Campos Cruzados: O Efeito Hall

Como vimos, um feixe de elétrons no vácuo pode ser desviado por um campo magnético. Será que os elétrons que se movem no interior de um fio de cobre também podem ser desviados por um campo magnético? Em 1879, Edwin H. Hall, na época um aluno de doutorado, de 24 anos, da Johns Hopkins University, mostrou que sim. Esse desvio, que mais tarde veio a ser conhecido como efeito Hall, permite verificar se os portadores de corrente em um condutor têm carga positiva ou negativa. Além disso, pode ser usado para determinar o número de portadores de corrente por unidade de volume do condutor.

A Fig. 28-8a mostra uma fita de cobre, de largura d, percorrida por uma corrente i cujo sentido convencional é de cima para baixo na figura. Os portadores de corrente são elétrons que, como sabemos, se movem (com velocidade de deriva v ) no sentido oposto, de baixo para cima. No instante d

mostrado na Fig. 28-8a, um campo magnético externo , que aponta para

dentro do papel, acaba de ser ligado. De acordo com a Eq. 28-2, uma força magnética age sobre os elétrons, desviando-os para o lado direito da fita.

Com o passar do tempo, os elétrons se acumulam na borda direita da fita, deixando cargas positivas não compensadas na borda esquerda. A separação de cargas positivas e negativas produz um campo elétrico no

interior da fita que aponta para a direita na Fig. 28-8b. O campo exerce uma força sobre os elétrons que tende a desviá-los para a esquerda e, portanto, se opõe à força magnética.

Equilíbrio. Os elétrons continuam a se acumular na borda direita da fita até que a força exercida pelo campo elétrico equilibre a força exercida

pelo campo magnético. Quando isso acontece, como mostra a Fig. 28-8b, as forças e têm módulos iguais e sentidos opostos. Os elétrons passam a se mover em linha reta em direção ao alto do desenho com velocidade e o campo elétrico para de aumentar.

De acordo com a Eq. 24-21, ao campo elétrico está associada uma diferença de potencial de Hall entre as bordas da fita. Essa diferença é dada por

 

em que d é a largura da fita.

Ligando um voltímetro às bordas da fita, podemos medir essa diferença de potencial e descobrir em qual das bordas o potencial é maior.

Para a situação da Fig. 28-8b, observaríamos que o potencial é maior na borda da esquerda, como é de se esperar no caso de portadores de corrente negativos.

Vamos supor que os portadores responsáveis pela corrente i tivessem

carga positiva (Fig. 28-8c). Nesse caso, os portadores estariam se movendo de cima para baixo, seriam desviados para a borda da direita pela força e o potencial seria maior na borda da direita, o que não estaria de acordo com a leitura do voltímetro. A leitura obtida indica, portanto, que os portadores de corrente têm carga negativa.

Concentração de Portadores. Vamos passar à parte quantitativa. De

acordo com as Eqs. 28-1 e 28-3, quando as forças elétrica e magnética estão

em equilíbrio (Fig. 28-8b), temos

 

De acordo com a Eq. 26-7, a velocidade de deriva v é dada por d

 

em que J (= i/A) é a densidade de corrente na fita, A é a área da seção reta da fita e n é a concentração de portadores de corrente (número de portadores por unidade de volume).

Combinando as Eqs. 28-9, 28-10 e 28-11, obtemos

Figura 28-8 Uma fita de cobre percorrida por uma corrente i é submetida a um campo magnético . (a) Situação logo depois que o campo magnético é aplicado, mostrando a trajetória curva de um elétron. (b) Situação após o equilíbrio ser atingido, o que acontece rapidamente. Observe que cargas negativas se acumulam do lado direito da fita, deixando cargas positivas não compensadas do lado esquerdo, o que faz com que o potencial seja maior do lado esquerdo. (c) Para o mesmo sentido da corrente, se os portadores de corrente fossem positivos, eles tenderiam a se acumular no lado direito, que ficaria com um potencial maior.

 

em que l (= A/d) é a espessura da fita. A Eq. 18-12 permite calcular o valor de n a partir de grandezas conhecidas.

Velocidade de Deriva. Também é possível usar o efeito Hall para medir diretamente a velocidade de deriva v dos portadores de corrente, que, d como vimos, é da ordem de centímetros por hora. Nesse experimento engenhoso, a fita é deslocada mecanicamente, na presença de um campo magnético, no sentido oposto ao da velocidade de deriva dos portadores, e a velocidade da fita é ajustada para que a diferença de potencial de Hall seja zero. Para que isso aconteça, é preciso que seja zero a velocidade dos portadores em relação ao laboratório; nessas condições, portanto, a velocidade dos portadores de corrente tem o mesmo módulo que a velocidade da fita, mas o sentido oposto.

Condutor em Movimento. Quando uma fita metálica se move com velocidade v na presença de um campo magnético, os elétrons de condução do material se movem com a mesma velocidade, comportando-se como os

elétrons da corrente elétrica mostrada nas Figs. 28-8a e 28-8b e produzindo um campo elétrico e uma diferença de potencial V. Como no caso da corrente, o equilíbrio entre a força elétrica e a força magnética se estabelece rapidamente, mas, neste caso, devemos escrever a condição de equilíbrio em termos da velocidade v da fita e não da velocidade de deriva v , como d

fizemos na Eq. 28-10.

