O Magnetismo e os Elétrons

Os materiais magnéticos, da magnetita aos ímãs de geladeira, são magnéticos por causa dos elétrons que eles contêm. Já vimos uma das formas pelas quais os elétrons podem gerar um campo magnético: Quando os elétrons se deslocam em um fio na forma de uma corrente elétrica, o movimento produz um campo magnético em torno do fio. Os elétrons podem produzir campos magnéticos por dois outros mecanismos, ambos relacionados a momentos dipolares magnéticos. Para explicá-los com detalhes, porém, seria preciso usar conceitos de física quântica que vão além dos objetivos a que este livro se propõe; por isso, apresentaremos apenas os resultados.

 

Momento Dipolar Magnético de Spin

Um elétron possui um momento angular intrínseco conhecido como momento angular de spin ou simplesmente spin, representado pelo símbolo . Associado a esse spin, existe um momento dipolar magnético de spin, representado pelo símbolo . (O termo intrínseco é usado para s indicar que e são propriedades básicas de um elétron, como a massa e a s

carga elétrica.) Os vetores e estão relacionados pela equação s

 

em que e é a carga elementar (1,60 × 10−19 C) e m é a massa do elétron (9,11

× 10−31 kg). O sinal negativo significa que e têm sentidos opostos. s

O spin é diferente dos momentos angulares do Capítulo 11 sob dois aspectos:

1. O spin não pode ser medido; apenas sua componente em relação a

um eixo qualquer pode ser medida.

2. A componente medida de é quantizada, um termo geral que

significa que a grandeza pode assumir apenas certos valores. A

componente medida de pode assumir apenas dois valores, que

diferem apenas quanto ao sinal.

Vamos supor que seja medida a componente do spin em relação ao eixo z de um sistema de coordenadas. Nesse caso, a componente S pode assumir z apenas os valores dados por

 

em que m é chamado de número quântico magnético de spin e h (= 6,63 × s

10−34 J · s) é a constante de Planck, uma constante que aparece em muitas

equações da física quântica. Os sinais que aparecem na Eq. 32-23 estão relacionados ao sentido de S em relação ao eixo z. Quando S é paralelo ao z z eixo z, m = 1/2 e dizemos que o spin do elétron está para cima. Quando S sz é antiparalelo ao eixo z, m = −1/2 e dizemos que o spin do elétron está para s

baixo.

O momento dipolar magnético de spin de um elétron também não s

pode ser medido; é possível apenas medir uma componente, que também é quantizada, com dois valores possíveis de mesmo valor absoluto e sinais opostos. Podemos relacionar a componente μ a S tomando as s,z z

componentes de ambos os membros da Eq. 32-22:

 

Substituindo S pelo seu valor, dado pela Eq. 32-23, temos z

 

em que os sinais positivo e negativo correspondem às situações em que μ s,z está paralelo e antiparalelo ao eixo z, respectivamente.

O valor absoluto da grandeza do lado direito da Eq. 32-24 é chamado de magnéton de Bohr e representado pelo símbolo μ : B

O momento dipolar magnético do elétron e de outras partículas elementares pode ser expresso em termos de μ . No caso do elétron, o valor absoluto da B componente z de é dado por s

 

 

(De acordo com a teoria quântica, o valor de μ é ligeiramente maior que s,z 1μ , mas vamos ignorar esse fato.) B

Energia. Quando um elétron é submetido a um campo externo , ext

uma energia U pode ser associada à orientação do momento dipolar magnético de spin do elétron, da mesma forma como uma energia pode s

ser associada à orientação do momento magnético dipolar de uma espira

percorrida por corrente submetida a um campo . De acordo com a Eq. ext

28-38, a energia orientacional do elétron é

 

em que o eixo z é tomado como a direção de . ext

Imaginando o elétron como uma esfera microscópica (o que não corresponde à realidade), podemos representar o spin , o momento dipolar magnético de spin e o campo magnético associado ao momento dipolar s

magnético como na Fig. 32-10. Apesar do nome “spin” (rodopio, em inglês), o elétron não gira como um pião. Como um objeto pode possuir momento angular sem estar girando? Mais uma vez, apenas a mecânica quântica pode fornecer a resposta.

