Potencial Produzido por uma Distribuição Contínua de Carga

Potencial Produzido por uma Distribuição

Contínua de Carga

Quando uma distribuição de carga é contínua (como é o caso de uma barra ou um disco uniformemente carregado), não podemos usar o somatório da

Eq. 24-27 para calcular o potencial V em um ponto P. Em vez disso, devemos escolher um elemento de carga dq, calcular o potencial dV produzido por dq no ponto P e integrar dV para toda a distribuição de carga.

Vamos tomar novamente o potencial no infinito como nulo. Tratando o

elemento de carga dq como uma partícula, podemos usar a Eq. 24-26 para expressar o potencial dV no ponto P produzido por dq:

Nesta equação, r é a distância entre P e dq. Para calcular o potencial total V

no ponto P, integramos a Eq. (24-31) para todos os elementos de carga:

A integral deve ser calculada para toda a distribuição de cargas. Observe que, como o potencial elétrico é um escalar, não existem componentes de

vetores a serem consideradas na Eq. 24-32.

Vamos agora examinar duas distribuições contínuas de carga: uma linha de carga e um disco carregado.

Linha de Carga

Na Fig. 24-15a, uma barra fina, isolante, de comprimento L, possui uma densidade linear de carga positiva λ. Vamos determinar o potencial elétrico V produzido pela barra no ponto P, situado a uma distância perpendicular d da extremidade esquerda da barra.

Começamos por considerar um elemento de comprimento dx da barra,

como mostra a Fig. 24-15b. A carga desse elemento é dada por

O elemento produz um potencial elétrico dV no ponto P, que está a uma distância r = (x2 + d2)1/2. Tratando o elemento como uma partícula

carregada, podemos usar a Eq. 24-31 para escrever o potencial dV como

Como a carga da barra é positiva e tomamos como referência V = 0 no

infinito, sabemos, do Módulo 24-3, que dV na Eq. 24-34 deve ser positivo.

Figura 24-15 (a) Uma barra fina, uniformemente carregada, produz um potencial elétrico V no ponto P. (b) Um elemento de carga pode ser tratado como uma partícula. (c) O potencial produzido por um elemento de carga no ponto P depende da distância r. Precisamos somar os potenciais produzidos por todos os elementos de carga, da extremidade esquerda (d) à extremidade direita (e) da barra.

Agora estamos em condições de calcular o potencial total V produzido

pela barra no ponto P integrando a Eq. 24-34 ao longo da barra, de x = 0 a x

= L (Figs. 24-15d e 24-15e) com o auxílio da integral 17 do Apêndice E. O resultado é o seguinte:

Podemos simplificar esse resultado usando a identidade ln A − ln B = ln(A/B), o que nos dá

Como V é uma soma de valores positivos de dV, deve ser um número positivo, o que é confirmado pelo fato de que o argumento do logaritmo é maior que 1 para qualquer par de valores de L e d, já que o logaritmo natural de qualquer número maior que 1 é positivo.

Disco Carregado

No Módulo 22-5, calculamos o módulo do campo elétrico em pontos do eixo central de um disco de plástico de raio R com uma densidade de carga uniforme σ em uma das superfícies. Vamos agora obter uma expressão para V(z), o potencial elétrico em um ponto qualquer do eixo central. Como o disco apresenta uma distribuição circular de carga, poderíamos usar um elemento diferencial de área igual ao produto de uma distância radial elementar dr por um ângulo elementar dθ e calcular uma integral dupla. Entretanto, existe um método mais simples de resolver o problema.

Na Fig. 24-16, considere um elemento de área constituído por um anel de raio R′ e largura radial dR′. A carga desse elemento é dada por

dq = σ(2πR′)(dR′). em que (2πR′)(dR′) é a área do anel. Como o ponto P está no eixo central, todas as partes do elemento de carga estão à mesma distância r do ponto.

Com a ajuda da Fig. 24-16, podemos usar a Eq. 24-31 para escrever a contribuição do anel para o potencial elétrico no ponto P na forma

Para calcular o potencial total, somamos (por integração) as contribuições de todos os anéis de R′ = 0 a R′ = R:

Note que a variável de integração na segunda integral da Eq. 24-37 é R′ e não z, que permanece constante enquanto a integração ao longo da superfície do disco está sendo executada. (Observe também que no cálculo da integral supusemos que z ≥ 0.)

Figura 24-16 Um disco de plástico, de raio R, com uma densidade de carga uniforme σ na superfície superior. Estamos interessados em calcular o potencial V em um ponto P do eixo central do disco.