Cálculo do Potencial a Partir do Campo Elétrico

Figura 24-6 Uma carga de prova q se desloca do ponto i para o ponto f ao longo da trajetória 0

 

indicada, na presença de um campo elétrico não uniforme. Durante um deslocamento , uma força

eletrostática q age sobre a carga de prova. A força aponta na direção da linha de campo que passa 0

pela carga de prova.

 

Por simetria, as superfícies equipotenciais produzidas por uma carga pontual ou por qualquer distribuição de cargas com simetria esférica constituem uma família de esferas concêntricas. No caso de um campo elétrico uniforme, as superfícies formam uma família de planos perpendiculares às linhas de campo. Na verdade, as superfícies equipotenciais são sempre perpendiculares às linhas de campo elétrico e, portanto, perpendiculares a , que é tangente a essas linhas. Se não fosse perpendicular a uma superfície equipotencial, teria uma componente paralela à superfície, que realizaria trabalho sobre uma partícula carregada quando a partícula se deslocasse ao longo da superfície. Entretanto, de

acordo com a Eq. 24-6, o trabalho realizado deve ser nulo no caso de uma superfície equipotencial. A única conclusão possível é que o vetor em todos os pontos do espaço deve ser perpendicular à superfície equipotencial

que passa por esse ponto. A Fig. 24-5 mostra linhas de campo elétrico e seções retas de superfícies equipotenciais no caso de um campo elétrico uniforme e no caso dos campos associados a uma carga elétrica pontual e a um dipolo elétrico.

 

Cálculo do Potencial a Partir do Campo Elétrico

É possível calcular a diferença de potencial entre dois pontos i e f em uma região do espaço onde existe um campo elétrico se o vetor campo elétrico for conhecido em todos os pontos de uma trajetória que ligue esses pontos. Para isso, basta determinar o trabalho realizado pelo campo sobre uma carga de prova quando a carga se desloca do ponto i até o ponto f e usar a

Eq. 24-6.

Considere um campo elétrico qualquer, representado pelas linhas de

campo da Fig. 24-6, e uma carga de prova positiva q que se move do ponto 0 i ao ponto f, percorrendo a trajetória mostrada na figura. Em todos os pontos da trajetória, uma força eletrostática q age sobre a carga enquanto ela 0

sofre um deslocamento elementar . De acordo com o que foi visto no Capítulo 7, o trabalho elementar dW realizado sobre uma partícula por uma força durante um deslocamento é dado por

 

Para a situação da Fig. 24-6, = q e a Eq. 24-15 se torna 0

 

Para determinar o trabalho total W realizado pelo campo sobre a partícula quando ela se desloca do ponto i para o ponto f, somamos, por integração, os trabalhos elementares realizados sobre a carga quando ela sofre todos os deslocamentos elementares de que é composta a trajetória:

 

Substituindo o trabalho W pelo seu valor em termos da diferença de

potencial, dado pela Eq. 24-6, obtemos

Figura 24-7 Trajetória, paralela a uma linha de campo elétrico, que liga pontos i e f situados em planos equipotenciais de um campo uniforme , separados por uma distância Δx.

 

Assim, a diferença de potencial V − V entre dois pontos i e f na presença de f i um campo elétrico é igual ao negativo da integral de linha (ou seja, da integral ao longo de uma trajetória) de · do ponto i até o ponto f. Como a força eletrostática é conservativa, todas as trajetórias (simples ou complicadas) levam ao mesmo resultado.

A Eq. 24-18 permite calcular a diferença de potencial entre dois pontos quaisquer de uma região onde existe um campo elétrico. Se o potencial V i

do ponto i é tomado como zero, a Eq. 24-18 se torna

 

em que o índice f de V foi omitido. A Eq. 24-19 pode ser usada para f

calcular o potencial V em qualquer ponto f em relação ao potencial do

ponto i, tomado como zero. Se o ponto i está no infinito, a Eq. 24-19 nos dá o potencial V em qualquer ponto f em relação ao potencial no infinito, tomado como zero.

