Transformadores

31.59 Explicar qual é o papel de um transformador no casamento de impedâncias.

 

Ideias-Chave

• Um transformador (considerado ideal) é formado por um núcleo de ferro que contém dois enrolamentos, o enrolamento primário, com N espiras, e o enrolamento secundário, com N espiras. p s Se o enrolamento primário está ligado a um gerador de corrente alternada, a relação entre as tensões do enrolamento primário e do enrolamento secundário é dada por

 

• A relação entre as correntes nos dois enrolamentos é dada por

 

• A resistência equivalente do circuito secundário, do ponto de vista do gerador, é dada por

 

• em que R é a carga resistiva do circuito secundário. A razão N /N é chamada de relação de espiras p s do transformador.

 

Transformadores

 

Necessidades de um Sistema de Transmissão de

Energia Elétrica

Quando a carga de um circuito de corrente alternada é uma resistência pura,

o fator de potência da Eq. 31-76 é cos 0o = 1 e a força eletromotriz aplicada

rms é igual à tensão V entre os terminais da carga. Assim, com uma rms

corrente I na carga, a energia é fornecida e dissipada a uma taxa média de rms

(Na Eq. 31-77 e no restante deste módulo, vamos adotar a prática usual de omitir os índices que indicam tratar-se de grandezas rms. A menos que seja dito explicitamente o contrário, os cientistas e engenheiros supõem que os valores de todas as correntes e tensões alternadas são valores rms, já que

são esses os valores indicados pelos instrumentos de medida.) A Eq. 31-77 mostra que, para satisfazer a uma dada necessidade de energia, temos uma larga faixa de opções, desde uma alta corrente I e uma baixa tensão V até uma baixa corrente I e uma alta tensão V; o que importa, em termos de potência fornecida à carga, é o produto IV.

Nos sistemas de distribuição de energia elétrica, é desejável, por motivos de segurança e para maior eficiência dos equipamentos, que a tensão seja relativamente baixa tanto na ponta da geração (nas usinas de energia elétrica) como na ponta do consumo (nas residências e indústrias). Ninguém acharia razoável que uma torradeira ou um trem elétrico de brinquedo fosse alimentado com 10 kV. Por outro lado, na transmissão de energia elétrica da usina de geração até o consumidor final, é desejável trabalhar com a menor corrente possível (e, portanto, com a maior tensão possível) para minimizar as perdas do tipo I2R (conhecidas como perdas ôhmicas) nas linhas de transmissão.

Considere, por exemplo, a linha de 735 kV usada para transmitir energia elétrica da usina hidrelétrica La Grande 2, em Quebec, para a cidade de Montreal, situada a 1000 km de distância. Suponha que a corrente é 500 A e que o fator de potência é praticamente 1. Nesse caso, de acordo com a

Eq. 31-77, a potência elétrica fornecida pela usina é

 

A resistência da linha de transmissão é da ordem de 0,220 Ω/km; assim, a resistência total para o percurso de 1000 km é 220 Ω. A potência dissipada na linha devido a essa resistência é

 

P = I2R = (500 A)2(220 Ω) = 55,0 MW, méd

 

que corresponde a quase 15% da potência total transmitida.

Imagine o que aconteceria se multiplicássemos a corrente por dois e reduzíssemos a tensão à metade. A potência fornecida pela usina continuaria a mesma, 368 MW, mas a potência dissipada na linha de transmissão passaria a ser

 

P = I2R = (1000 A)2(220 Ω) = 220 MW, méd

 

que corresponde a quase 60% da potência total transmitida. É por isso que existe uma regra geral para as linhas de transmissão de energia elétrica: Usar a maior tensão possível e a menor corrente possível.

 

O Transformador Ideal

A regra da transmissão de energia elétrica leva a uma incompatibilidade entre as condições para que a eletricidade seja distribuída de forma eficiente e as condições para que seja gerada e utilizada de forma segura. O problema, porém, pode ser contornado por um dispositivo capaz de aumentar (para a transmissão) e reduzir (para o consumo) a tensão nos circuitos, mantendo praticamente constante o produto corrente × tensão. Esse dispositivo é o transformador, que não tem partes móveis, utiliza a lei de indução de Faraday e não funciona com corrente contínua.

