Indução Mútua

B. Embora tenha sido demonstrada para o caso especial de um solenoide, a Eq. 30-55 é válida para qualquer

campo magnético, independentemente da forma como foi produzido. A equação é análoga à Eq. 25-25,

 

que fornece a densidade de energia armazenada (no vácuo) em um ponto do espaço no qual o módulo do campo elétrico é E. Observe que uB e uE são proporcionais ao quadrado do módulo do campo correspondente, B ou E.

 

Teste 7

A tabela mostra o número de espiras por unidade de comprimento, a corrente e a seção reta de três solenoides.

Coloque os solenoides na ordem decrescente da densidade de energia magnética.

Solenoide Espiras por Unidade de Comprimento Corrente Área

a 2n 1 i1 2A1 b n 1 2i1 A1 c n 1 i1 6A1

 

30-9 INDUÇÃO MÚTUA

 

Objetivos do Aprendizado

Depois de ler este módulo, você será capaz de ...

30.39 Explicar o que é a indução mútua de duas bobinas e representá-la esquematicamente. 30.40 Calcular a indução mútua de uma bobina em relação a uma segunda bobina (ou em relação a uma corrente variável externa). 30.41 Calcular a força eletromotriz induzida em um bobina por uma segunda bobina em função da indutância mútua e da taxa de variação da corrente na

segunda bobina.

 

Ideia-Chave

• Se as bobinas 1 e 2 estão próximas, a variação da corrente em uma delas pode induzir uma força eletromotriz na outra bobina. A indução mútua pode ser expressa pelas equações

 

em que M (medida em henries) é a indutância mútua.

 

Indução Mútua

Nesta seção, vamos voltar ao caso de duas bobinas próximas, que foi discutido no Módulo 30-1, e tratá-lo de modo

mais formal. Como vimos, se duas bobinas estão próximas, como na Fig. 30-2, uma corrente i em uma das bobinas faz com que um fluxo magnético Φ atravesse a outra bobina (enlaçando as duas bobinas). Se a corrente i varia com o tempo, uma força eletromotriz dada pela lei de Faraday aparece na segunda bobina. O processo foi chamado de indução, mas poderíamos ter usado a expressão indução mútua para ressaltar o fato de que o processo envolve a interação de duas bobinas e distingui-lo do processo de autoindução, que envolve apenas uma bobina.

Figura 30-19 Indução mútua. (a) O campo magnético produzido pela corrente i na bobina 1 atravessa as espiras da bobina 2. Quando se faz variar a 1 corrente i (fazendo variar a resistência R), uma força eletromotriz é induzida na bobina 2 e o amperímetro ligado à bobina 2 revela a passagem de uma 1

 

corrente. (b) O mesmo sistema, com os papéis das bobinas 1 e 2 invertidos.

Vamos examinar o processo de indução mútua de modo quantitativo. A Fig. 30-19a mostra duas bobinas

circulares compactas muito próximas, com o mesmo eixo central. Com o resistor variável ajustado para certo valor R de resistência, a bateria produz uma corrente constante i1 na bobina 1. A corrente cria um campo magnético representado pelas linhas de na figura. O circuito da bobina 2 contém um amperímetro, mas não conta com uma bateria; um fluxo magnético Φ (o fluxo através da bobina 2 devido à corrente na bobina 1) enlaça as N espiras da 21 2 bobina 2.

A indutância mútua M 21 da bobina 2 em relação à bobina 1 é definida pela relação

 

que tem a mesma forma que a Eq. 30-28,

 

a definição de indutância. Podemos escrever a Eq. 30-57 na forma

 

Se fizermos i1 variar com o tempo variando R, teremos

 

De acordo com a lei de Faraday, o lado direito da Eq. 30-60 é igual, em valor absoluto, à força eletromotriz que aparece na bobina 2 devido à variação da corrente na bobina 1. Assim, com um sinal negativo para indicar o sentido , temos

 

que tem a mesma forma que a Eq. 30-35 para a autoindução ( = −L di/dt).