Os prótons e os nêutrons também possuem um momento angular intrínseco chamado spin e um momento dipolar magnético de spin associado. No caso do próton, os dois vetores têm o mesmo sentido; no caso do nêutron, eles têm sentidos opostos. Não vamos discutir as contribuições do momento dipolar dos prótons e nêutrons para o campo magnético dos átomos porque são cerca de mil vezes menores que a contribuição do momento dipolar dos elétrons.

Figura 32-10 O spin , o momento dipolar magnético de spin e o campo dipolar magnético de s

um elétron representado como uma esfera microscópica.

 

Teste 4

A figura mostra a orientação dos spins de duas partículas submetidas a

um campo magnético externo . (a) Se as partículas forem elétrons, ext

que orientação do spin corresponde à menor energia potencial? (b) Se

as partículas forem prótons, que orientação do spin corresponde à

menor energia potencial?

 

Momento Dipolar Magnético Orbital

Quando faz parte de um átomo, um elétron possui um momento angular adicional que recebe o nome de momento angular orbital e é representado pelo símbolo . Associado a existe um momento magnético dipolar orb orb orbital ; a relação entre as duas grandezas é a seguinte: orb

 

O sinal negativo significa que e têm sentidos opostos. orb orb

O momento angular não pode ser medido; é possível apenas medir orb

uma componente, que é quantizada. A componente segundo um eixo arbitrário z pode ter apenas valores dados por

 

em que m é chamado de número quântico magnético orbital, e “limite” é o ℓ

valor inteiro máximo permitido para m . Os sinais da Eq. 32-29 têm a ver ℓ com o sentido de L em relação ao eixo z. orb,z

O momento dipolar magnético orbital de um elétron também não orb

pode ser medido; é possível apenas medir uma componente, que é

quantizada. Escrevendo a Eq. 32-28 para uma componente segundo o mesmo eixo z que o momento angular e substituindo o valor de L dado orb,z

pela Eq. 32-29, podemos escrever a componente z μ do momento dipolar orb,z

magnético orbital como

 

e, em termos do magnéton de Bohr, como

 

Na presença de um campo magnético externo , os elétrons de um ext

átomo possuem uma energia U que depende da orientação do momento dipolar magnético orbital em relação ao campo. O valor dessa energia é dado por

em que o eixo z é tomado como a direção de . ext

 

Embora tenhamos usado a palavra “orbital”, os elétrons não giram em órbita em torno do núcleo da mesma forma que os planetas giram em órbita em torno do Sol. Como um elétron pode possuir momento angular orbital sem estar se movendo em órbita? Mais uma vez, apenas a mecânica quântica pode fornecer a resposta.

 

Modelo da Espira para Órbitas Eletrônicas

Podemos obter a Eq. 32-28 usando a demonstração a seguir, que não envolve a física quântica e se baseia na suposição de que o elétron descreve uma trajetória circular com um raio muito maior que o raio atômico (daí o nome “modelo da espira”). Curiosamente, a demonstração, embora conduza ao resultado correto, não é válida para os elétrons no interior de um átomo (caso em que seria indispensável usar as equações da física quântica).

 

Figura 32-11 Um elétron que se move com velocidade constante v em uma trajetória circular de raio r que envolve uma área A possui um momento angular orbital e um momento dipolar orb

magnético associado . Uma corrente i no sentido horário (associada ao movimento de uma carga orb

positiva) equivale a um movimento no sentido anti-horário de um elétron, que possui carga negativa.

 

Imagine um elétron que esteja se movendo com velocidade escalar constante v em uma trajetória circular de raio r no sentido anti-horário,

como mostrado na Fig. 32-11. O movimento da carga negativa do elétron é equivalente a uma corrente convencional i (de carga positiva) no sentido

horário, como também mostrado na Fig. 32-11. O módulo do momento dipolar magnético orbital dessa espira percorrida por uma corrente é dado

pela Eq. 28-35 com N = 1:

 

em que A é a área envolvida pela espira. De acordo com a regra da mão

direita da Fig. 29-21, o sentido do momento dipolar magnético é para baixo

na Fig. 32-11.

