Lei de Ampère

29-3 LEI DE AMPÈRE

 

Objetivos do Aprendizado

Depois de ler este módulo, você será capaz de ...

29.13 Aplicar a lei de Ampère a uma curva fechada que envolve uma corrente.

29.14 Usar a regra da mão direita para determinar o sinal algébrico de uma corrente envolvida por

uma curva fechada.

29.15 No caso de uma curva fechada que envolve mais de uma corrente, determinar a corrente total a

ser usada na lei de Ampère.

29.16 Aplicar a lei de Ampère a um fio longo retilíneo percorrido por uma corrente para calcular o

módulo do campo magnético dentro e fora do fio, sabendo que apenas a corrente envolvida por

uma amperiana deve entrar nos cálculos.

 

Ideia-Chave

• De acordo com a lei de Ampère,

 

A integral de linha da equação acima deve ser calculada para uma curva fechada conhecida como amperiana. A corrente i no lado direito da equação é a corrente total envolvida pela amperiana.

 

Lei de Ampère

É possível obter o campo elétrico total associado a qualquer distribuição de cargas somando os campos elétricos elementares produzidos por todos

os elementos de carga dq da distribuição. No caso de uma distribuição complicada de cargas, o método pode exigir o uso de um computador. Por

outro lado, como vimos no Capítulo 23, se a distribuição possui simetria planar, cilíndrica ou esférica, podemos usar a lei de Gauss para determinar diretamente o campo elétrico total.

Analogamente, é possível obter o campo magnético total associado a qualquer distribuição de correntes somando os campos magnéticos

elementares (Eq. 29-3) produzidos por todos os elementos de corrente i

da distribuição. No caso de uma distribuição complicada de correntes, o

método pode exigir o uso de um computador. Por outro lado, se a distribuição possui certos tipos de simetria, podemos usar a lei de Ampère para determinar diretamente o campo magnético total. A lei, que pode ser demonstrada a partir da lei de Biot-Savart, é expressa pela equação

 

O círculo no sinal de integral indica que a integração do produto escalar .

deve ser realizada para uma curva fechada, conhecida como amperiana.

A corrente i é a corrente total envolvida pela curva fechada. env

Para compreender melhor o significado do produto escalar . e sua

integral, vamos aplicar a lei de Ampère à situação geral da Fig. 29-12. A figura mostra a seção reta de três fios longos, perpendiculares ao plano do papel, percorridos por correntes i , i e i . Uma amperiana arbitrária traçada 1 2 3 no plano do papel envolve duas das correntes, mas não a terceira. O sentido anti-horário indicado na amperiana mostra o sentido arbitrariamente

escolhido para realizar a integração da Eq. 29-14.

Para aplicar a lei de Ampère, dividimos mentalmente a amperiana em elementos de comprimento , que são tangentes à curva e apontam no sentido de integração. Suponha que, no local do elemento que aparece na

Fig. 29-12, o campo magnético total devido às correntes nos três fios seja . Como os fios são perpendiculares ao plano do papel, sabemos que os campos magnéticos em produzidos pelas três correntes estão no plano da

Fig. 29-12; assim, o campo magnético total também deve estar nesse plano.

Entretanto, não conhecemos a orientação de . Na Fig. 29-12, foi desenhado arbitrariamente fazendo um ângulo θ com a direção de .

O produto escalar . do lado esquerdo da Eq. 29-14 é igual a B cos θ ds. Isso significa que a lei de Ampère pode ser escrita na forma

 

De acordo com a Eq. 29-15, o produto escalar . pode ser interpretado como o produto de um comprimento elementar ds da amperiana pela componente do campo magnético tangente à amperiana no ponto onde se encontra o comprimento elementar ds, B cos θ, e, portanto, a integral pode ser interpretada como a soma desses produtos para toda a amperiana.

 

Figura 29-12 Aplicação da lei de Ampère a uma amperiana arbitrária que envolve dois fios retilíneos longos, mas não um terceiro. Observe o sentido das correntes.

 

Sinal das Correntes. Para executar a integração, não precisamos conhecer o sentido de em todos os pontos da amperiana; supomos arbitrariamente que o sentido de coincide com o sentido de integração,

como na Fig. 29-12, e usamos a seguinte regra da mão direita para atribuir um sinal positivo ou negativo às correntes que contribuem para a corrente total envolvida pela amperiana, i : env

 

Apoie a palma da mão direita na amperiana, com os dedos apontando

no sentido da integração. Uma corrente no sentido do polegar

estendido recebe sinal positivo; uma corrente no sentido oposto recebe

sinal negativo.

