar (por integração) os módulos dB de todos os campos elementares. Como o tamanho do arco é especificado em termos do ângulo central ϕ, e não do comprimento, usamos a identidade ds = R dϕ

para converter a variável de integração de ds para dϕ na Eq. 29-8, o que nos dá

Integrando, obtemos

 

Atenção. Note que a Eq. 29-9 é válida apenas para o campo no centro

de curvatura do fio. Ao substituir as variáveis da Eq. 29-9 por valores numéricos, não se esqueça de que o valor de ϕ deve ser expresso em radianos. Assim, por exemplo, para calcular o módulo do campo magnético no centro de uma circunferência completa de fio, ϕ deve ser substituído por

2π na Eq. 29-9, o que nos dá

 

Exemplo 29.01 Campo magnético no centro

de um arco de circunferência percorrido por

corrente

O fio da Fig. 29-8a é percorrido por uma corrente i e tem a forma de

um arco de circunferência de raio R e ângulo central π/2 rad, ladeado

por dois trechos retilíneos cujos prolongamentos se interceptam no

centro C do arco. Determine o campo magnético no ponto C.

 

IDEIAS-CHAVE

Podemos determinar o campo magnético no ponto C aplicando a lei

de Biot-Savart (Eq. 29-3), ponto por ponto, ao longo de todo o fio. No

entanto, a aplicação da Eq. 29-3 pode ser simplificada calculando

separadamente para as três partes do fio, a saber: (1) o trecho retilíneo

da esquerda; (2) o trecho retilíneo da direita; (3) o arco de

circunferência.

Trechos retilíneos: Para qualquer elemento de corrente da parte 1, o

ângulo θ entre e é zero (Fig. 29-8b); portanto, de acordo com a

Eq. 29-1,

 

Assim, a contribuição de toda a parte 1 para o campo magnético no

ponto C é

 

B = 0. 1

 

Figura 29-8 (a) Fio formado por dois segmentos retilíneos (1 e 2) e

um arco de circunferência (3), e percorrido por uma corrente i. (b) Para

um elemento de corrente no segmento 1, o ângulo entre e é zero.

(c) Determinação da orientação do campo magnético produzido pelo

arco de circunferência no ponto C; o sentido do campo é para dentro

do papel.

 

O mesmo acontece na parte 2, em que o ângulo entre e é

180o para qualquer elemento de corrente. Assim,

 

B = 0. 2

 

Arco de circunferência: O uso da lei de Biot-Savart para calcular o

campo magnético no centro de um arco de circunferência leva à Eq.

29-9 (B = μ iϕ/4πR). No nosso caso, o ângulo central ϕ do arco é π/2 0

rad. Assim, de acordo com a Eq. 29-9, o módulo do campo magnético

no centro C do arco é dado por

 

Para determinar a orientação de , basta usar a regra da mão

direita da forma mostrada na Fig. 29-5. Segure mentalmente o arco de

circunferência com a mão direita, como na Fig. 29-8c, com o polegar

apontando no sentido da corrente. Os outros dedos indicam a

orientação do campo magnético nas vizinhanças do fio. Na região onde

se encontra o ponto C (no interior do arco de circunferência), os dedos

apontam para dentro do papel. Assim, tem essa orientação.

Campo total: Em geral, quando é necessário combinar dois ou mais

campos magnéticos para obter o campo magnético total, precisamos

executar uma soma vetorial e não simplesmente somar os módulos.

Neste caso, porém, como apenas o arco de circunferência produz um

campo magnético diferente de zero no ponto C, o módulo do campo

total é dado por

 

A orientação de é a mesma de , ou seja, para dentro do papel na

Fig. 29-8.

 

Exemplo 29.02 Campo magnético nas

proximidades de dois fios longos, retilíneos,

percorridos por corrente

A Fig. 29-9a mostra dois fios longos paralelos percorridos por

correntes i e i em sentidos opostos. Determine o módulo e a 1 2

orientação do campo magnético total no ponto P para i = 15 A, i = 32 1 2

A e d = 5,3 cm.

 

IDEIAS-CHAVE

(1) O campo magnético total no ponto P é a soma vetorial dos

campos magnéticos produzidos pelas correntes nos dois fios. (2)

Podemos calcular o campo magnético produzido por qualquer corrente

aplicando a lei de Biot-Savart à corrente. No caso de pontos próximos

de um fio longo e retilíneo, a lei de Biot-Savart leva à Eq. 29-4.

Determinação dos vetores: Na Fig. 29-9a, o ponto P está a uma

distância R das correntes i e i . De acordo com a Eq. 29-4, as correntes 1 2

produzem no ponto P campos e cujos módulos são dados por

 

No triângulo retângulo da Fig. 29-9a, note que os ângulos da base

(entre os lados R e d) são iguais a 45o. Isso nos permite escrever cos

45o = R/d e substituir R por d cos 45o. Nesse caso, os módulos dos

campos magnéticos, B e B , se tornam 1 2

Figura 29-9 (a) Dois fios conduzem correntes i e i em sentidos 1 2

opostos (para fora e para dentro do papel, respectivamente). Observe o

ângulo reto no ponto P. (b) O campo total é a soma vetorial dos

campos e .

 

Estamos interessados em combinar e para obter a soma dos

dois vetores, que é o campo total no ponto P. Para determinar as

orientações de e , aplicamos a regra da mão direita da Fig. 29-5 às

duas correntes da Fig. 29-9a. No caso do fio 1, em que a corrente é

para fora do papel, seguramos mentalmente o fio com a mão direita,

com o polegar apontando para fora do papel. Nesse caso, os outros

dedos indicam que as linhas de campo têm o sentido anti-horário. Em

particular, na região do ponto P, os dedos apontam para o alto da

figura, e para a esquerda. Lembre-se de que o campo magnético, em

um ponto nas proximidades de um fio longo percorrido por corrente, é

perpendicular ao fio e a uma reta perpendicular ao fio passando pelo

ponto. Assim, o sentido de é para o alto e para a esquerda, como

mostra a Fig. 29-9b. (Observe no desenho que o vetor é

perpendicular à reta que liga o ponto P ao fio 1.)

Repetindo a análise para a corrente no fio 2, constatamos que o

sentido de é para o alto e para a direita, como mostra a Fig. 29-9b.

(Observe no desenho que o vetor é perpendicular à reta que liga o

ponto P ao fio 2.)

Soma dos vetores: Podemos agora somar vetorialmente e para

obter o campo magnético no ponto P. Isso poderia ser feito usando

uma calculadora científica ou trabalhando com as componentes dos

vetores. Entretanto, existe método mais simples: Como são

mutuamente perpendiculares, e formam os catetos de um

triângulo retângulo cuja hipotenusa é . Assim, de acordo com o

teorema de Pitágoras, temos