 

eE = evB.

 

Substituindo E por seu valor, dado pela Eq. 28-9, obtemos

 

A diferença de potencial causada pelo movimento pode ser motivo de preocupação em algumas situações, como no caso de certos componentes metálicos dos satélites artificiais, que giram em órbita na presença do campo magnético terrestre. Por outro lado, se um longo fio metálico (conhecido como cabo eletrodinâmico) é pendurado em um satélite, a diferença de potencial pode ser usada para alimentar os circuitos elétricos do satélite.

 

Exemplo 28.02 Diferença de potencial em um

condutor em movimento

A Fig. 28-9a mostra um cubo de metal de aresta d = 1,5 cm que se

move no sentido positivo do eixo y com uma velocidade constante de

módulo 4,0 m/s. Na região existe um campo magnético uniforme de

módulo 0,050 T no sentido positivo do eixo z.

(a) Em que face do cubo o potencial é menor e em que face o potencial

é maior por causa da influência do campo magnético?

 

IDEIA-CHAVE

Como o cubo está se movendo na presença de um campo magnético ,

uma força magnética age sobre as partículas carregadas que existem

no cubo, entre as quais estão os elétrons.

Raciocínio: O cubo está se movendo e os elétrons participam desse

movimento. Como os elétrons têm carga q e estão se movendo com

velocidade na presença de um campo magnético, a força magnética

que age sobre os elétrons é dada pela Eq. 28-2. Como q é negativa, o

sentido de é o oposto ao do produto vetorial × , que aponta no

sentido positivo do eixo x (Fig. 28-9b). Assim, aponta no sentido

negativo do eixo x, em direção à face esquerda do cubo (Fig. 28-9c).

A maioria dos elétrons está presa aos átomos do cubo. Entretanto,

como é feito de metal, o cubo contém elétrons de condução que estão

livres para se mover. Alguns desses elétrons de condução são

desviados pela força na direção da face esquerda do cubo, o que

torna essa face negativamente carregada e deixa a face da direita

positivamente carregada (Fig. 28-9d). A separação de cargas produz

um campo elétrico dirigido da face direita, positivamente carregada,

para a face esquerda, negativamente carregada (Fig. 28-9e). Assim, o

potencial da face esquerda é menor e o potencial da face direita é

maior.

(b) Qual é a diferença de potencial entre as faces de maior e menor

potencial elétrico?

 

IDEIAS-CHAVE

1. O campo elétrico criado pela separação de cargas faz com que cada elétron seja submetido a uma força elétrica

(Fig. 28-9f). Como q é negativa, a força tem o sentido

oposto ao de . Assim, aponta para a direita e aponta para a esquerda.

2. Quando o cubo penetra na região em que existe campo magnético e as cargas começam a se separar, o módulo de começa a aumentar a partir de zero. Assim, o módulo de também começa a aumentar a partir de zero e é inicialmente menor que . Nesse estágio inicial, o movimento dos elétrons é dominado por , que acumula elétrons na face

esquerda do cubo, aumentando a separação de cargas (Fig.

28-9g).

Figura 28-9 (a) Um cubo de metal que se move com velocidade

constante na presença de um campo magnético uniforme. (b)-(d)

Nessas vistas frontais, a força magnética desloca os elétrons para a

face esquerda, tornando-a negativa e deixando a face direita com uma

carga positiva. (e)-(f) O campo elétrico resultante se opõe ao

movimento dos elétrons, mas eles continuam a se acumular na face

esquerda. Quando o campo elétrico atinge certo valor (g), a força

elétrica se torna igual à força magnética e (h) a carga das faces laterais

se estabiliza.

 

3. Com o aumento da separação de cargas, chega um instante

em que a força se torna igual em módulo à força (Fig.

28-9h). Nesse instante, a força total exercida sobre os elétrons é zero e os elétrons deixam de se acumular na face esquerda do cubo. Assim, o módulo de para de aumentar, e o sistema entra em equilíbrio.

Cálculos: Estamos interessados em calcular a diferença de potencial V

entre a face esquerda e a face direita do cubo depois de atingido o

equilíbrio (que acontece quase instantaneamente). Podemos obter o

valor de V usando a Eq. 28-9 (V = Ed), mas para isso precisamos

conhecer o módulo E do campo elétrico na condição de equilíbrio.

Para obter o valor de E, usamos a equação de equilíbrio de forças (F = E

F ). B

Para calcular F , usamos a relação F = |q|E, obtida a partir da Eq. E E

28-1; para calcular F , usamos a relação F = |q|vB sen ϕ (Eq. 28-3). B B

De acordo com a Fig. 28-9a, o ângulo ϕ entre os vetores e é 90o;

fazendo sen ϕ = 1 e F = F , obtemos E B

 

|q|E = |q|vB sen 90o = |q|vB.

 

Isso nos dá E = vB e, portanto, V = Ed se torna

 

V = vBd.

 

Substituindo os valores conhecidos, obtemos