Energia Armazenada em um Campo Magnético

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30.35 Demonstrar a equação usada para calcular a energia do campo magnético armazenado no indutor de um circuito RL com uma fonte de força

eletromotriz constante.

30.36 Conhecer a relação entre a energia do campo magnético U, a indutância L e a corrente i de um indutor.

Ideia-Chave

• Se um indutor L conduz uma corrente i, o campo magnético do indutor armazena uma energia dada pela equação

Energia Armazenada em um Campo Magnético Quando afastamos duas partículas carregadas uma da outra, podemos dizer que o aumento de energia potencial elétrica associado a esse afastamento fica armazenado no campo elétrico que existe entre as partículas. Podemos recuperar essa energia permitindo que as partículas se aproximem novamente. Da mesma forma, quando afastamos dois fios percorridos por correntes elétricas, podemos dizer que o aumento de energia potencial magnética associado a esse afastamento fica armazenado no campo magnético que existe entre os fios.

Para obter uma expressão matemática para a energia armazenada no campo magnético, considere novamente

a Fig. 30-16, que mostra uma fonte de força eletromotriz ligada a um resistor R e a um indutor L. A Eq. 30-39, repetida aqui por conveniência,

é a equação diferencial que descreve o aumento da corrente no circuito. Como vimos, a equação é uma consequência direta da aplicação da regra das malhas, que, por sua vez, é uma expressão da lei de conservação da

energia em circuitos com uma única malha. Multiplicando por i ambos os membros da Eq. 30-46, obtemos

que tem a seguinte interpretação em termos de trabalho e energia:

1. Se uma quantidade elementar de carga dq passa pela fonte de força eletromotriz da Fig. 30-16 em um

intervalo de tempo dt, a fonte realiza um trabalho por unidade de tempo ( dq)/dt = i. Assim, o lado

esquerdo da Eq. 30-47 representa a taxa com a qual a fonte fornece energia ao resto do circuito.

2. O termo i2R da Eq. 30-47 representa a taxa com a qual a energia é dissipada como energia térmica no

resistor.

3. De acordo com a lei de conservação da energia, a energia que é fornecida ao circuito e não é dissipada no

resistor deve ser armazenada no campo magnético do indutor. Isso significa que o termo Li di/dt da Eq. 30-47

representa a taxa dU /dt com a qual a energia potencial magnética U é armazenada no campo magnético. B B

Assim,

que pode ser escrita na forma

dU B = Li di.

Integrando ambos os membros, obtemos

que representa a energia armazenada por um indutor L percorrido por uma corrente i. Note a semelhança entre essa expressão e a expressão da energia armazenada por um capacitor de capacitância C e carga q,

(A variável i2 corresponde a q2 e a constante L corresponde a 1/C.)

Exemplo 30.07 Energia armazenada em um campo magnético

Uma bobina tem uma indutância de 53 mH e uma resistência de 0,35 Ω.

(a) Se uma força eletromotriz de 12 V é aplicada à bobina, qual é a energia armazenada no campo magnético

quando a corrente atinge o valor final?

IDEIA-CHAVE

De acordo com a Eq. 30-49 , a energia armazenada no campo magnético da bobina em qualquer

instante é função da corrente que atravessa a bobina nesse instante.

Cálculos: Para determinar a energia final UB, precisamos conhecer a corrente final. De acordo com a Eq. 30-

41, essa corrente é dada por

Assim, temos

(b) Após quantas constantes de tempo metade da energia final está armazenada no campo magnético?

Cálculos: Agora estamos interessados em saber em que instante de tempo t a relação

é satisfeita. Usando duas vezes a Eq. 30-49, podemos escrever essa equação na forma

De acordo com a Eq. 30-52, se uma corrente aumenta, a partir de 0, para um valor final i∞, metade da energia

final está armazenada no campo magnético quando a corrente é igual a . Além disso, sabemos que i é

dada pela Eq. 30-41 e i∞ (veja a Eq. 30-51) é igual a /R; assim, a Eq. 30-52 se torna

Dividindo ambos os membros por /R e reagrupando os termos, podemos escrever essa equação na forma