Para usar a Eq. 32-33, precisamos conhecer o valor da corrente i. A corrente pode ser definida como a taxa com a qual a carga passa por um ponto de um circuito. Como, nesse caso, uma carga de valor absoluto e leva um tempo T = 2πr/v para descrever uma circunferência completa, temos

 

Substituindo esse valor e a área A = πr2 da espira na Eq. 32-33, obtemos

 

Para calcular o momento angular orbital do elétron , usamos a Eq. orb

11-18, . Como e são perpendiculares, o módulo de é dado orb por

 

O sentido do vetor é para cima na Fig. 32-11 (veja a Fig. 11-12). orb

Combinando as Eqs. 32-35 e 32-36, generalizando para uma formulação vetorial e usando um sinal negativo para indicar que os vetores têm sentidos opostos, obtemos

que é a Eq. 32-28. Assim, por meio de uma análise “clássica” (não quântica), é possível obter um resultado igual, tanto em módulo como em orientação, ao da mecânica quântica. O leitor talvez esteja se perguntando, ao constatar que essa demonstração fornece o resultado correto para um elétron no interior do átomo: Por que a demonstração não é válida para essa situação? A resposta é que a mesma linha de raciocínio leva a outros resultados que não estão de acordo com os experimentos.

 

Modelo da Espira em um Campo Não Uniforme

Vamos continuar a considerar um elétron em órbita como uma espira

percorrida por uma corrente, como na Fig. 32-11. Agora, porém, vamos supor que a espira está submetida a um campo magnético não uniforme , ext

como na Fig. 32-12a. (Esse campo pode ser, por exemplo, o campo

divergente que existe nas proximidades do polo norte do ímã da Fig. 32-4.) Fazemos essa mudança para nos preparar para os próximos módulos, nos quais discutiremos as forças que agem sobre materiais magnéticos quando são submetidos a um campo magnético não uniforme. Vamos discutir as forças supondo que as órbitas dos elétrons nesses materiais sejam pequenas

espiras percorridas por uma corrente como a espira da Fig. 32-12a.

Vamos supor que todos os vetores de campo magnético ao longo da trajetória do elétron têm o mesmo módulo e fazem o mesmo ângulo com a

vertical, como nas Figs. 32-12b e 32-12d. Vamos supor, também, que os

elétrons de um átomo podem se mover no sentido anti-horário (Fig. 32-12b)

ou no sentido horário (Fig. 32-12d). A corrente i e o momento dipolar

magnético orbital estão representados na Fig. 32-12 para esses sentidos orb

de movimento.

As Figs. 32-12c e 32-12e mostram visões diametralmente opostas de um elemento de comprimento da espira com o mesmo sentido que i,

visto do plano da órbita. Também são mostrados o campo e a força ext

magnética que age sobre o elemento . Lembre-se de que uma corrente ao longo de um elemento na presença de um campo magnético ext

experimenta uma força dada pela Eq. 28-28:

Do lado esquerdo da Fig. 32-12c, de acordo com a Eq. 32-37, a força aponta para cima e para a direita. Do lado direito, a força tem o mesmo módulo e aponta para cima e para a esquerda. Como os ângulos com a vertical são iguais, as componentes horizontais se cancelam e as componentes verticais se somam. O mesmo se aplica a todos os outros pares de pontos simétricos da espira. Assim, a força total a que a espira da

Fig. 32-12b está submetida aponta para cima. O mesmo raciocínio leva a

uma força dirigida para baixo no caso da espira da Fig. 32-12d. Vamos usar os dois resultados daqui a pouco, quando estudarmos o comportamento de materiais magnéticos na presença de um campo magnético não uniforme.

Figura 32-12 (a) Modelo da espira para um elétron em órbita em um átomo e submetido a um campo magnético não uniforme . (b) Se uma carga −e está se movendo no sentido anti-horário, a ext

corrente convencional i associada tem o sentido horário. (c) As forças magnéticas exercidas sobre as extremidades da espira, vistas do plano da espira. A força total que age sobre a espira é para cima. (d) A carga −e agora está se movendo no sentido horário. (e) A força total que age sobre a espira agora é para baixo.