Lei de Gauss e Lei de Coulomb

 

A lei de Gauss pode ser usada para determinar o campo elétrico produzido por uma partícula carregada. Nesse caso, o campo tem simetria esférica (depende apenas da distância r entre o ponto considerado e a partícula). Para tirar proveito dessa simetria, envolvemos a partícula em uma esfera

gaussiana com centro na partícula, como mostra a Fig. 23-9 para uma partícula com uma carga positiva q. Como todos os pontos da superfície da esfera estão à mesma distância r da partícula, o campo elétrico tem o mesmo valor E em todos os pontos da superfície da esfera, o que facilita bastante o cálculo da integral.

 

Figura 23-9 Uma superfície gaussiana esférica com centro em uma partícula de carga q.

 

O método a ser usado é o mesmo visto anteriormente. Escolhemos um elemento de área na superfície da esfera e desenhamos um vetor área d perpendicular ao elemento, apontando para fora da esfera. A simetria da situação mostra que o campo elétrico também é perpendicular à

superfície da esfera e aponta para fora da esfera, o que significa que o ângulo entre e d é θ = 0. Assim, a lei de Gauss nos dá

 

em que q = q. Como o módulo E do campo elétrico é igual em todos os env

elementos de área, ele pode ser colocado do lado de fora do sinal de integração, o que nos permite escrever

 

A integral restante é apenas uma receita para somar todas as áreas elementares, mas já sabemos que a área total é 4πr2. Substituindo a integral

pelo seu valor na Eq. 23-9, obtemos

 

A Eq. 23-10 é exatamente igual à Eq. 22-3, que obtivemos usando a lei de Coulomb.

 

Teste 3

Um fluxo Φ atravessa uma esfera gaussiana de raio r que envolve uma i

única partícula carregada. Suponha que a esfera gaussiana seja

substituída (a) por uma esfera gaussiana maior, (b) por um cubo

gaussiano de lado r e (c) por um cubo gaussiano de lado 2r. Em cada

caso, o fluxo total através da nova superfície gaussiana é maior, menor

ou igual a Φ ? i

Exemplo 23.03 Uso da lei de Gauss para

determinar um campo elétrico

A Fig. 23-10a mostra, em seção reta, uma casca esférica de plástico de

raio R = 10 cm e espessura desprezível, com carga Q = –16e

distribuída uniformemente. No centro da casca está uma partícula de

carga q = +5e. Qual é o campo elétrico (módulo e orientação) (a) em

um ponto P situado a uma distância r = 6 cm do centro da casca e (b) 1 1

em um ponto P situado a uma distância r = 12,0 cm do centro da 2 2

casca?

 

IDEIAS-CHAVE

(1) Como o sistema mostrado na Fig. 23-10a tem simetria esférica, é

conveniente usar uma superfície gaussiana concêntrica com a casca

para determinar o campo elétrico. (2) Para calcular o campo elétrico

em um ponto, devemos fazer a superfície gaussiana passar por esse

ponto (para que o campo em que estamos interessados seja o mesmo

campo que aparece no produto escalar da lei de Gauss). (3) A lei de

Gauss relaciona o fluxo elétrico total através de uma superfície

fechada à carga envolvida pela superfície. As cargas externas são

ignoradas.

Cálculos: Para determinar o campo no ponto P , construímos uma 1

esfera gaussiana com P na superfície, ou seja, uma esfera gaussiana de 1

raio r . Como a carga envolvida pela esfera gaussiana é positiva, o 1

fluxo elétrico através da superfície é positivo e, portanto, aponta para

fora da esfera. Assim, o campo atravessa a superfície de dentro para

fora. Além disso, devido à simetria esférica, é perpendicular à

superfície, como mostra a Fig. 23-10b. A casca de plástico não aparece

na figura porque está do lado de fora da superfície gaussiana e,

portanto, sua carga não é envolvida pela superfície.