O transformador ideal da Fig. 31-18 é formado por duas bobinas, com diferentes números de espiras, enroladas em um núcleo de ferro. (Não existe contato elétrico entre as bobinas e o núcleo.) O enrolamento primário, com N espiras, está ligado a um gerador de corrente alternada p

cuja força eletromotriz é dada por

 

O enrolamento secundário, com N espiras, está ligado a uma resistência de s carga R, mas não há corrente no circuito se a chave S estiver aberta (vamos supor, por enquanto, que isso é verdade). Vamos supor também que, como se trata de um transformador ideal, a resistência dos enrolamentos é desprezível. Nos transformadores bem projetados, de alta capacidade, a dissipação de energia nos enrolamentos pode ser menor que 1%; assim, a hipótese é razoável.

Figura 31-18 Um transformador ideal, formado por duas bobinas enroladas em um núcleo de ferro, ligado a uma fonte e uma carga. Um gerador de corrente alternada produz uma corrente no enrolamento da esquerda (o primário). O enrolamento da direita (o secundário) é ligado à carga resistiva R quando a chave S é fechada.

 

Nessas condições, o enrolamento primário (ou, simplesmente, primário) do transformador se comporta como uma indutância pura, e o

circuito primário é semelhante ao da Fig. 31-12. Assim, a (pequena) corrente do primário, também chamada de corrente de magnetização I , mag

está atrasada de 90o em relação à tensão V do primário; o fator de potência p

do primário (= cos ϕ na Eq. 31-76) é zero e nenhuma potência é transferida do gerador para o transformador.

Mesmo assim, a pequena corrente alternada I do primário produz mag

um fluxo magnético alternado Φ no núcleo de ferro. A função do núcleo é B reforçar o fluxo e transferi-lo, praticamente sem perdas, para o enrolamento secundário (ou, simplesmente, secundário) do transformador. Como varia com o tempo, Φ induz uma força eletromotriz (= dΦ /dt) em cada B espira B espira do primário e do secundário. No primário, a tensão V é o produto de p

espira pelo número de espiras do primário N , ou seja, V = N . p p espira p

Analogamente, no secundário, a tensão é V = N . Podemos, portanto, s espira s escrever

Se N > N , o transformador é chamado de transformador elevador de s p

tensão, já que, nesse caso, a tensão V no secundário é maior que a tensão V sp no primário. Quando N < N , o transformador recebe o nome de s p transformador abaixador de tensão.

Com a chave S aberta, nenhuma energia é transferida do gerador para o resto do circuito. Quando a chave S é fechada, ligando o secundário à carga R (a carga poderia conter componentes indutivos e capacitivos, mas vamos supor que é puramente resistiva), várias coisas acontecem:

1. Uma corrente alternada I passa a existir no circuito secundário, e s

uma potência é dissipada na carga resistiva.

2. A corrente do secundário produz um fluxo magnético alternado no

núcleo de ferro; esse fluxo induz uma força eletromotriz no primário

que se opõe à força eletromotriz do gerador.

3. A tensão V do primário não pode mudar em resposta à nova força p

eletromotriz, já que, de acordo com a regra das malhas, é sempre igual

à força eletromotriz do gerador.

4. Para manter a tensão V , o gerador passa a produzir, além de I , p mag

uma corrente I no circuito primário; a amplitude e a fase de I são tais p p

que a força eletromotriz induzida por I no primário cancela p

exatamente a força eletromotriz induzida no primário por I . Como a s

constante de fase de I não é 90o como a constante de fase de I , a p mag

corrente I pode transferir energia do gerador para o primário. p

Transferência de Energia. Nosso interesse é calcular a relação entre Is e I ; para isso, em vez de analisar com detalhes o funcionamento do p

transformador, vamos simplesmente aplicar a lei de conservação da energia. A potência elétrica transferida do gerador para o primário é igual a V I . A p p potência recebida pelo secundário (por meio do campo magnético que enlaça os dois enrolamentos) é V I . Como estamos supondo que o s s transformador é ideal, nenhuma energia é dissipada nos enrolamentos e, portanto, de acordo com a lei de conservação na energia,

