Uma Partícula Carregada em Movimento Circular

Ideias-Chave

• Uma partícula carregada, de massa m e carga de valor absoluto |q|, que se move com uma velocidade perpendicular a um campo magnético , descreve uma trajetória circular. • Aplicando a segunda lei de Newton ao movimento circular, é possível demonstrar que

 

e que, portanto, o raio da circunferência é dado por

 

• A frequência f, a frequência angular ω e o período T do movimento são dados por

 

• Se a velocidade da partícula possui uma componente paralela ao campo magnético, a partícula descreve um movimento helicoidal em torno do vetor .

 

Uma Partícula Carregada em Movimento

Circular

Se uma partícula se move ao longo de uma circunferência com velocidade constante, podemos ter certeza de que a força que age sobre a partícula tem módulo constante e aponta para o centro da circunferência, mantendo-se perpendicular à velocidade da partícula. Pense em uma pedra amarrada a uma corda que gira em círculos em uma superfície horizontal sem atrito, ou em um satélite que gira em torno da Terra em uma órbita circular. No primeiro caso, a tração da corda é responsável pela força e pela aceleração centrípeta; no segundo, a força e a aceleração são causadas pela atração gravitacional.

A Fig. 28-10 mostra outro exemplo: Um feixe de elétrons é lançado em uma câmara por um canhão de elétrons G. Os elétrons se movem no plano do papel com velocidade v, em uma região na qual existe um campo magnético que aponta para fora do papel. Em consequência, uma força magnética age continuamente sobre os elétrons. Uma vez que e

são perpendiculares, a força faz com que os elétrons descrevam uma

trajetória circular. A trajetória é visível na fotografia porque alguns dos elétrons colidem com átomos do gás presente na câmara, fazendo-os emitir luz.

Estamos interessados em determinar os parâmetros que caracterizam o movimento circular desses elétrons ou de qualquer outra partícula de carga q e massa m que se mova com velocidade v perpendicularmente a um

campo magnético uniforme . De acordo com a Eq. 28-3, o módulo da força que age sobre a partícula é |q|vB. De acordo com a segunda lei de Newton aplicada ao movimento circular (Eq. 6-18),

 

temos

 

Explicitando r, vemos que o raio da trajetória circular é dado por

Cortesia de Jearl Walker

Figura 28-10 Elétrons circulando em uma câmara que contém uma pequena quantidade de gás (a trajetória dos elétrons é o anel claro). Na câmara existe um campo magnético uniforme que aponta para fora do papel. Note que a força magnética é radial; para que o movimento seja circular, é preciso que aponte para o centro da trajetória. Utilize a regra da mão direita para produtos vetoriais a fim de confirmar que tem a direção apropriada. (Não se esqueça do sinal de q.)

 

O período T (o tempo necessário para completar uma revolução) é igual à circunferência dividida pela velocidade:

 

A frequência f (número de revoluções por minuto) é dada por

 

A frequência angular do movimento é, portanto,

As grandezas T, f e ω não dependem da velocidade da partícula (contanto que a velocidade seja muito menor que a velocidade da luz). Partículas velozes se movem em circunferências grandes, e partículas lentas se movem em circunferências pequenas, mas todas as partículas com a mesma razão entre carga e massa |q|/m levam o mesmo tempo T (o período) para

 

completar uma revolução. Usando a Eq. 28-2, é fácil mostrar que, olhando no sentido de , o sentido de rotação para uma partícula positiva é o sentido anti-horário, e o sentido de rotação para uma partícula negativa é o sentido horário.

 

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Trajetórias Helicoidais

Se a velocidade de uma partícula carregada tem uma componente paralela ao campo magnético (uniforme), a partícula descreve uma trajetória

helicoidal cujo eixo é a direção do campo. A Fig. 28-11a, por exemplo, mostra o vetor velocidade de uma dessas partículas separado em duas componentes, uma paralela a e outra perpendicular a :

 

É a componente paralela que determina o passo p da hélice, ou seja, a

distância entre espiras sucessivas (Fig. 28-11b). O raio da hélice e a

grandeza que toma o lugar de v na Eq. 28-16 são determinados pela componente perpendicular.

A Fig. 28-11c mostra uma partícula carregada que se move em espiral na presença de um campo magnético não uniforme. O espaçamento menor das linhas de campo nas extremidades mostra que o campo magnético é mais intenso nessas regiões. Se o campo em uma das extremidades for suficientemente intenso, a partícula será “refletida” de volta para o centro da região. Quando a partícula é refletida nas duas extremidades, dizemos que ela está aprisionada em uma garrafa magnética.