 

Finalmente, resolvemos a Eq. 29-15 para obter o módulo de . Se B é positivo, isso significa que o sentido escolhido para está correto; se B é negativo, ignoramos o sinal e tomamos com o sentido oposto.

Corrente Total. Na Fig. 29-13, aplicamos a regra da mão direita da lei

de Ampère à situação da Fig. 29-12. Tomando o sentido de integração como o sentido anti-horário, a corrente total envolvida pela amperiana é

 

i = i − i . env 1 2

 

(A corrente i está do lado de fora da amperiana.) Assim, de acordo com a 3

Eq. 29-15,

 

O leitor pode estar se perguntando como é possível excluir a corrente i do 3

lado direito da Eq. 29-16, já que ela contribui para o módulo B do campo magnético do lado esquerdo da equação. A resposta é que as contribuições da corrente i para o campo magnético se cancelam quando a integração da 3

Eq. 29-16 é realizada para uma curva fechada, o que não acontece no caso das correntes que estão no interior da curva.

No caso da Fig. 29-12, não podemos usar a Eq. 29-16 para obter o módulo B do campo magnético porque não dispomos de informações suficientes para simplificar e resolver a integral. Entretanto, conhecemos o resultado da integração: é μ (i − i ), o valor obtido a partir das correntes 0 1 2 envolvidas pela amperiana.

Vamos agora aplicar a lei de Ampère a duas situações nas quais a simetria permite resolver a integral e calcular o campo magnético.

Figura 29-13 Uso da regra da mão direita da lei de Ampère para determinar o sinal das correntes

envolvidas por uma amperiana. A situação é a da Fig. 29-12.

 

Campo Magnético nas Vizinhanças de um Fio

Longo, Retilíneo, Percorrido por Corrente

A Fig. 29-14 mostra um fio longo, retilíneo, percorrido por uma corrente i

dirigida para fora do plano do papel. De acordo com a Eq. 29-4, o campo magnético produzido pela corrente tem o mesmo módulo em todos os pontos situados a uma distância r do fio, ou seja, possui simetria cilíndrica em relação ao fio. Podemos tirar partido da simetria para simplificar a

integral que aparece na lei de Ampère (Eqs. 29-14 e 29-15); para isso, envolvemos o fio em um amperiana circular concêntrica de raio r, como na

Fig. 29-14. O campo magnético tem o mesmo módulo B em todos os pontos da amperiana. Como vamos realizar a integração no sentido anti-

horário, tem o sentido indicado na Fig. 29-14.

 

Figura 29-14 Uso da lei de Ampère para determinar o campo magnético produzido do lado de fora de um fio retilíneo longo, de seção reta circular, percorrido por uma corrente i. A amperiana é uma circunferência concêntrica com um raio maior que o raio do fio.

 

Podemos simplificar a expressão B cos θ da Eq. 29-15 observando que tanto como são tangentes à amperiana em todos os pontos da curva. Assim, e devem ser paralelos ou antiparalelos em todos os pontos da amperiana; vamos adotar arbitrariamente a primeira possibilidade. Nesse caso, em todos os pontos, o ângulo θ entre e é 0o, cos θ = cos 0o = 1, e a

integral da Eq. 29-15 se torna

 

Observe que ds é a soma de todos os segmentos de reta ds da amperiana, o que nos dá simplesmente o perímetro 2πr da circunferência.

De acordo com a regra da mão direita, o sinal da corrente da Fig. 29-

14 é positivo; assim, o lado direito da lei de Ampère se torna +μ i e temos 0

 

Com uma pequena mudança de notação, a Eq. 29-17 nos dá a Eq. 29-4, que foi obtida no Módulo 29-1 (por um método muito mais trabalhoso) usando a lei de Biot-Savart. Além disso, como o módulo B do campo é positivo,

sabemos que o sentido correto de é o que aparece na Fig. 29-14.

