O Campo Elétrico Produzido por uma Linha de Carga

O Campo Elétrico Produzido por uma Linha de

 

Carga

Até agora, lidamos apenas com partículas carregadas, isoladas ou em pequenos grupos. Vamos agora discutir uma situação muito mais complexa, na qual um objeto fino (aproximadamente unidimensional), como uma barra ou um anel, contém um número muito grande de partículas carregadas. No próximo módulo, vamos tratar de objetos bidimensionais, como um disco carregado. No próximo capítulo, vamos estudar objetos tridimensionais, como uma esfera carregada.

Não Desanime. Muitos estudantes consideram este módulo o mais difícil do livro, por várias razões. São necessários muitos passos diferentes para resolver um problema, é preciso raciocinar em termos de vetores e, além de tudo, é preciso montar e resolver uma integral. A pior parte, porém, é que o método pode ser diferente para diferentes distribuições de carga. Assim, ao discutirmos a respeito de um arranjo em particular (um anel carregado), o leitor deve prestar atenção nos aspectos gerais do método, para poder aplicá-lo a outros problemas, como o de barras e segmentos curvos carregados.

A Fig. 22-11 mostra um anel delgado, de raio R, com uma distribuição uniforme de carga positiva. Vamos supor que o anel é feito de plástico, o que significa que as cargas permanecem imóveis. O campo elétrico envolve todo o anel, mas vamos restringir nossa discussão a um ponto P do eixo z (uma reta que passa pelo centro do anel e é perpendicular ao plano do anel), situado a uma distância z do centro do anel.

A carga de um objeto macroscópico é frequentemente expressa em termos de uma densidade de carga em vez da carga total. No caso de uma linha de carga, usamos a densidade linear de carga (carga por unidade de

comprimento) λ, cuja unidade no SI é o coulomb por metro. A Tabela 22-1 mostra as outras densidades de carga que serão usadas para superfícies e volumes de carga.

Primeiro Grande Problema. Até agora, temos apenas uma equação que nos dá o campo elétrico de uma partícula. (Podemos combinar os campos de mais de uma partícula, como fizemos no caso do dipolo elétrico,

mas, na verdade, estamos usando repetidamente a Eq. 22-3.) Considere o

anel da Fig. 22-11. Não podemos usar a Eq. 22-3, já que não se trata de uma única partícula, nem de um pequeno número de partículas, mas de um número tão grande de partícula que a distribuição de carga pode ser considerada infinita. O que fazer?

A solução é dividir mentalmente o anel em elementos de carga tão

pequenos que possam ser tratados como partículas. A Eq. 22-3 pode ser aplicada a esses elementos.

 

Tabela 22-1 Algumas Medidas de Carga Elétrica

 

Nome Símbolo Unidade do SI

Carga q C

Densidade linear de carga λ C/m

Densidade superficial de carga σ C/m2

Densidade volumétrica de carga ρ C/m3

 

Segundo Grande Problema. Como podemos aplicar a Eq. 22-3 aos elementos de carga dq (o d na frente do q serve para ressaltar que a carga de cada elemento é muito pequena), podemos escrever uma expressão para o campo d produzido individualmente pelos elementos de carga (o d na frente do serve para ressaltar que o campo elétrico produzido por um elemento é muito pequeno). Acontece que cada elemento contribui com um campo elétrico de módulo e orientação diferente para o campo em um ponto P do eixo central do anel. Como podemos somá-los para obter o campo total no ponto P?

A solução é calcular as componentes dos vetores campo elétrico em relação a eixos adequadamente escolhidos e somar separadamente as componentes para obter as componentes do campo elétrico total. Antes de executar a soma, porém, é importante examinar a simetria do problema para verificar se algumas dessas componentes se cancelam, o que pode facilitar muito o trabalho.

Terceiro Grande Problema. Como o anel contém um número enorme de elementos de carga dq, temos que somar um número enorme de campos elétricos d , mesmo que algumas componentes desses campos se cancelem por causa da simetria. Como podemos somar esse número enorme de elementos? A solução é usar uma integral.

Mãos à Obra. Vamos fazer tudo que foi dito anteriormente (mas preste atenção ao método em geral, em vez de se limitar aos detalhes).