 

Figura 28-11 (a) Uma partícula carregada se move na presença de um campo magnético uniforme

, com a velocidade da partícula fazendo um ângulo ϕ com a direção do campo. (b) A partícula

descreve uma trajetória helicoidal de raio r e passo p. (c) Uma partícula carregada se move em espiral na presença de um campo magnético não uniforme. (A partícula pode ser aprisionada, passando a descrever um movimento de vaivém entre as regiões em que o campo é mais intenso.) Observe que, nas duas extremidades, a componente horizontal da força magnética aponta para o centro da região.

 

Teste 3

A figura mostra as trajetórias circulares de duas partículas que se

movem com a mesma velocidade na presença de um campo magnético

uniforme que aponta para dentro do papel. Uma partícula é um

próton; a outra é um elétron (que possui uma massa muito menor). (a)

Qual das partículas descreve a circunferência menor? (b) Essa

partícula se move no sentido horário ou no sentido anti-horário?

 

Exemplo 28.03 Movimento helicoidal de uma

partícula carregada em um campo magnético

Um elétron com uma energia cinética de 22,5 eV penetra em uma

região onde existe um campo magnético de módulo 4,55 × 10−4 T. O

ângulo entre a direção de e a direção da velocidade do elétron é

65,5o. Qual é o passo da trajetória helicoidal do elétron?

 

IDEIAS-CHAVE

(1) O passo p é a distância que o elétron percorre paralelamente ao

campo magnético durante um período T de revolução. (2) O período

T é dado pela Eq. 28-17, independentemente do ângulo entre e

(contanto que o ângulo não seja zero, porque nesse caso a trajetória do

elétron não será circular).

Cálculos: De acordo com as Eqs. 28-20 e 28-17, temos

Podemos calcular a velocidade v do elétron a partir da energia cinética;

o resultado é v = 2,81 × 106 m/s. Substituindo esse valor e outros

valores conhecidos na Eq. 28-21, obtemos

 

Exemplo 28.04 Movimento circular uniforme

de uma partícula carregada em um campo

magnético

A Fig. 28-12 ilustra o princípio de funcionamento do espectrômetro de

massa, um instrumento usado para medir a massa de íons. Um íon de

massa m (a ser medida) e carga q é produzido na fonte S e acelerado

pelo campo elétrico associado a uma diferença de potencial V. O íon

entra em uma câmara de separação na qual existe um campo

magnético uniforme perpendicular à sua velocidade. O campo faz

com que o íon descreva uma trajetória semicircular antes de atingir um

detector situado na superfície inferior da câmara. Suponha que B =

80.000 mT, V = 1000,0 V e que íons de carga q = +1,6022 × 10−19 C

atinjam o detector em um ponto situado a uma distância x = 1,6254 m

do ponto de entrada na câmara. Qual é a massa m dos íons em

unidades de massa atômica? (Eq. 1-7: 1 u = 1,6605 × 10−27 kg.)

 

IDEIAS-CHAVE

(1) Como o campo magnético uniforme faz com que o íon descreva

uma trajetória circular, podemos relacionar a massa m do íon ao raio r

da trajetória por meio da Eq. 28-16 (r = mv/qB). De acordo com a Fig.

28-12, r = x/2 (o raio é metade do diâmetro) e conhecemos o módulo B

do campo magnético. Entretanto, não conhecemos a velocidade v dos

íons depois que são acelerados pela diferença de potencial V. (2) Para

determinar a relação entre v e V, usamos o fato de que a energia

mecânica (E = K + U) é conservada durante a aceleração. mec

Cálculo da velocidade: Quando o íon deixa a fonte, a energia cinética

é aproximadamente zero; ao entrar na câmara, a energia cinética

aumentou para . Além disso, durante a aceleração, o íon positivo

sofre uma variação de potencial elétrico de −V. Como o íon possui

uma carga positiva q, a variação de energia potencial é −qV. De acordo

com a lei de conservação da energia mecânica,

 

ΔK + ΔU = 0,

 

e, portanto,

 

Figura 28-12 Princípio de funcionamento de um espectrômetro de

massa. Um íon positivo, depois de ser gerado por uma fonte S e

acelerado por uma diferença de potencial V, penetra em uma câmara

onde existe um campo magnético uniforme , e descreve uma

semicircunferência de raio r antes de atingir um detector a uma

distância x do ponto em que penetrou na câmara.