Energia Potencial Elétrica de um Sistema de Partículas Carregadas

24.27 Saber que a energia potencial total de um sistema de partículas carregadas é igual ao trabalho

que uma força deve realizar para montar o sistema, começando com as partículas separadas por

uma distância infinita.

24.28 Calcular a energia potencial de duas partículas carregadas.

24.29 Saber que, se um sistema é composto por mais de duas partículas carregadas, a energia

potencial total é igual à soma das energias potenciais de todos os pares de partículas.

24.30 Aplicar a lei de conservação da energia mecânica a um sistema de partículas carregadas.

24.31 Calcular a velocidade de escape de uma partícula carregada que pertence a um sistema de

partículas carregadas (a menor velocidade inicial necessária para que a partícula se afaste

indefinidamente do sistema).

 

Ideia-Chave

• A energia potencial elétrica de um sistema de partículas carregadas é igual ao trabalho necessário para montar o sistema, começando com as partículas separadas por uma distância infinita. No caso de duas partículas separadas por uma distância r,

 

Figura 24-18 Duas cargas separadas por uma distância r.

 

Energia Potencial Elétrica de um Sistema de

Partículas Carregadas

Neste módulo, vamos calcular a energia potencial de um sistema de duas partículas carregadas e, em seguida, discutir brevemente como o resultado pode ser estendido a um sistema com mais de duas partículas. Nosso ponto de partida é examinar o trabalho que um agente externo precisa realizar para colocar duas partículas que estão inicialmente separadas por uma grande distância a uma pequena distância uma da outra e estacionárias. Se as cargas das partículas têm o mesmo sinal, as partículas se repelem, o trabalho é positivo, e a energia potencial final do sistema de duas partículas é positiva. Se as cargas das partículas têm sinais opostos, as partículas se atraem, o trabalho é negativo, e a energia potencial final do sistema de duas partículas é negativa.

Vamos examinar em detalhes o processo de construção do sistema de

duas partículas da Fig. 24-18, em que a partícula 1 (de carga positiva q ) e a 1 partícula 2 (de carga positiva q ) estão separadas por uma distância r. O 2 resultado também pode ser aplicado a sistemas nos quais as duas partículas têm carga negativa ou têm cargas opostas.

Começamos com a partícula 2 fixada no lugar e a partícula 1 a uma distância infinita, e vamos chamar de U a energia potencial inicial do i sistema de duas partículas. Em seguida, deslocamos a partícula 1 até a posição final e chamamos de U a energia potencial final do sistema. O f trabalho realizado sobre o sistema produz uma variação de energia potencial ΔU = U − U . f i

Usando a Eq. 24-4 [ΔU = q(V − V )], podemos relacionar ΔU à f i diferença entre o potencial da posição inicial da partícula 1 e o potencial da posição final:

 

Vamos calcular esses termos. A energia potencial inicial é U = 0, já que as i partículas estão na configuração de referência (veja o Módulo 24-1). Os

dois potenciais da Eq. 24-43 são produzidos pela partícula 2 e são dados

pela Eq. 24-26:

 

De acordo com a Eq. 24-44, quando a partícula 1 está na posição inicial, r = ∞, o potencial é V = 0. Quando a partícula 1 está na posição final, r = r, e o i

potencial é

 

Substituindo esses resultados na Eq. 24-43 e eliminando o índice f, obtemos a seguinte expressão para a energia potencial da configuração final:

A Eq. 24-46 inclui os sinais das duas cargas. Se as cargas têm o mesmo sinal, U é positiva; se as cargas têm sinais opostos, U é negativa.

 

Para introduzir no sistema uma terceira partícula de carga q , repetimos 3 o cálculo, começando com a partícula 3 a uma distância infinita e deslocando-a para uma posição final a uma distância r da partícula 1 e a 31 uma distância r da partícula 2. O potencial V da partícula 3 na posição 32 f final é a soma algébrica do potencial V produzido pela partícula 1 e o 1 potencial V produzido pela partícula 2. Executando o cálculo, constatamos 2

que

 

A energia potencial total de um sistema de partículas é a soma das

energias potenciais de todos os pares de partículas do sistema.

 

Esse resultado pode ser aplicado a sistemas com um número qualquer de partículas.

Depois de obter uma expressão para a energia potencial de um sistema de partículas, podemos aplicar ao sistema a lei de conservação da energia,

expressa pela Eq. 24-10. Assim, por exemplo, em um sistema formado por muitas partículas, podemos calcular a energia cinética (e a velocidade de escape) necessária para que uma das partículas se afaste indefinidamente das outras partículas.