Escolhemos arbitrariamente o elemento de carga mostrado na Fig. 22-11. Seja ds o comprimento do elemento de carga dq (ou de qualquer outro elemento de carga). Nesse caso, em termos da densidade linear de carga (carga por unidade de comprimento) λ, temos

 

Figura 22-11 Um anel de carga positiva distribuída uniformemente. Um elemento de carga tem um comprimento ds (grandemente exagerado na figura). Esse elemento cria um campo elétrico d no

ponto P.

 

Campo de um Elemento. O elemento de carga escolhido produz um campo elétrico elementar d no ponto P, situado a uma distância r do

elemento, como mostra a Fig. 22-11. (Ok, estamos introduzindo um novo símbolo que não aparece no enunciado do problema, mas logo vamos substituí-lo por “símbolos oficiais”.) Vamos agora escrever a equação do

módulo do campo produzido por uma partícula (Eq. 22-3) em termos dos

novos símbolos dE e dq e substituir dq pelo seu valor, dado pela Eq. 22-10. O módulo do campo elétrico produzido pelo elemento de carga é

 

Note que o novo símbolo r é a hipotenusa do triângulo retângulo

mostrado na Fig. 22-11. Isso significa que podemos substituir r por ,

o que nos dá

 

Como todos os elementos de carga têm a mesma carga e estão à mesma distância do ponto P, o módulo do campo elétrico produzido por todos os

elementos de carga é dado pela Eq. 22-12. A Fig. 22-11 também mostra que todos os campos elétricos elementares d fazem um ângulo θ com o eixo central (o eixo z) e, portanto, têm uma componente paralela e uma componente perpendicular ao eixo z.

Componentes que se Cancelam. Agora chegamos à parte mais fácil,

na qual eliminamos uma das componentes. Considere, na Fig. 22-11, o elemento de carga do lado oposto do anel. Esse elemento também produz um campo elétrico elementar de módulo dE, mas esse campo faz um ângulo θ do lado oposto do eixo z em relação ao elemento de carga inicial, como

mostra a vista lateral da Fig. 22-12. Assim, as duas componentes perpendiculares ao eixo se cancelam. Esse cancelamento acontece ao longo de todo o anel, entre um elemento de carga e o elemento de carga diametralmente oposto. Isso significa que a soma das componentes perpendiculares é zero.

Componentes que se Somam. Essa parte também é fácil. Como todas as componentes diferentes de zero apontam no sentido positivo do eixo z, podemos simplesmente calcular a soma aritmética dessas componentes. Isso significa que já conhecemos a orientação do campo elétrico total no ponto

P: ele aponta no sentido positivo do eixo z. De acordo com a Fig. 22-12, o módulo das componentes paralelas dos elementos de carga dq é dE cos θ, mas θ não é um símbolo oficial. Podemos substituir θ por símbolos oficiais

usando novamente o triângulo retângulo da Fig. 22-11 para escrever

Figura 22-12 Os campos elétricos criados no ponto P por um elemento de carga e o elemento de carga diametralmente oposto. As componentes perpendiculares ao eixo z se cancelam; as componentes paralelas ao eixo z se somam.

 

 

Multiplicando a Eq. 22-12 pela Eq. 22-13, obtemos a componente paralela do campo produzido por um elemento de carga:

 

Integração. Como temos que somar um número muito grande de elementos, escrevemos uma integral que se estende a todo o anel, de um ponto de partida (que vamos chamar de s = 0) até um ponto (s = 2πR) que corresponde ao mesmo ponto depois que todo o anel foi percorrido. Apenas a variável s muda de elemento para elemento. Como os outros parâmetros

da Eq. 22-14 permanecem os mesmos, podemos passá-los para o lado de fora da integral, o que nos dá

Essa poderia ser a resposta, mas podemos expressá-la em termos da carga total do anel usando a relação λ = q/2πR:

 

Se a carga do anel fosse negativa em vez de positiva, o módulo do campo

no ponto P seria dado pela Eq. 22-16, mas o campo elétrico apontaria no sentido negativo do eixo z, ou seja, na direção do anel.

Vejamos o que acontece com a Eq. 22-16 se o ponto estiver tão longe

do anel que z >> R. Nesse caso, z2 + R2 ≤ z2 e a Eq. 22-16 se torna

 

Esse resultado é razoável, já que, visto de uma grande distância, o anel

“parece” uma carga pontual. Substituindo z por r na Eq. 22-17, obtemos a

Eq. 22-3, usada para calcular o módulo de uma carga pontual.