Campo Uniforme. Vamos aplicar a Eq. 24-18 a um campo uniforme,

como mostra a Fig. 24-7. Começamos em um ponto i de um plano equipotencial de potencial V e terminamos em um ponto f de um plano i

equipotencial de potencial V . A distância entre os dois planos f equipotenciais é Δx. Vamos escolher uma trajetória paralela à direção do campo elétrico (e, portanto, perpendicular aos planos equipotenciais).

Nesse caso, o ângulo entre e na Eq. 24-18 é zero e o produto escalar se torna

 

Como o campo é uniforme, E é constante e a Eq. 24-18 se torna

 

A integral da Eq. 24-20 é simplesmente uma receita para somar os elementos de comprimento ds do ponto i até o ponto f, mas já sabemos que a soma é igual à distância Δx entre os planos equipotenciais. Assim, a variação de potencial V − V no caso de um campo elétrico uniforme é dada f i

por

 

De acordo com a Eq. 24-21, se a trajetória da carga de prova positiva é no sentido do campo elétrico, o potencial diminui; se a trajetória é no sentido oposto, o potencial aumenta.

 

O vetor campo elétrico aponta do maior potencial para o menor

potencial.

 

Teste 2

A figura mostra uma família de superfícies paralelas equipotenciais

(vistas de perfil) e cinco trajetórias ao longo das quais um elétron pode

ser deslocado de uma superfície para outra. (a) Qual é a orientação do

campo elétrico associado às superfícies? (b) Para cada trajetória, o

trabalho realizado para deslocar o elétron é positivo, negativo ou nulo?

(c) Coloque as trajetórias em ordem decrescente do trabalho realizado.

 

Exemplo 24.02 Determinação da diferença de

potencial a partir do campo elétrico

(a) A Fig. 24-8a mostra dois pontos i e f de uma região onde existe um

campo elétrico uniforme . Os pontos estão na mesma linha de campo

elétrico (que não é mostrada na figura), separados por uma distância d.

Determine a diferença de potencial V − V deslocando uma carga de f i

prova positiva q do ponto i até o ponto f ao longo da trajetória 0

indicada, que é paralela à direção do campo.

 

IDEIA-CHAVE

De acordo com a Eq. 24-18, podemos determinar a diferença de

potencial entre dois pontos integrando o produto escalar · ao

longo de uma trajetória que ligue os dois pontos.

Cálculos: Na verdade, já fizemos esse cálculo para demonstrar a Eq.

24-21. Com uma pequena mudança de notação, a Eq. 24-21 nos dá 24.17 Calcular o potencial total produzido em um ponto do espaço por várias partículas carregadas

(b) Determine a diferença de potencial V − V deslocando a carga de f i

prova positiva q de i para f ao longo da trajetória icf mostrada na Fig. 0

24-8b.

Cálculos: A ideia-chave do item (a) também se aplica a este caso,

mas agora estamos deslocando a carga ao longo de uma trajetória

formada por dois segmentos de reta, ic e cf. Em todos os pontos do

segmento ic, o deslocamento é perpendicular a . O ângulo entre

e é 90o e o produto escalar · é 0. Logo, de acordo com a Eq.

24-18, o potencial é o mesmo nos pontos i e c: V − V = 0. c i

No caso do segmento cf, temos θ = 45o e, de acordo com a Eq. 24-

18,

 

A integral nessa equação é simplesmente o comprimento do segmento

cf, que, por trigonometria, é dado por d/cos 45o. Assim,

 

Como já era esperado, este resultado é igual ao obtido no item (a); a

diferença de potencial entre dois pontos não depende da trajetória

usada no cálculo. A moral é a seguinte: Quando há necessidade de

calcular a diferença de potencial entre dois pontos deslocando uma

carga de prova entre eles, é possível poupar tempo e trabalho

escolhendo uma trajetória que facilite o uso da Eq. 24-18.