Um Condutor Carregado

Ideias-Chave

• Todas as cargas em excesso de um condutor isolado se concentram na superfície externa do condutor.

• O campo no interior do um condutor carregado é zero e o campo elétrico nas proximidades do condutor é perpendicular à superfície e tem um módulo proporcional à densidade superficial de carga:

 

Um Condutor Carregado

A lei de Gauss permite demonstrar um teorema importante a respeito dos condutores:

 

Se uma carga em excesso é introduzida em um condutor, a carga se

concentra na superfície do condutor; o interior do condutor permanece

neutro.

 

Esse comportamento dos condutores é razoável, já que cargas do mesmo sinal se repelem. A ideia é que, ao se acumularem na superfície, as cargas em excesso se mantêm afastadas o máximo possível umas das outras. Podemos usar a lei de Gauss para demonstrar matematicamente essa afirmação.

A Fig. 23-11a mostra uma vista em corte de um pedaço de cobre, pendurado por um fio isolante, com uma carga em excesso q. Colocamos uma superfície gaussiana logo abaixo da superfície do condutor.

Figura 23-11 (a) Um pedaço de cobre, com uma carga q, pendurado por um fio isolante. Uma superfície gaussiana é colocada logo abaixo da superfície do condutor. (b) O pedaço de cobre agora possui uma cavidade. Uma superfície gaussiana é colocada no interior do condutor, perto da superfície da cavidade.

 

O campo elétrico no interior do condutor deve ser nulo; se não fosse assim, o campo exerceria uma força sobre os elétrons de condução (elétrons livres), que estão sempre presentes em um condutor, e isso produziria uma corrente elétrica. (Em outras palavras, haveria um movimento de cargas no interior do condutor.) Como não pode haver uma corrente perpétua em um condutor que não faz parte de um circuito elétrico, o campo elétrico deve ser nulo.

(Um campo elétrico interno existe durante certo tempo, enquanto o condutor está sendo carregado. Entretanto, a carga adicional logo se distribui de tal forma que o campo elétrico interno se anula e as cargas param de se mover. Quando isso acontece, dizemos que as cargas estão em equilíbrio eletrostático.)

Se é zero em todos os pontos do interior do pedaço de cobre, deve ser zero em todos os pontos da superfície gaussiana, já que a superfície escolhida, embora esteja próxima da superfície, fica no interior do pedaço de cobre. Isso significa que o fluxo que atravessa a superfície gaussiana também é zero. De acordo com a lei de Gauss, portanto, a carga total envolvida pela superfície de Gauss deve ser nula. Como o excesso de carga não está no interior da superfície de Gauss, só pode estar na superfície do condutor.

 

Um Condutor Carregado com uma Cavidade

Interna

A Fig. 23-11b mostra o mesmo condutor, agora com uma cavidade interna. É talvez razoável supor que, ao removermos o material eletricamente neutro para formar a cavidade, não mudamos a distribuição de carga nem a

configuração dos campos elétricos, que continuam sendo as mesmas da Fig.

23-11a. Vamos usar a lei de Gauss para demonstrar matematicamente essa conjectura.

Colocamos uma superfície gaussiana envolvendo a cavidade, próximo da superfície, no interior do condutor. Como = 0 no interior do condutor, o fluxo através dessa superfície também é nulo. Assim, a superfície não pode envolver nenhuma carga. A conclusão é que não existe carga em excesso na superfície da cavidade; toda a carga em excesso permanece na

superfície externa do condutor, como na Fig. 23-11a.

 

Remoção do Condutor

Suponha que, por um passe de mágica, fosse possível “congelar” as cargas em excesso na superfície do condutor, talvez revestindo-as com uma fina camada de plástico, e que o condutor pudesse ser removido totalmente. Isso

seria equivalente a aumentar a cavidade da Fig. 23-11b até que ocupasse todo o condutor. O campo elétrico não sofreria nenhuma alteração; continuaria a ser nulo no interior da fina camada de carga e permaneceria o mesmo em todos os pontos do exterior. Isso mostra que o campo elétrico é criado pelas cargas e não pelo condutor; este constitui apenas um veículo para que as cargas assumam suas posições de equilíbrio.

 

O Campo Elétrico Externo

Vimos que as cargas em excesso de um condutor isolado se concentram na superfície do condutor. A menos que o condutor seja esférico, porém, essas cargas não se distribuem de modo uniforme. Em outras palavras, no caso de condutores não esféricos, a densidade superficial de carga σ (carga por unidade de área) varia ao longo da superfície. Em geral, essa variação torna muito difícil determinar o campo elétrico criado por cargas superficiais, a não ser nas proximidades da superfície, pois, nesse caso, o campo elétrico pode ser determinado com facilidade usando a lei de Gauss. Para isso, consideramos uma região da superfície suficientemente pequena para que possamos desprezar a curvatura e usamos um plano para representar a região. Em seguida, imaginamos um pequeno cilindro gaussiano engastado

na superfície, como na Fig. 23-12: Uma das bases está do lado de dentro do condutor, a outra base está do lado de fora, e o eixo do cilindro é perpendicular à superfície do condutor.