 

Exemplo 24.06 Energia potencial de um

sistema de três partículas carregadas

A Fig. 24-19 mostra três cargas pontuais mantidas fixas no lugar por

forças não especificadas. Qual é a energia potencial elétrica U desse

sistema de cargas? Suponha que d = 12 cm e que

q = +q, q = –4q e q = +2q, 1 2 3

 

em que q = 150 nC.

 

IDEIA-CHAVE

A energia potencial U do sistema é igual ao trabalho necessário para

montar o sistema, começando com as cargas a uma distância infinita.

Cálculos: Vamos montar mentalmente o sistema da Fig. 24-19,

começando com uma das cargas pontuais no lugar, q , digamos, e as 1

outras no infinito. Trazemos outra carga, q , do infinito, e a colocamos 2

no lugar. Utilizando a Eq. 24-46, com d no lugar de r, obtemos a

seguinte expressão para a energia potencial associada ao par de cargas

q e q : 1 2

 

Agora precisamos trazer a última carga pontual, q , do infinito e a 3

colocar no lugar. O trabalho para realizar esse último passo é igual à

soma do trabalho para aproximar q de q com o trabalho para 3 1

aproximar q de q . De acordo com a Eq. 24-46, 3 2

 

A energia potencial total U do sistema de três cargas é a soma das

energias potenciais associada aos três pares de cargas. O resultado (que

não depende da ordem em que as cargas são colocadas) é o seguinte:

Figura 24-19 Três cargas mantidas fixas nos vértices de um triângulo

equilátero. Qual é a energia potencial elétrica do sistema?

 

O fato de obtermos uma energia potencial negativa significa que

um trabalho negativo teria que ser feito para montar a estrutura,

começando com as três cargas em repouso a uma distância infinita.

Dito de outra forma, isso significa que um agente externo teria que

executar um trabalho de 17 mJ para desmontar a estrutura e deixar as

três cargas em repouso a uma distância infinita.

A lição que podemos extrair deste exemplo é a seguinte: Para

calcular a energia potencial de um sistema de partículas carregadas,

basta calcular a energia potencial de todos os pares de partículas do

sistema e somar os resultados.

 

Exemplo 24.07 Conversão de energia cinética

em energia potencial elétrica

Uma partícula alfa (dois prótons e dois nêutrons) se aproxima de um

átomo de ouro estacionário (79 prótons e 118 nêutrons), passando pela

nuvem de elétrons e rumando diretamente para o núcleo (Fig. 24-20).

A partícula alfa diminui de velocidade até parar e inverte o movimento

quando está a uma distância r = 9,23 fm do centro do núcleo de ouro.

(Como a massa do núcleo de ouro é muito maior que a da partícula

alfa, podemos supor que o núcleo de ouro se mantém imóvel durante o

processo.) Qual era a energia cinética K da partícula alfa quando i

estava a uma distância muito grande (e, portanto, do lado de fora) do

átomo de ouro? Suponha que a única força entre a partícula alfa e o

núcleo de ouro é a força eletrostática.

 

IDEIA-CHAVE

Durante todo o processo, a energia mecânica do sistema partícula alfa

+ átomo de ouro é conservada.

Raciocínio: Enquanto a partícula alfa está do lado de fora do átomo,

a energia potencial elétrica U do sistema é zero, pois o átomo possui i

um número igual de elétrons e prótons, que produzem um campo

elétrico resultante nulo. Quando a partícula alfa passa pela nuvem de

elétrons, o campo elétrico criado pelos elétrons do átomo de ouro se

anula. Isso acontece porque os elétrons se comportam como uma casca

carregada com uma densidade uniforme de cargas negativas e, como

vimos no Módulo 23-6, o campo produzido por uma casca desse tipo é

zero na região envolvida pela casca. Por outro lado, a partícula alfa

continua a experimentar os efeitos do campo elétrico criado pelo

núcleo, que exerce uma força de repulsão sobre os prótons da partícula

alfa.

Enquanto a partícula alfa está sendo desacelerada por essa força

de repulsão, a energia cinética da partícula é transformada

progressivamente em energia potencial elétrica do sistema. A

transformação é total no momento em que a partícula alfa para

momentaneamente e a energia cinética K da partícula alfa se anula. f