 

Campo Magnético no Interior de um Fio Longo,

Retilíneo, Percorrido por Corrente

A Fig. 29-15 mostra a seção reta de um fio longo, retilíneo, de raio R, percorrido por uma corrente uniforme i dirigida para fora do papel. Como a distribuição de corrente ao longo da seção reta do fio é uniforme, o campo magnético produzido pela corrente tem simetria cilíndrica. Assim, para determinar o campo magnético em pontos situados no interior do fio,

podemos novamente usar uma amperiana de raio r, como mostra a Fig. 29-

15, em que agora r ≤ R. Como mais uma vez é tangente à curva, o lado esquerdo da lei de Ampère nos dá

Para calcular o lado direito da lei de Ampère, observamos que, como a distribuição de corrente é uniforme, a corrente i envolvida pela amperiana env

é proporcional à área envolvida pela curva, ou seja,

 

Usando a regra da mão direita, vemos que o sinal de i é positivo e, env

portanto, de acordo com a lei de Ampère,

 

Assim, no interior do fio, o módulo B do campo elétrico é proporcional a r; o valor é zero no centro do fio e máximo na superfície, em que r = R.

Observe que as Eqs. 29-17 e 29-20 fornecem o mesmo valor para B no ponto r = R, ou seja, as expressões para o campo magnético do lado de fora e do lado de dentro do fio fornecem o mesmo valor para pontos situados na superfície do fio.

 

Figura 29-15 Uso da lei de Ampère para determinar o campo magnético produzido por uma corrente i no interior de um fio retilíneo, longo, de seção reta circular. A corrente está distribuída uniformemente ao longo da seção reta do fio e aponta para fora do papel. A amperiana é uma circunferência concêntrica com um raio menor ou igual ao raio do fio.

Teste 2

A figura mostra três correntes de mesmo valor absoluto i (duas

paralelas e uma antiparalela) e quatro amperianas. Coloque as

amperianas na ordem decrescente do valor absoluto de .

 

Exemplo 29.03 Uso da lei de Ampère para

calcular o campo no interior de um cilindro longo,

oco, percorrido por corrente

A Fig. 29-16a mostra a seção reta de um cilindro longo, oco, de raio

interno a = 2,0 cm e raio externo b = 4,0 cm. O cilindro conduz uma

corrente para fora do plano do papel, e o módulo da densidade de

corrente na seção reta é dado por J = cr2, com c = 3,0 × 106 A/m4 e r

em metros. Qual é o campo magnético no ponto da Fig. 29-16a, que

está situado a uma distância r = 3,0 cm do eixo central do cilindro?

 

IDEIAS-CHAVE

O ponto no qual queremos determinar o campo está na parte sólida

do cilindro, entre o raio interno e o raio externo. Observamos que a

corrente tem simetria cilíndrica (é igual em todos os pontos situados à

mesma distância do eixo central). A simetria permite usar a lei de

Ampère para determinar o campo no ponto. Para começar, traçamos

uma amperiana como a que aparece na Fig. 29-16b. A curva é

concêntrica com o cilindro e tem um raio r = 3,0 cm porque estamos

interessados em determinar o campo a essa distância do eixo central

do cilindro.

 

Figura 29-16 (a)-(b) Para calcular o campo magnético em um ponto

deste cilindro oco, usamos uma amperiana concêntrica com o cilindro

que passa pelo ponto e determinamos a corrente envolvida pela

amperiana. (c)-(h) Como a densidade de corrente não é uniforme,

começamos com um anel elementar e somamos (por integração) as

correntes em todos os anéis que estão situados no interior da

amperiana.

 

O passo seguinte consiste em calcular a corrente i que é env

envolvida pela amperiana. Entretanto, não podemos usar uma simples

regra de três, como fizemos para chegar à Eq. 29-19, já que, desta vez,

a distribuição de corrente não é uniforme. Em vez disso, devemos

integrar o módulo da densidade de corrente entre o raio interno a do

cilindro e o raio r da amperiana, usando os passos mostrados nas Figs.

29-16c a 29-16h.

Cálculos: Escrevemos a integral na forma

 

Note que, nesses passos, tomamos o elemento de área dA como a área

do anel das Figs. 29-16d a 29-16f e depois o substituímos por um

elemento equivalente, o produto do perímetro do anel, 2πr, pela

espessura dr.

O sentido de integração indicado na Fig. 29-16b foi escolhido

arbitrariamente como o sentido horário. Aplicando à amperiana a regra

da mão direita, descobrimos que precisamos somar a corrente i como env

negativa, já que o sentido da corrente é para fora do papel, e o polegar

aponta para dentro do papel.

Em seguida, calculamos o lado esquerdo da lei de Ampère

exatamente como fizemos na Fig. 29-15 e obtemos mais uma vez a Eq.

29-18. Assim, a lei de Ampère,

 

nos dá

 

Explicitando B e substituindo os valores conhecidos, obtemos