Figura 23-10 (a) Uma casca de plástico carregada com uma partícula

carregada no centro. (b) Para determinar o campo elétrico no ponto P , 1

construímos uma esfera gaussiana passando pelo ponto. O campo

elétrico atravessa a superfície da esfera de dentro para fora. O vetor

área no mesmo ponto aponta para fora. (c) Para determinar o campo

elétrico no ponto P , construímos uma esfera gaussiana passando pelo 2

ponto. O campo elétrico atravessa a superfície de fora para dentro,

enquanto o vetor área no mesmo ponto aponta para fora.

 

Considere um elemento de área da esfera na posição do ponto P . 1

O vetor elemento de área d aponta para fora (os elementos de área

sempre apontam para fora da superfície gaussiana) e é perpendicular à

superfície da esfera. Assim, o ângulo θ entre e d é zero. O lado

esquerdo da Eq. 23-7 (lei de Gauss) se torna então

em que, na última passagem, passamos o módulo E do campo elétrico

para fora da integral porque tem o mesmo valor em todos os pontos da

esfera gaussiana. A integral restante é simplesmente uma receita para

calcular a área total de todos os elementos de área da superfície

esférica, mas já sabemos que a área da superfície da esfera é 4πr2.

Substituindo esses resultados, a Eq. 23-7 nos dá

 

ε E4πr2 = q . 0 env

 

A única carga envolvida pela superfície gaussiana que passa por P é a 1

carga da partícula. Explicitando E e fazendo q = 5e e r = r = 6,00 × env 1

10–2 m, descobrimos que o módulo do campo elétrico no ponto P é 1

 

Para determinar o campo elétrico no ponto P , construímos uma 2

esfera gaussiana com P na superfície. Dessa vez, a carga total 2

envolvida pela esfera gaussiana é q = q + Q = 5e + (–16e) = –11e. env

Como a carga total é negativa, os vetores campo elétrico atravessam a

superfície gaussiana de fora para dentro, como mostra a Fig. 23-10c.

Assim, o ângulo θ entre e d é 180o, e o produto escalar dos dois

vetores é E dA cos 180o = –E dA. Explicitando E na lei de Gauss e

fazendo q = –11e e r = r = 12,00 × 10–2 m, obtemos env 2

Note que, se tivéssemos usado um cubo gaussiano, em vez de

respeitar a simetria esférica do problema usando uma esfera gaussiana,

o módulo e o ângulo do campo elétrico seriam diferentes em cada

ponto da superfície do cubo e o cálculo da integral se tornaria

extremamente difícil.

 

Exemplo 23.04 Uso da lei de Gauss para

determinar uma carga elétrica

Qual é a carga elétrica envolvida pelo cubo gaussiano do Exemplo

23.02?

 

IDEIA-CHAVE

A carga envolvida por uma superfície fechada (real ou imaginária) está

relacionada ao fluxo elétrico total que atravessa a superfície pela lei de

Gauss, dada pela Eq. 23-6 (ε Φ = q ). 0 env

Fluxo: Para usar a Eq. 23-6, precisamos conhecer o fluxo que

atravessa as seis faces do cubo. Já conhecemos o fluxo que atravessa a

face direita (Φ = 36 N · m2/C), o fluxo que atravessa a face esquerda d

(Φ = –12 N · m2/C) e o fluxo que atravessa a face de cima (Φ = 16 N e c

· m2/C).

O cálculo do fluxo que atravessa a face de baixo é igual ao

cálculo do fluxo que atravessa a face de cima, exceto pelo fato de que,

agora, o vetor área d aponta para baixo, no sentido negativo do eixo y

(lembre-se de que o vetor área sempre aponta para fora da superfície

de Gauss). Nesse caso, d = – dAĵ e

 

Φ = 16 N · m2/C. b

 

No caso da face dianteira, d = dA , e no caso da fase traseira, d = –

dA . Quando calculamos o produto escalar do campo elétrico = 3,0xî

+ 4,0ĵ por esses vetores área, o resultado é zero e, portanto, o fluxo