 

I V = I V . p p s s

Substituindo V por seu valor, dado pela Eq. 31-79, obtemos s

 

De acordo com a Eq. 31-80, a corrente I do secundário pode ser muito s diferente da corrente I do primário, dependendo da relação de espiras p

N /N . p s

A corrente I aparece no circuito primário por causa da carga resistiva p

R do circuito secundário. Para calcular I , fazemos I = V /R na Eq. 31-80 e p s s

substituímos V por seu valor, dado pela Eq. 31-79. O resultado é o s

seguinte:

 

A Eq. 31-81 é da forma I = V /R , em que a resistência equivalente R é p p eq eq dada por

 

A resistência equivalente R é a resistência de carga “do ponto de vista” do eq

gerador; o gerador produz uma corrente I e uma tensão V como se p p estivesse ligado a uma resistência R . eq

 

Casamento de Impedâncias

A Eq. 31-82 sugere outra aplicação para o transformador. Nos circuitos de corrente contínua, para que a transferência de energia de uma fonte para uma carga seja máxima, a resistência interna da fonte deve ser igual à resistência da carga. A mesma condição se aplica aos circuitos de corrente alternada, exceto pelo fato de que, nesse caso, são as impedâncias (e não as resistências) que devem ser iguais. Em muitos casos, a condição não é satisfeita. Nos aparelhos de som, por exemplo, a saída do amplificador tem uma alta impedância, e a entrada dos alto-falantes tem uma baixa impedância. Podemos compatibilizar (casar) as impedâncias de dois dispositivos ligando-os por um transformador com uma relação de espiras apropriada.

 

Teste 8

A fonte de alimentação alternada de um circuito tem uma resistência

interna menor que a carga resistiva do circuito. Para aumentar a

transferência de energia da fonte para a carga, decidiu-se usar um

transformador de casamento de impedâncias. (a) O valor de N deve s

ser maior ou menor que o valor de N ? (b) Isso faz do transformador p

um transformador elevador de tensão ou um transformador abaixador

de tensão?

 

Exemplo 31.08 Relação de espiras, potência

média e correntes de um transformador

Um transformador instalado em um poste funciona com V = 8,5 kV p

do lado do primário e fornece energia elétrica a várias casas das

vizinhanças com V = 120 V; as duas tensões são valores rms. Suponha s

que o transformador é ideal e a carga é resistiva.

(a) Qual é a relação de espiras N /N do transformador? p s

 

IDEIA-CHAVE

A relação de espiras N /N está relacionada às tensões (conhecidas) do p s

primário e do secundário pela Eq. 31-79 (V = V N /N ). s p s p

Cálculo: A Eq. 31-79 pode ser escrita na forma

(Observe que o lado direito da Eq. 31-83 é o inverso da relação de

 

espiras.) Invertendo ambos os membros da Eq. 31-83, temos

 

(b) A potência média consumida nas casas atendidas pelo

transformador é 78 kW. Quais são as correntes no primário e no

secundário do transformador?

 

IDEIA-CHAVE

Como a carga é resistiva, o fator de potência cos ϕ é unitário e,

portanto, a potência média fornecida e consumida é dada pela Eq. 31-

77 (P = I = IV). méd

Cálculos: No circuito primário, com V = 8,5 kV, a Eq. 31-77 nos dá p

 

No circuito secundário, temos

 

É fácil verificar que I = I (N /N ), como exige a Eq. 31-80. s p p s

(c) Qual é a carga resistiva R do circuito secundário? Qual é a carga s

correspondente R do circuito primário? p

Primeira abordagem: Podemos usar a equação V = IR para relacionar

a carga resistiva à tensão e à corrente. No caso do circuito secundário,

temos