Vamos verificar o que a Eq. 22-16 nos revela a respeito do ponto

situado no centro do anel, ou seja, o ponto z = 0. De acordo com a Eq. 22-

16, nesse ponto E = 0. Esse resultado é razoável, já que, se colocássemos uma carga de prova no centro do anel, ela seria repelida com a mesma força em todas as direções, a força resultante seria zero; portanto, de acordo com

a Eq. 22-1, o campo elétrico também teria de ser nulo.

 

Exemplo 22.03 Campo elétrico de um arco de

circunferência carregado

A Fig. 22-13a mostra uma barra de plástico com uma carga –Q

uniformemente distribuída. A barra tem a forma de um arco de

circunferência de 120o de extensão e raio r. Os eixos de coordenadas

são escolhidos de tal forma que o eixo de simetria da barra é o eixo x e

a origem P está no centro de curvatura do arco. Em termos de Q e de r,

qual é o campo elétrico produzido pela barra no ponto P?

IDEIA-CHAVE

Como a barra possui uma distribuição contínua de carga, devemos

obter uma expressão para o campo elétrico produzido por um elemento

de carga e integrar essa expressão ao longo da barra.

Um elemento: Considere um elemento de arco de comprimento ds

fazendo um ângulo θ com o eixo x (Figs. 22-13b e 22-13c). Chamando

de λ a densidade linear de carga da barra, a carga do elemento de arco

é dada por

 

Campo do elemento: O elemento de carga produz um campo elétrico

d no ponto P, que está uma distância r do elemento. Tratando o

elemento como uma carga pontual, podemos usar a Eq. 22-3 para

expressar o módulo de d na forma

 

Como a carga q é negativa, d aponta na direção de ds.

Parceiro simétrico: Ao elemento ds corresponde um elemento

simétrico (imagem especular) ds′, situado na parte inferior da barra. O

campo elétrico d ′ produzido por ds′ no ponto P tem o mesmo

módulo que d , mas aponta na direção de ds′, como mostra a Fig. 22-

13d. Quando determinamos as componentes x e y dos campos elétricos

d e d ′ (Figs. 22-13e e 22-13f), vemos que as componentes y se

cancelam (já que têm o mesmo módulo e sentidos opostos). Vemos

também que as componentes x têm o mesmo módulo e o mesmo

sentido.

Soma: Para determinar o campo elétrico produzido pela barra,

precisamos somar (por integração) apenas as componentes x dos

campos elétricos produzidos pelos elementos de carga da barra. De

acordo com a Fig. 22-13f e a Eq. 22-19, a componente dE do campo x

produzido pelo elemento ds é dada por

A Eq. 22-20 tem duas variáveis, θ e s. Antes de realizar a integração,

precisamos eliminar uma das variáveis. Para isso, usamos a relação

 

ds = r dθ,

 

em que dθ é o ângulo, com vértice em P, que subtende um arco de

comprimento ds (Fig. 22-13g). Depois de executar essa substituição,

podemos integrar a Eq. 22-20 de θ = –60o a θ = 60o. O resultado é o

módulo do campo elétrico produzido pela barra no ponto P:

Figura 22-13 (a) Uma barra de plástico de carga –Q tem a forma de

um arco de circunferência de raio r e ângulo central 120o; o ponto P é

o centro de curvatura da barra. (b)-(c) Um elemento de carga na parte

superior da barra, de comprimento ds e coordenada angular θ, cria um

campo elétrico d no ponto P. (d) Um elemento ds′, simétrico a ds em

relação ao eixo x, cria um campo d ′ no ponto P com o mesmo

módulo. (e)-(f) As componentes do campo. (g) O ângulo dθ subtende

um arco de comprimento ds.

 

(Se tivéssemos invertido os limites de integração, obteríamos o mesmo

resultado, com sinal negativo. Como a integração é usada apenas para

obter o módulo de , teríamos ignorado o sinal negativo.)

Densidade de carga: Para determinar o valor de λ, observamos que a

barra subtende um ângulo de 120o, o que corresponde a um terço de

circunferência. O comprimento da barra é, portanto, 2π/3 e a densidade

linear de carga é

Substituindo esse valor na Eq. 22-21 e simplificando, obtemos

 

O campo elétrico no ponto P aponta para a barra e é paralelo ao eixo

de simetria da distribuição de carga. Na notação dos vetores unitários,

o campo é dado por

 

Táticas para a Solução de Problemas

Vamos apresentar agora um método geral para calcular o campo

elétrico produzido em um ponto P por uma linha, retilínea ou

circular, com uma distribuição uniforme de carga. O método consiste

em escolher um elemento de carga dq, calcular o campo d produzido

por esse elemento e integrar d para toda a linha.