Inversão. Vamos agora inverter os papéis das bobinas 1 e 2, como na Fig. 30-19b; em outras palavras, vamos

produzir uma corrente na bobina 2 com o auxílio de uma bateria e criar um fluxo magnético Φ12 que enlaça a bobina 1. Se fizermos i2 variar com o tempo variando R, teremos

Assim, a força eletromotriz produzida em uma das bobinas é proporcional à taxa de variação da corrente na

 

outra. É possível demonstrar que as constantes de proporcionalidade M21 e M12 são iguais, o que nos permite escrever

 

caso em que as Eqs. 30-61 e 30-62 se tornam

 

Exemplo 30.08 Indutância mútua de duas bobinas paralelas

A Fig. 30-20 mostra duas bobinas circulares compactas, coplanares, coaxiais, a menor com raio R2 e N2

espiras, e a maior com raio R1 e N1 espiras.

(a) Escreva a expressão da indutância mútua M para esse arranjo de bobinas, supondo que R1 R2.

 

IDEIA-CHAVE

A indutância mútua M das bobinas é a razão entre o enlaçamento de fluxo (NΦ) através de uma das bobinas e

a corrente i na outra bobina. Assim, precisamos supor que existe uma corrente em uma bobina e calcular o

fluxo magnético que atravessa a outra bobina devido a essa corrente.

Cálculos: Tanto o módulo como a direção do campo magnético produzido pela bobina menor variam de

ponto para ponto no interior da bobina maior; assim, o fluxo magnético que atravessa a bobina maior é difícil

de calcular. Por outro lado, como estamos supondo que o raio da bobina menor é muito menor que o raio da

bobina maior, podemos supor que o campo magnético criado pela bobina maior é aproximadamente uniforme

no interior da bobina menor. Assim, para calcular o valor de M, supomos que a bobina maior é percorrida por

uma corrente i e calculamos o enlaçamento de fluxo N Φ na bobina menor: 1 2 21

 

De acordo com a Eq. 30-2, o fluxo Φ 21 através de uma das espiras da bobina menor é dado por

 

em que B1 é o módulo do campo magnético no interior da bobina menor devido à corrente na bobina maior e

A é a área da espira. Assim, o enlaçamento de fluxo na bobina menor (que possui N espiras) é dado 2 2

por

 

Para determinar o campo B1 no interior da bobina menor, usamos a Eq. 29-26,

Figura 30-20 Uma pequena bobina no centro de uma bobina maior. A indutância mútua das bobinas pode

 

ser determinada fazendo passar uma corrente i1 na bobina maior.

na qual podemos fazer z = 0 porque a bobina menor está no mesmo plano que a bobina maior. De acordo com

essa equação, cada espira da bobina maior produz um campo magnético de módulo μ0i1/2R1 no interior da

bobina menor. Assim, a bobina maior (que possui N1 espiras) produz um campo magnético total de módulo

 

no interior da bobina menor.

Substituindo os valores de B (fornecidos pela Eq. 30-68) e A na Eq. 30-67, temos 1 2

 

Substituindo esse resultado na Eq. 30-66, obtemos

 

(b) Qual é o valor de M para N1 = N2 = 1200 espiras, R2 = 1,1 cm e R1 = 15 cm?

Cálculos: De acordo com a Eq. 30-69, temos

 

Suponha que os papéis das duas bobinas sejam invertidos, ou seja, que partimos de uma corrente i na 2

bobina menor e tentamos determinar o valor de M usando a Eq. 30-57 na forma

 

Não é fácil calcular Φ12, o fluxo do campo produzido pela bobina menor através da bobina maior, já que,

como dissemos, nesse caso não podemos supor que o campo é uniforme. Entretanto, se executarmos o cálculo

em um computador, encontraremos o mesmo valor, M = 2,3 mH! Esse fato serve para ilustrar a ideia de que a

Eq. 30-63 (M21 = M12 = M), embora não seja óbvia, é verdadeira.