Figura 23-12 (a) Vista em perspectiva e (b) vista lateral de uma pequena parte de um condutor de grande extensão com uma carga positiva na superfície. Uma superfície gaussiana cilíndrica, engastada perpendicularmente no condutor, envolve parte das cargas. Linhas de campo elétrico atravessam a base do cilindro que está do lado de fora do condutor, mas não a base que está do lado de dentro. A base que está do lado de fora tem área A e o vetor área é .

 

O campo elétrico na superfície e logo acima da superfície também é perpendicular à superfície. Se não fosse, ele teria uma componente paralela à superfície do condutor que exerceria forças sobre as cargas superficiais, fazendo com que elas se movessem. Esse movimento, porém, violaria nossa suposição implícita de que estamos lidando com um corpo em equilíbrio eletrostático. Assim, é perpendicular à superfície do condutor.

Vamos agora calcular o fluxo através da superfície gaussiana. Não há fluxo através da base que se encontra dentro do condutor, já que, nessa região, o campo elétrico é nulo. Também não há fluxo através da superfície lateral do cilindro, pois do lado de dentro do condutor o campo é nulo e do lado de fora o campo elétrico é paralelo à superfície lateral do cilindro. Assim, o único fluxo que atravessa a superfície gaussiana é o que atravessa a base que se encontra fora do condutor, em que é perpendicular ao plano da base. Supomos que a área da base, A, é suficientemente pequena para que o módulo E do campo seja constante em toda a base. Nesse caso, o fluxo através da base do cilindro é EA e esse é o fluxo total Φ que atravessa a superfície gaussiana.

A carga q envolvida pela superfície gaussiana está na superfície do env

condutor e ocupa uma área A. Se σ é a carga por unidade de área, q é igual env

a σA. Quando substituímos q por σA e Φ por EA, a lei de Gauss (Eq. 23-6) env

se torna

 

ε EA = σ , 0 A

 

e, portanto,

 

Assim, o módulo do campo elétrico logo acima da superfície de um condutor é proporcional à densidade superficial de carga do condutor. Se a carga do condutor é positiva, o campo elétrico aponta para fora do condutor,

como na Fig. 23-12; se é negativa, o campo elétrico aponta para dentro do condutor.

As linhas de campo da Fig. 23-12 devem terminar em cargas negativas externas ao condutor. Quando aproximamos essas cargas do condutor, a densidade de carga local na superfície do condutor é modificada, o que também acontece com o módulo do campo elétrico, mas a relação entre σ e

E continua a ser dada pela Eq. 23-11.

 

Exemplo 23.05 Casca metálica esférica,

campo elétrico e carga

A Fig. 23-13a mostra uma seção reta de uma casca metálica esférica

de raio interno R. Uma partícula com uma carga de –5,0 μC está

situada com o centro a uma distância R/2 do centro da casca. Se a

casca é eletricamente neutra, quais são as cargas (induzidas) na

superfície interna e na superfície externa? Essas cargas estão

distribuídas uniformemente? Qual é a configuração do campo elétrico

do lado de dentro e do lado de fora da casca?

 

IDEIAS-CHAVE

A Fig. 23-13b mostra uma seção reta de uma superfície gaussiana

esférica no interior do metal, perto da superfície interna da casca. O

campo elétrico é zero no interior do metal (e, portanto, na superfície

gaussiana, que está no interior do metal). Isso significa que o fluxo

elétrico através da superfície gaussiana também é zero. De acordo com

a lei de Gauss, portanto, a carga total envolvida pela superfície

gaussiana é zero.

Raciocínio: Como existe uma carga de –5,0 μC no interior da casca,

deve haver uma carga de +5,0 μC na superfície interna da casca para

que a carga envolvida seja zero. Se a partícula estivesse no centro de

curvatura da casca, as cargas positivas estariam distribuídas

uniformemente ao longo da superfície interna da casca. Como, porém,

a partícula está fora do centro, a distribuição de carga positiva é

assimétrica, como mostra a Fig. 23-13b; as cargas positivas tendem a

se concentrar na parte da superfície interna que está mais próxima da

partícula (já que a carga da partícula é negativa).

Como a casca é eletricamente neutra, para que a superfície interna

tenha uma carga de +5,0 μC é preciso que elétrons, com uma carga

total de –5,0 μC, sejam transferidos da superfície interna para a

superfície externa, onde se distribuem uniformemente, como mostra a

Fig. 23-13b. A distribuição de carga negativa é uniforme porque a

casca é esférica e porque a distribuição assimétrica de carga positiva

na superfície interna não pode produzir um campo elétrico no interior

do metal para afetar a distribuição de carga na superfície externa.