1o passo. Se a linha de carga for circular, tome o comprimento do

elemento de carga como ds, o comprimento de um arco elementar. Se a

linha for retilínea, suponha que coincide com o eixo x e tome o

comprimento do elemento de carga como dx. Assinale o elemento em

um esboço da linha de carga.

2o passo. Relacione a carga dq ao comprimento do elemento utilizando

a equação dq = λ ds (se a linha for circular) ou a equação dq = λ dx (se

a linha for retilínea). Considere dq e λ positivos, mesmo que a carga

seja negativa. (O sinal da carga será levado em consideração no

próximo passo.)

3o passo. Determine o campo d produzido no ponto P pela carga dq

usando a Eq. 22-3, substituindo q na equação por λ ds ou λ dx. Se a

carga da linha for positiva, desenhe o vetor d com a origem no ponto

P e apontando para longe de dq; se for negativo, desenhe o vetor com a

origem no ponto P e apontando na direção de dq.

4o passo. Preste atenção na simetria do problema. Se P estiver em um

eixo de simetria da distribuição de carga, determine as componentes do

campo d produzido no ponto P pela carga dq nas direções paralela e

perpendicular ao eixo de simetria e considere um segundo elemento de

carga dq′ situado simetricamente em relação a dq. Determine o campo

d ′ produzido pelo elemento de carga dq′ e suas componentes. Uma

das componentes do campo produzido por dq é uma componente

subtrativa; essa componente é cancelada por uma componente

produzida por dq′ e não precisa ser considerada. A outra componente

produzida por dq é uma componente aditiva; ela se soma a uma

componente produzida por dq′. Some (por integração) as componentes

aditivas de todos os elementos de carga.

5o passo. Seguem quatro tipos gerais de distribuição uniforme de

carga, com sugestões para simplificar a integral do 4o passo.

 

Como Lidar com Linhas de Carga

Anel, com o ponto P no eixo (central) de simetria, como na Fig.

22-11. Na expressão de dE, substitua r2 por z2 + R2, como na Eq. 22-

12. Expresse a componente aditiva de d em termos de θ. Isso

introduz um fator cos θ, mas θ é o mesmo para todos os elementos e,

portanto, não constitui uma variável. Substitua cos θ por seu valor,

como na Eq. 22-13, e integre em relação a s ao longo da circunferência

do anel.

Arco de circunferência, com o ponto P no centro de curvatura,

como na Fig. 22-13. Expresse a componente aditiva de d em termos

de θ. Isso introduz um fator sen θ ou cos θ. Reduza as variáveis s e θ a

uma única variável, θ, substituindo ds por r dθ. Integre em relação a θ,

como no Exemplo 22.3, de uma extremidade do arco até a extremidade

oposta.

Segmento de reta, com o ponto P em um prolongamento da linha

de carga, como na Fig. 22-14a. Na expressão de dE, substitua r por x.

Integre em relação a x de uma extremidade do segmento de reta até a

extremidade oposta.

Segmento de reta, com o ponto P a uma distância perpendicular y

da linha de carga, como na Fig. 22-14b. Na expressão de dE, substitua

r por uma função de x e y. Se o ponto P estiver na mediatriz da linha

de carga, determine uma expressão para a componente aditiva de d .

Isso introduz um fator sen θ ou cos θ. Reduza as variáveis x e θ a uma

única variável, x, substituindo a função trigonométrica por uma

expressão (a definição da função) envolvendo x e y. Integre em relação

a x de uma extremidade do segmento de reta até a extremidade oposta.

Se P não estiver em um eixo de simetria, como na Fig. 22-14c, escreva

uma integral para somar as componentes de dE e integre em relação a x

x para obter E . Escreva também uma integral para somar as x

componentes de dE e integre em relação a y para obter E . Utilize as y y

componentes E e E da forma usual para determinar o módulo E e a x y

orientação de .

 

Figura 22-14 (a) O ponto P está no prolongamento da linha de carga.

(b) O ponto P está na mediatriz da linha de carga, a uma distância

perpendicular y da linha de carga. (c) O ponto P não está em um eixo

de simetria.

 

6o passo. Uma ordem dos limites de integração leva a um resultado

positivo; a ordem inversa leva ao mesmo resultado, com sinal

negativo. Ignore o sinal negativo. Se o resultado for pedido em termos Ideia-Chave